專題21排隊問題(原卷版+解析)

專題21排隊問題例1．4個男同學，3個女同學站成一排．(1)3個女同學必須相鄰，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)3個女同學站在中間三個位置上的不同排法有多少種？(4)其中甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，則有多少種不同的排法？(5)若3個女同學身高互不相等，女同學從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？例2．在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）（4）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？例3．現(xiàn)有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法？求：（1）甲、乙不能相鄰；（2）甲、乙相鄰且都不站在兩端；（3）甲、乙之間僅相隔1人；（4）按高個子站中間，兩側(cè)依次變矮（五人個子各不相同）的順序排列.例4．在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？（6）現(xiàn)在有7個座位連成一排，僅安排4個男生就坐，恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種？例5．在班級活動中，4

名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生互不相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）例6．7人站成一排，求滿足下列條件的不同站法：（1）甲、乙兩人相鄰；（2）甲、乙之間隔著2人；（3）若7人順序不變，再加入3個人，要求保持原先7人順序不變；（4）7人中現(xiàn)需改變3人所站位置，則不同排法；（5）甲、乙、丙3人中從左向右看由高到低（3人身高不同）的站法；（6）若甲、乙兩人去坐標號為1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人兩邊都有空位的坐法.例7．7人排成一排，按以下要求分別有多少種排法？(1)甲、乙兩人排在一起；(2)甲不在左端、乙不在右端；(3)甲、乙、丙三人中恰好有兩人排在一起.（答題要求：先列式，后計算）例8．有7名學生，其中3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)全體站成一排，男生互不相鄰；(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；(5)男生順序已定，女生順序不定；(6)站成三排，前排2名同學，中間排3名同學，后排2名同學，其中甲站在中間排的中間位置；(7)7名同學站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；(8)7名同學坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．例9．名同學，其中名男同學，名女同學：（1）站成一排，共有多少種不同的排法？（2）站成兩排，前排名同學，后排名同學，共有多少種不同的排法？（3）站成兩排，前排名女同學，后排名男同學，共有多少種不同的排法？（4）站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？（5）站成三排，前排名同學，中間排名同學，后排名同學，其中甲站在中間排的中間位置，共有多少種不同的排法？（6）站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（7）站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？（8）站成一排，甲、乙兩名同學必須相鄰的排法共有多少種？（9）站成一排，名男同學必須站在一起，名女同學也必須站在一起.（10）站成一排，甲、乙兩名同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？（11）站成一排，甲、乙兩名同學不能相鄰的排法共有多少種？（12）站成一排，甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種？（13）站成一排，名男同學都不能相鄰，名女同學也不能相鄰的排法共有多少種？（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相鄰也可以不相鄰)的排法共有多少種？（15）名同學座圓桌吃飯，只考慮誰挨著誰的排法共有多少種？例10．現(xiàn)有8個人男3女）站成一排.(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？例11．有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少種不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？例12．3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起．例13．從等7人中選5人排成一排（以下問題均用數(shù)字作答）(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)若三人不全在內(nèi)，有多少種排法？(3)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？例14．1.有4個男生，3個女生按下列要求排隊拍照，各有多少種不同的排列方法？(1)7個人排成一列，4個男生必須連排在一起；(2)7個人排成一列，3個女生中任何兩個均不能排在一起；(3)7個人排成一列，甲、乙、丙三人順序一定；(4)7個人排成一列，但男生必須連排在一起，女生也必須連排在一起，且男甲與女乙不能相鄰.例15．有5個身高均不相等的學生要排成一排合影留念，最高的人站在中間，從中間到左邊和從中間到右邊身高都遞減，則不同的排法共有多少種？例16．某4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法有多少種？例17．4個男同學，3個女同學站成一排．(1)3個女同學站在中間三個位置上，有多少種不同的排法？(2)3個女同學必須相鄰，有多少種不同的排法？(3)若3個女同學身高互不相等，女同學從左到右按從高到低的順序排，有多少種不同的排法？(4)甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？例18．7名身高互不相等的學生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？（1）7人站成一排，要求最高的站在正中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減；（2）任選6名學生，排成二排三列，使每一列的前排學生比后排學生矮．例19．7名師生站成一排照相留念，其中老師1名，男同學4名，女同學2名，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名女同學必須相鄰而站；（2）4名男同學互不相鄰；（3）若4名男同學身高都不相等，按從高到低或從低到高的順序站；（4）老師不站正中間，女同學不站兩端.例20．4名學生和3名教師站成一排照相，問：（1）中間三個位置排教師，有多少種排法？（2）一邊是教師，另一邊是學生的排法有多少種？（3）首尾不排教師有多少種排法？（4）任意2名教師不能相鄰的排法有多少種？（請同學從4問中任選3問作答，如果都作，視為前3問，請列出必要解題過程，結(jié)果保留數(shù)字）例21．3個女生和5個男生排成一排.（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果甲必須排在乙的右面（可以不相鄰），有多少種不同的排法？專題21排隊問題例1．4個男同學，3個女同學站成一排．(1)3個女同學必須相鄰，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)3個女同學站在中間三個位置上的不同排法有多少種？(4)其中甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，則有多少種不同的排法？(5)若3個女同學身高互不相等，女同學從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？答案:(1)720(2)1440(3)144(4)960(5)840解析：分析：小問1：我們可視排好的女同學為一整體有種排法，再與男同學排隊即可；小問2：先將男同學排好，共有種排法，再利用插空法即可；小問3：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理先排男生再排女生即可；小問4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整體排好，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空當中即可；小問5：從7個位置中選出4個位置把男生排好，則有種排法．再在余下的3個空位置中排女生按身高排列有一種排法，即可求解．(1)3個女同學是特殊元素，她們排在一起，共有種排法．我們可視排好的女同學為一整體，再與男同學排隊，這時是5個元素的全排列，應有種排法．由分步乘法計數(shù)原理，得共有（種）不同的排法；(2)先將男同學排好，共有種排法，再在這4個男同學之間及兩頭的5個空當中插入3個女同學有種方案，故符合條件的不同的排法共有（種）；(3)3個女同學站在中間三個位置上的不同排法有（種）；(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有種排法；由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法；最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空當中有種排法．故總共有（種）不同的排法；(5)從7個位置中選出4個位置把男生排好，則有種排法．再在余下的3個空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故僅有1種排法．故總共有（種）不同的排法．例2．在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）（4）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？答案:（1）1440；（2）3720；（3）840；（4）432.解析：分析：（1）用插空法分2步進行分析：①，將4名男生全排列，有A44＝24種情況，②，在5個空位中任選3個，安排3名女生，由分步計數(shù)原理計算即可；（2）分2種情況討論：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理計算即可；（3）首先把7名同學全排列，再分析甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33種結(jié)果，要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，由倍分法分析即可．（4）首先將4名男生和3名女生中各選出2人，然后4人分四個不同角色全排列即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4名男生全排列，有種情況，排好后有5個空位.②在5個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，則三名女生不能相鄰的排法有種；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有種情況，②女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有種站法，則此時有種站法，則一共有種站法；（3）根據(jù)題意，首先把7名同學全排列，共有種結(jié)果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有種結(jié)果，要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有；（4）根據(jù)題意，首先將4名男生和3名女生中各選出2人，有種情況，其次4人分四個不同角色，有種情況，共有種選派方法.【點睛】本題主要考查排列組合的應用，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題.例3．現(xiàn)有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法？求：（1）甲、乙不能相鄰；（2）甲、乙相鄰且都不站在兩端；（3）甲、乙之間僅相隔1人；（4）按高個子站中間，兩側(cè)依次變矮（五人個子各不相同）的順序排列.答案:（1）（2）（3）（4）解析：分析：(1)不相鄰問題用“插空法”，再結(jié)合排列及計數(shù)原理知識即可求解；(2)相鄰問題用“捆綁法”，再結(jié)合排列及計數(shù)原理知識即可求解；(3)特殊情況優(yōu)先安排，再結(jié)合排列組合及計數(shù)原理知識即可求解；(4)按個子排序，即有順序的情況，由組合及計數(shù)原理知識即可求解.【詳解】解：（1）先將除甲、乙外三人全排列，有種；再將甲、乙插入個空檔中的個，有種，由分步乘法計數(shù)原理可得，完成這件事情的方法總數(shù)為種；（2）將甲、乙兩人“捆綁”看成一個整體，排入兩端以外的兩個位置中的一個，有種；再將其余人全排列有種，故共有種不同排法；（3）先從另外三人中選一插在甲乙之間，則甲、乙之間僅相隔人共有種不同排法；（4）按高個子站中間,兩側(cè)依次變矮(五人個子各不相同)的順序排列共有種不同的排法.【點睛】本題考查了排列組合及計數(shù)原理，考查理解辨析能力與運算求解能力，屬中檔題.例4．在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？（6）現(xiàn)在有7個座位連成一排，僅安排4個男生就坐，恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種？答案:（1）；（2）；（3）；（4）840；（5）；（6）.解析：分析：（1）根據(jù)題意，用插空法分2步進行分析，再由分步計數(shù)原理計算可得答案；（2）根據(jù)題意，用捆綁法分2步進行分析，再由分步計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①：女生甲站在右端，②：女生甲不站在右端，再由加法原理計算可得答案；（4）根據(jù)題意，首先把7名同學全排列，再分析甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33種結(jié)果，要使甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，再由倍分法分析可得答案．（5）根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在4名男生中選取2名男生，3名女生中選取2名女生，②，將選出的4人全排列，再由分步計數(shù)原理計算可得答案；（6）根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4名男生全排列，排好后有5個空位，②，將3個空座位分成2、1的2組，在5個空位中任選2個，安排2組空座位，再由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4名男生全排列，有A44＝24種情況，排好后有5個空位，②，在5個空位中任選3個，安排3名女生，有A53＝60種情況，則三名女生不能相鄰的排法有A44×A53＝24×60＝1440種；（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4名男生看成一個整體，考慮4人間的順序，有A44＝24種情況，②，將這個整體與三名女生全排列，有A44＝24種情況，則四名男生相鄰的排法有A44×A44＝24×24＝576種；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720種情況，②，女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120種站法，則此時有5×5×120＝3000種站法，則一共有A66+5×5×A55＝720+3000＝3720種站法；（4）根據(jù)題意，首先把7名同學全排列，共有A77種結(jié)果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33＝6種結(jié)果，要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有840種．（5）根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在4名男生中選取2名男生，3名女生中選取2名女生，有C42C32種選取方法，②，將選出的4人全排列，承擔4種不同的任務，有A44種情況，則有種不同的安排方法；（6）根據(jù)題意，7個座位連成一排，僅安排4個男生就座，還有3個空座位，分2步進行分析：①，將4名男生全排列，有A44種情況，排好后有5個空位，②，將3個空座位分成2、1的2組，在5個空位中任選2個，安排2組空座位，有A52種情況，則有種排法．【點睛】本題考查排列、組合的實際應用，涉及分類、分步計數(shù)原理的應用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素這一特殊問題的處理方法．例5．在班級活動中，4

名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生互不相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）答案:（1）1440（2）576（3）3720（4）840解析：分析：（1）根據(jù)題意，用插空法分2步進行分析：①，將4名男生全排列，有A44＝24種情況，②，在5個空位中任選3個，安排3名女生，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（2）根據(jù)題意，用捆綁法分2步進行分析：①，將4名男生看成一個整體，考慮4人間的順序，②，將這個整體與三名女生全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理計算可得答案；（4）根據(jù)題意，首先把7名同學全排列，再分析甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33種結(jié)果，要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，由倍分法分析可得答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4名男生全排列，有A44＝24種情況，排好后有5個空位，②，在5個空位中任選3個，安排3名女生，有A53＝60種情況，則三名女生不能相鄰的排法有24×60＝1440種；（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4名男生看成一個整體，考慮4人間的順序，有A44＝24種情況，②，將這個整體與三名女生全排列，有A44＝24種情況，則四名男生相鄰的排法有24×24＝576種；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720種情況，②，女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120種站法，則此時有5×5×120＝3000種站法，則一共有720+3000＝3720種站法；（4）根據(jù)題意，首先把7名同學全排列，共有A77種結(jié)果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33＝6種結(jié)果，要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有840種．點睛：本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).例6．7人站成一排，求滿足下列條件的不同站法：（1）甲、乙兩人相鄰；（2）甲、乙之間隔著2人；（3）若7人順序不變，再加入3個人，要求保持原先7人順序不變；（4）7人中現(xiàn)需改變3人所站位置，則不同排法；（5）甲、乙、丙3人中從左向右看由高到低（3人身高不同）的站法；（6）若甲、乙兩人去坐標號為1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人兩邊都有空位的坐法.答案:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解析：【詳解】試題分析：（1）捆綁法，甲乙二人互換種，將甲乙當一個人與其他人全排；（2）捆綁法，先從甲、乙以外的人中任選人站在甲、乙之間，有種站法，再將甲、乙及中間二人共人看作一個整體參加全排列，有種站法，最后甲、乙進行局部排列，有種站法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知共有種不同站法；（3）將個人分三次插入，第一個人有種插法，第二個人有種插法，第三個人有種插法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知共有種不同站法；（4）分步計數(shù),從人中任取人,有種方法，如,,,則改變原位置站法有種,,,和,,，故共有種不同的站法；（5）先將人全排，除去甲、乙、丙人的順序數(shù)的排列，故有種站法；（6）固定模型,甲、乙互換有種，甲、乙兩人坐法有種，故共有種不同的坐法.試題解析：（1）（捆綁法）（2）（捆綁法）（3）（插空法）（4）（分步計數(shù),從7人中任取3人,如a,b,c,則改變原位置站法有2種,b,c,a和c,a,b）（5）（等可能）（6）6×（固定模型,甲、乙兩人坐法有（2,4）（2,5）（2,6）（3,5）（3,6）（4,6）6種）考點：排列組合.例7．7人排成一排，按以下要求分別有多少種排法？(1)甲、乙兩人排在一起；(2)甲不在左端、乙不在右端；(3)甲、乙、丙三人中恰好有兩人排在一起.（答題要求：先列式，后計算）答案:解析：分析：(1)用捆綁法，先將甲乙捆綁在一起，與其他5人全排列；(2)用間接法，先7人全排列，再減去甲在最左端和乙在最右端的排法，其中甲在最左端和乙在最右端的排法中都有甲在最左端且乙在最右端的排法，所以多減了一次甲在最左端且乙在最右端的排法應再加上即可；(3)先從甲、乙、丙三人中選兩人捆綁一起，這樣甲、乙、丙三人就可看作兩個部分，將剩下的4人全排列，這4個人之間和兩端有5個位置，用插空法在這5個位置中選2個位置插入分好甲乙丙.【詳解】(1)由于甲、乙兩人排在一起，可以看成一個整體，這樣同其他5個人合在一起有6個元素，有種排法，而其中每一種排法中，甲、乙兩人又有種排法，因此共有種不同排法．(2)7個人全排，共種，其中，不合條件的有甲在最左端時，有種，乙在最右端時，有種，其中都包含了甲在最左端，同時乙在最右端的情形，有種，因此共有種不同排法.(3)由于甲、乙、丙三人中恰好有兩人排在一起，所以先選2人看成一個整體，有種選法，排法有種.剩下的4人，共種排法，這4個人之間和兩端有5個位置，從中選取2個位置排甲、乙、丙，有種排法，因此共有種排法.【點睛】求解排列應用題的主要方法：(1)直接法；(2)優(yōu)先法；(3)捆綁法；(4)插空法；(5)先整體后局部；(6)定序問題除法處理；(7)間接法．例8．有7名學生，其中3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)全體站成一排，男生互不相鄰；(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；(5)男生順序已定，女生順序不定；(6)站成三排，前排2名同學，中間排3名同學，后排2名同學，其中甲站在中間排的中間位置；(7)7名同學站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；(8)7名同學坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．答案:(1)2520；(2)1440；(3)3600；(4)3720；(5)840；(6)720；(7)960；(8)240.解析：分析：(1)利用部分排列即可求解；(2)因為男生互不相鄰，故使用插空法求解即可；(3)特殊元素或位置優(yōu)先排列的方法求解；(4)分類別排列或用全排列數(shù)減去不符合題意的排列數(shù)即可；(5)利用排列消序即可求解；(6)特殊元素優(yōu)先排列結(jié)合剩余人全排列即可；(7)插空法結(jié)合捆綁法即可；(8)捆綁法并結(jié)合排列消序即可求解.【詳解】(1)從7人中選5人排列，不同的排法種數(shù)為．(2)先排女生，有種排法，再在女生之間及兩端的5個空位中任選3個空位排男生，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(3)方法一：先排甲，有5種排法，其余6人有種排法，故不同的排法種數(shù)為．方法二：左右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有種排法，其他位置有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(4)方法一：分兩類：第一類，甲在最右邊，有種排法；第二類，甲不在最右邊，甲可從除去兩端的位置后剩下的5個中任選一個，有種排法，而乙可排在除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個中任選一個，有種排法，其余人全排列，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．方法二：7名學生全排列，有種排法，其中甲在最左邊時，有種排法，乙在最右邊時，有種排法，甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(5)7名學生站成一排，有種排法，其中3名男生的排法有種，由于男生順序已定，女生順序不定，故不同的排法種數(shù)為．(6)首先把甲放在中間排的中間位置，則問題可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法種數(shù)為．(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人，有種排法，由于甲、乙相鄰故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個空隙中，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(8)將甲、乙看作一個整體，相當于6名學生坐圓桌吃飯，有種排法，甲、乙兩人可交換位置，故不同的排法種數(shù)為．例9．名同學，其中名男同學，名女同學：（1）站成一排，共有多少種不同的排法？（2）站成兩排，前排名同學，后排名同學，共有多少種不同的排法？（3）站成兩排，前排名女同學，后排名男同學，共有多少種不同的排法？（4）站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？（5）站成三排，前排名同學，中間排名同學，后排名同學，其中甲站在中間排的中間位置，共有多少種不同的排法？（6）站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（7）站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？（8）站成一排，甲、乙兩名同學必須相鄰的排法共有多少種？（9）站成一排，名男同學必須站在一起，名女同學也必須站在一起.（10）站成一排，甲、乙兩名同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？（11）站成一排，甲、乙兩名同學不能相鄰的排法共有多少種？（12）站成一排，甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種？（13）站成一排，名男同學都不能相鄰，名女同學也不能相鄰的排法共有多少種？（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相鄰也可以不相鄰)的排法共有多少種？（15）名同學座圓桌吃飯，只考慮誰挨著誰的排法共有多少種？答案:（1）5040；（2）5040；（3）144；（4）720；（5）720；（6）240；（7）2400；（8）1440；（9）288；（10）960；（11）3600；（12）1440；（13）144；（14）2520；（15）720.解析：（1）根據(jù)全排列公式即可計算；（2）根據(jù)分步計數(shù)原理即可列式求出；（3）根據(jù)分步計數(shù)原理，得出可求出；（4）將剩下6人排列即可；（5）先把甲放在中間排的中間位置，剩下6人全排列即可；（6）先排甲乙，再排剩下5人，根據(jù)分布計數(shù)原理即可求解；（7）先選2人在排頭排尾，再排剩下5人，利用分布計數(shù)原理即可求解；（8）先將甲乙看作一個元素，再和其余5人一起排列；（9）分別把男同學和女同學“捆綁”排列即可求出；（10）可列式求解；（11）可利用排除法求解；（12）可以插空法求解；（13）先排女同學，有4個空，將男同學排入這4個空中即可；（14）可知甲必要站在乙的前面是總數(shù)的；（15）任意固定一名同學，將剩下的6人全排列即可.【詳解】（1）問題可以看作個元素的全排列，故有種排列方法.（2）根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種排列方法.（3）根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種排列方法.（4）首先先把甲放在中間的位置，則問題可以看作余下的個元素的全排列，共有種排列方法.（5）首先把甲放在中間排的中間位置，則問題可以看作余下的個元素的全排列，共有種排列方法.（6）第一步甲、乙站在兩端有種，第二步余下的名同學進行全排列有種，∴共有種排列方法.（7）第一步從(除去甲、乙)其余的名同學中選名同學站在排頭和排尾有種方法，第二步從余下的名同學中選名進行排列(全排列)有種方法，∴一共有種排列方法；（8）先將甲、乙兩名同學“捆綁”在一起看成一個元素，有種方法，再與其余的個元素(同學)一起進行全排列有種方法，∴這樣的排法一共有種方法.（9）先將名女同學“捆綁”在一起看成一個元素，有種情況，再將名男同學“捆綁”在一起看成一個元素，有種情況，這時一共有個整合的后元素，有種情況，∴一共有排法種數(shù)：(種).（10）將甲、乙“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有個元素，∵丙不能站在排頭和排尾，∴可以從其余的個元素中選取個元素放在排頭和排尾，有種方法，將剩下的個元素進行全排列有種方法，最后將甲、乙“松綁”進行排列有種方法，∴這樣的排法一共有種方法.（11）(排除法)七名同學全排，有種可能，甲、乙兩名同學相鄰，有種可能，則甲、乙兩名同學不能相鄰有種方法.（12）先將其余四個同學排好有種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三名同學分別插入這五個“空”有種方法，∴一共有種.（13）先將名女同學排好有種方法，此時她們留下四個“空”，再將名男同學分別插入這四個“空”有種方法，∴一共有種.（14）先將名同學全排有種方法，再將甲、乙兩名同學全排有種方法，∵甲必要站在乙的前面，∴只需要總數(shù)的種方法，∴一共有種.（15）把任意一名同學固定在任意一個位置，再把其他名同學往其他位置里全排，有種方法，則一共有種方法.【點睛】本題考查排列排列的應用，常用的方法有捆綁法、插空法、隔板法、排除法.例10．現(xiàn)有8個人男3女）站成一排.(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)解析：分析：（1）利用捆綁法，然后將內(nèi)部和整體全排列即可；（2）直接將剩下的7人全排列即可；（3）先安排甲乙，然后將剩下的人全排列即可；（4）先將出甲乙之外的6人全排列，然后將甲乙插入即可；（5）直接全排列，然后除二即可；（6）先將出甲乙丙之外的5人全排列，然后插入甲乙丙即可；（7）將3名女生和5名男生分別看成一個整體，然后對內(nèi)部和整體全排列即可；（8）先在5個男生中任選2個，安排在第3和第6個位置，剩下的人全排列即可；（9）先將甲乙兩人安排在后面的5個位置，剩下的人全排列即可；（10）將5名男生全排列，然后將女生插入空隙即可.(1)根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；(2)根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；(3)根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法；(4)根據(jù)題意，先將出甲乙之外的6人全排列，有種情況，排好后有7個空位，則7個空位中，任選2個，安排甲乙二人，有種情況，則甲、乙兩人不相鄰有種排法；(5)根據(jù)題意，將8人全排列，有種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同，則甲在乙的左邊有種不同的排法；(6)根據(jù)題意，先將出甲乙丙之外的5人全排列，有種情況，排好后有6個空位，則6個空位中，任選3個，安排甲乙丙三人，有種情況，其中甲乙丙不能彼此相鄰有種不同排法；(7)根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，再將5名男生看成一個整體，考慮5人之間的順序，有種情況，將男生、女生整體全排列，有種情況，則男生在一起，女生也在一起，有種不同排法；(8)根據(jù)題意，在5個男生中任選2個，安排在第3和第6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則第3和第6個排男生，有種不同排法；(9)根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在后面的5個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，甲乙不能排在前3位，有種不同排法；(10)根據(jù)題意，將5名男生全排列，有種情況，排好后除去2端有4個空位可選，在4個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，則女生兩旁必須有男生，有種不同排法.例11．有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少種不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？答案:(1)(2)(3)解析：分析：（1）前排選3人任意排，后排4人任意排，根據(jù)分步計數(shù)原理可得．（2）首先從其余5人中選出2人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；（3）先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個位置中的兩個位置，再將其余人全排列，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；(1)解：排成兩排就座，第一排3人，第二排4人，有種方法．(2)解：若甲和乙都在第二排，先從其余5人中選出2人有種選法，將這兩人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，故一共有種排法；(3)解：如甲和乙不能坐在每排的兩端，則先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個位置中的兩個位置，再將其余人全排列即可，故一共有種排法；例12．3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起．答案:(1)2520(2)5040(3)288(4)1440解析：分析：（1）從7人中任選5人進行全排列即可，（2）由題意可知相當于排成一排的全排列，（3）利用捆綁法求解即可，（4）利用插空法求解即可(1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有＝2520種排法．(2)前排3人，后排4人，相當于排成一排，共有＝5040種排法(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有N＝＝288(種)．(4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有種排法，男生在4個女生隔成的五個空中安排共有種排法，故N＝＝1440(種)．例13．從等7人中選5人排成一排（以下問題均用數(shù)字作答）(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)若三人不全在內(nèi)，有多少種排法？(3)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？答案:(1)1800；(2)1800；(3)144.解析：分析：（1）直接利用排列組合知識解答；（2）利用間接法求解；（3）利用捆綁法和插空法求解.(1)解：必須在內(nèi),需要選擇另外4個人，有種方法，再全排列，所以,所以有1800種排法.(2)解：若三人全在內(nèi)，則有從等7人中選5人排成一排有,所以若三人不全在內(nèi)，則有種排法.(3)解：若都在內(nèi)，先選2個人有種方法，必須相鄰，捆綁有種方法，與都不相鄰，有種方法，所以共有種排法.例14．1.有4個男生，3個女生按下列要求排隊拍照，各有多少種不同的排列方法？(1)7個人排成一列，4個男生必須連排在一起；(2)7個人排成一列，3個女生中任何兩個均不能排在一起；(3)7個人排成一列，甲、乙、丙三人順序一定；(4)7個人排成一列，但男生必須連排在一起，女生也必須連排在一起，且男甲與女乙不能相鄰.答案:(1)576(2)1440(3)840(4)264解析：分析：（1）將4個男生看作一個整體，先進行內(nèi)部的全排列，進而看作一個元素再與剩下的女生進行全排列；（2）先排4個男生，然后將3個女生插入5個空位，最后得到答案；（3）先將7人進行全排列，進而考慮甲乙丙的順序不能交換的情況，運用“倍縮法”求得答案；（4）先將男女生分別進行全排列，再減去男甲與女乙相鄰的情況.(1)不妨先將4個男生看作一個整體，有種排法，連同三個女生共4個元素進行排列，有種排法，共有＝576（種）.(2)先排男生，有種排法，再在他們之間和左右兩端共5個空位中插入3個女生，有種排法，故共有＝1440（種）.(3)先不考慮三人的順序，任意排列有種，其中每種有且只有1種符合甲、乙、丙三人順序一定，∴共有（種）.(4)先將男生和女生看作兩個整體，男生、女生分別全排列，有種排法，再考慮男甲與女乙相鄰，有種，故有（種）.例15．有5個身高均不相等的學生要排成一排合影留念，最高的人站在中間，從中間到左邊和從中間到右邊身高都遞減，則不同的排法共有多少種？答案:6解析：分析：根據(jù)題意，要求個子最高的在中間，由排列公式易得剩余四人的全排列數(shù)，再按照定序問題用倍分法，計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，要求個子最高的在中間，將剩余的四人安排在其他四個位置，有種情況，在高個子左邊的兩個人有2種情況，按從中間到左邊一個比一個矮的順序只有1種，占左邊全部情況的，同理，在高個子右邊的兩個人從中間到右邊一個比一個矮的順序只有1種，占右邊全部情況的，則符合條件的排法有種.例16．某4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法有多少種？答案:解析：分析：根據(jù)題意分為兩種情況：新來的2位同學，插入兩個空隙中，新來的2位同學，相鄰插入1個空隙中，結(jié)合排列數(shù)的公式，即可求解.【詳解】由題意，4位同學排成一排準備照相時，形成了5個空隙，又來了2位同學要加入，保持原來4位同學的相對順序不變，分為兩種情況：①新來的2位同學，插入兩個空隙中，有種不同的方法；②新來的2位同學，相鄰插入1個空隙中，有種不同的方法，由分類計數(shù)原理，可得共有種不同的方法.例17．4個男同學，3個女同學站成一排．(1)3個女同學站在中間三個位置上，有多少種不同的排法？(2)3個女同學必須相鄰，有多少種不同的排法？(3)若3個女同學身高互不相等，女同學從左到右按從高到低的順序排，有多少種不同的排法？(4)甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？答案:(1)144；(2)720；(3)840；(4)960.解析：分析：(1)分別對男生和女生進行全排列，再按照分步乘法原理即可求解.(2)利用捆綁法即可求解.(3)排列好男生，再對女生進行排列即可.(4)首先對除甲乙丙外的4人進行排列，甲乙進行捆綁并排列且作為一個單位與丙一起使用插空法即可求解.【詳解】(1)3個女同學站在中間三個位置上的不同排法有(種)；(2)3個女同學相鄰時，共有種排法，將排好的3個女同學視為一個整體，再與4個男同學排成一排，有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，知不同的排法有(種)；(3)先從7個位置中選出4個位置把男同學排好，有種排法，再在余下的3個位置中排女同學，由于女同學從左到右按從高到低的順序排，故僅有1種排法，故不同的排法共有(種)；(4)先排除甲、乙、丙3人外的4人，有種排法，由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩頭的5個空隙中，有種排法．故不同的排法共有(種)．例18．7名身高互不相等的學生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？（1）7人站成一排，要求最高的站在正中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減；（2）任選6名學生，排成二排三列，使每一列的前排學生比后排學生矮．答案:（1）20；（2）630.解析：分析：(1)從余下6人中任取3人按高矮次序站在最高者一邊，