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2025屆吉林省白山市長白縣實驗中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.在數(shù)列中,若,,,設(shè)數(shù)列滿足,則的前項和為()A. B. C. D.2.某興趣小組合作制作了一個手工制品,并將其繪制成如圖所示的三視圖,其中側(cè)視圖中的圓的半徑為3,則制作該手工制品表面積為()A. B. C. D.3.若a,b是方程的兩個根,且a,b,2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則的值為()A.-4 B.-3 C.-2 D.-14.若實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為()A.9 B.7 C.6 D.35.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的表達式是()A. B.C. D.6.已知是定義在上的偶函數(shù),且在上遞增,那么一定有()A. B.C. D.7.在正四棱柱中,,,則與所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.已知實數(shù),滿足,,且,,成等比數(shù)列,則有()A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值9.在中,角,,所對的邊分別為,,,若,且,則的面積的最大值為()A. B. C. D.10.已知向量,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.無限循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)為________12.設(shè)為實數(shù),為不超過實數(shù)的最大整數(shù),如,.記,則的取值范圍為,現(xiàn)定義無窮數(shù)列如下:,當時,;當時,,若,則________.13.數(shù)列中,已知,50為第________項.14.函數(shù)的值域為________.15.在銳角中,角的對邊分別為.若,則角的大小為為____.16.已知x,y滿足,則的最大值為________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)。(1)若,求不等式的解集;(2)若,且,求的最小值。18.已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.19.某大橋是交通要塞,每天擔負著巨大的車流量.已知其車流量(單位:千輛)是時間(,單位:)的函數(shù),記為,下表是某日橋上的車流量的數(shù)據(jù):03691215182124(千輛)3.01.02.95.03.11.03.15.03.1經(jīng)長期觀察,函數(shù)的圖象可以近似地看做函數(shù)(其中,,,)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)的近似解析式;(2)為了緩解交通壓力,有關(guān)交通部門規(guī)定:若車流量超過4千輛時,核定載質(zhì)量10噸及以上的大貨車將禁止通行,試估計一天內(nèi)將有多少小時不允許這種貨車通行?20.已知數(shù)列滿足,且(,且).(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式(3)設(shè)數(shù)列的前項和,求證:.21.已知點A(1,2),B(3,1),C(2,2),D(1,m)(1)若向量∥,求實數(shù)m的值;(2)若m=3,求向量與的夾角.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】
利用等差中項法得知數(shù)列為等差數(shù)列,根據(jù)已知條件可求出等差數(shù)列的首項與公差,由此可得出數(shù)列的通項公式,利用對數(shù)與指數(shù)的互化可得出數(shù)列的通項公式,并得知數(shù)列為等比數(shù)列,利用等比數(shù)列前項和公式可求出.【詳解】由可得,可知是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以,即.由,可得,所以,數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,因此,數(shù)列的前項和為,故選D.【點睛】本題考查利用等差中項法判斷等差數(shù)列,同時也考查了對數(shù)與指數(shù)的互化以及等比數(shù)列的求和公式,解題的關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件確定數(shù)列的類型,并求出數(shù)列的通項公式,考查運算求解能力,屬于中等題.2、D【解析】
由三視圖可知,得到該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體,根據(jù)幾何體的表面積公式,即可求解.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體,其中圓錐的底面半徑為3,高為4,所以幾何體的表面為.選D.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計算,在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,要根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線,求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)公式求解.3、D【解析】
由韋達定理確定,,利用已知條件討論成等差數(shù)列和等比數(shù)列的位置,從而確定的值.【詳解】由韋達定理得:,,所以,由題意這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列,且,則2一定在中間所以,即因為這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,且,則2一定不在的中間假設(shè),則即故選D【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要掌握三個數(shù)成等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),如成等比數(shù)列,且,,則2必為等比中項,有.4、A【解析】由約束條件作出可行域如圖,聯(lián)立,解得,化目標函數(shù)為,由圖可知,當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為,故選A.【方法點晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.5、D【解析】
根據(jù)函數(shù)的最值求得,根據(jù)函數(shù)的周期求得,根據(jù)函數(shù)圖像上一點的坐標求得,由此求得函數(shù)的解析式.【詳解】由題圖可知,且即,所以,將點的坐標代入函數(shù),得,即,因為,所以,所以函數(shù)的表達式為.故選D.【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)題意,結(jié)合,可知,再利用偶函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】是定義在上的偶函數(shù),,在上遞增,,即,故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的簡單應(yīng)用,判斷出是解題關(guān)鍵.7、A【解析】
連結(jié),結(jié)合幾何體的特征,直接求解與所成角的余弦值即可.【詳解】如圖所示:在正四棱柱中,=1,=2,連結(jié),則與所成角就是中的,所以與所成角的余弦值為:==.故選A.【點睛】本題考查正四棱柱的性質(zhì),直線與直線所成角的求法,考查空間想象能力以及計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析:因為,,成等比數(shù)列,所以可得,有最小值,故選C.考點:1、等比數(shù)列的性質(zhì);2、對數(shù)的運算及基本不等式求最值.9、A【解析】
由以及,結(jié)合二倍角的正切公式,可得,根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得,由余弦定理以及基本不等式可得,再根據(jù)面積公式可得答案.【詳解】因為,且,所以,所以,則.由于為定值,由余弦定理得,即.根據(jù)基本不等式得,即,當且僅當時,等號成立.所以.故選:A【點睛】本題考查了二倍角的正切公式,考查了余弦定理,考查了基本不等式,考查了三角形的面積公式,屬于中檔題.10、D【解析】
利用平面向量垂直的坐標等價條件列等式求出實數(shù)的值.【詳解】,,,,解得,故選D.【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示,解題時將向量垂直轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積為零來處理,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
利用無窮等比數(shù)列求和的方法即可.【詳解】.故答案為:【點睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】
根據(jù)已知條件,計算數(shù)列的前幾項,觀察得出無窮數(shù)列呈周期性變化,即可求出的值?!驹斀狻慨敃r,,,,,……,無窮數(shù)列周期性變化,周期為2,所以?!军c睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,通過取整函數(shù)得到數(shù)列,觀察數(shù)列的特征,求數(shù)列中的某項值。13、4【解析】
方程變?yōu)椋O(shè),解關(guān)于的二次方程可求得。【詳解】,則,即設(shè),則,有或取得,,所以是第4項?!军c睛】發(fā)現(xiàn),原方程可通過換元,變?yōu)殛P(guān)于的一個二次方程。對于指數(shù)結(jié)構(gòu),,等,都可以通過換元變?yōu)槎涡问窖芯俊?4、【解析】
利用反三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的增函數(shù),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,函數(shù)的值域是.故答案為:【點睛】本題考查了反三角函數(shù)的單調(diào)性以及反三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由,兩邊同除以得,由余弦定理可得是銳角,,故答案為.16、6【解析】
作出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖象確定目標函數(shù)的最優(yōu)解,即可得到答案.【詳解】由題意,作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖所示,因為目標函數(shù),可化為直線,當直線過點A時,此時目標函數(shù)在軸上的截距最大,此時目標函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標函數(shù)的最大值為.故答案為:6.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由,對分類討論,判斷與的大小,確定不等式的解集.(2)利用把用表示,代入表示為的函數(shù),利用基本不等式可求.【詳解】解:(1)因為,所以,由,得,即,當時,不等式的解集為;當時,不等式的解集為;當時,不等式的解集為;(2)因為,由已知,可得,∴,∵,∴,∴,當且僅當時取等號,所以的最小值為?!军c睛】本題考查一元二次不等式的解法,基本不等式的應(yīng)用,考查分類討論的思想,運算求解能力,屬于中檔題.18、(1)(2)最大值為2,最小值為【解析】
(1)先將函數(shù)化簡為,根據(jù)公式求最小正周期.
(2)由,則,可求出函數(shù)的最值.【詳解】(1)所以的最小正周期為:.(2)由(1)有,則則當,即時,有最小值.當即,時,有最大值2.所以在區(qū)間上的最大值為2,最小值為.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡、求最小正周期和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,屬于中檔題.19、(1)(2)8個小時【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)的最大最小值可求出和,根據(jù)周期求出,根據(jù)一個最高點的橫坐標可求得;
(2)解不等式可得.【詳解】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得:由,,解得:
由當時,有最大值,則即,得.
所以函數(shù)的近似解析式(2)若車流量超過4千輛時,即
所以,則所以,且.所以和滿足條件.所以估計一天內(nèi)將有8小時不允許這種貨車通行.【點睛】本題考查了根據(jù)一些特殊的函數(shù)值觀察周期特點,求解三角函數(shù)解析式以及簡單應(yīng)用,屬中檔題.20、(1)詳見解析;(2);(3)詳見解析.【解析】
(1)用定義證明得到答案.(2)推出(3)利用錯位相減法和分組求和法得到,再證明不等式.【詳解】解:(1)由,得,即.∴數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列.(2)∵數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,∴,∴.(3).∴,∴.【點睛】本題考
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