數(shù)學(xué)電子教案空白模板

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聾校數(shù)學(xué)電子教案

【篇1:聾校數(shù)學(xué)七年級第十三冊教案】

聾校數(shù)學(xué)七年級第十三冊教案

句容市特殊教育學(xué)校王露2015年9月——2016年1月

教材分析：這一冊教材包括下面一些內(nèi)容：分數(shù)加法和減法，分

數(shù)乘法，分數(shù)除法。

在計算方面，教學(xué)分數(shù)加?減.乘.除法，分數(shù)加減.乘加.乘減.乘

除混合運算，分數(shù)與小數(shù)的互化，分數(shù)與小數(shù)加減混合運算。在應(yīng)

用題方面，著重教學(xué)簡單的分數(shù)四則應(yīng)用題。

教學(xué)要求：

1.學(xué)生理解分數(shù)加、減法的意義，掌握分數(shù)加、減法的計算法

則，比較熟練的計算分數(shù)加、減法（簡單的能夠口算）。

2.使學(xué)生理解分數(shù)乘除法的意義，掌握分數(shù)乘除法的計算法則,

比較熟練的計算分數(shù)乘除法（簡單的能夠口算）。

3.使學(xué)生會進行分數(shù)、小數(shù)的互化，會進行分數(shù)、小數(shù)加減混

合運算以及分數(shù)四則兩步混合運算。4.使學(xué)生理解比的意義和性質(zhì),

會求比值和化簡比。

5.使學(xué)生能夠按要求用算術(shù)方法或方程解法解答分數(shù)一.二步分

數(shù)加、減法應(yīng)用題，會解答分數(shù)乘除法一步應(yīng)用題以及按比例分配

的應(yīng)用題。

教學(xué)重點：

掌握分數(shù)加、減、乘、除法的計算法則，比較熟練的計算分數(shù)加、

減、

乘、除法以及四則兩步混合運算。

教學(xué)難點：

用算術(shù)方法或方程解法解答分數(shù)一二分數(shù)加減應(yīng)用題，會解答分

數(shù)乘法.除法一步應(yīng)用題以及按比例分配的應(yīng)用題。

課時安排：

一、分數(shù)加減法（31課時）1.同分母分數(shù)加減法10課時

2.異分母分數(shù)加減法8課時3.分數(shù)加減混合運算4課時

4.分數(shù).小數(shù)加減混合運算7課時5.整理復(fù)習(xí)2課時

二、分數(shù)乘法（23課時）

1.乘法的意義和計算法則15課時2.分數(shù)乘法一步應(yīng)用題4課

時3.倒數(shù)的認識2課時4.整理復(fù)習(xí)2課時

1.分數(shù)除法的意義和計算法則12課時2.分數(shù)除法一步應(yīng)用題

4課時3.比7課時

4.整理和復(fù)習(xí)3課時

一、分數(shù)的加法和減法

教學(xué)要求：

1.使學(xué)生理解分數(shù)加、減的意義，理解并掌握分數(shù)加減法的法

則，并能夠比較熟練的計算分數(shù)加減法，會口算簡單的分數(shù)加、減

法。2.使學(xué)生理解整數(shù)加法運算定律對于分數(shù)加法同樣適用，并會

用這些定律進行一些分數(shù)加法的簡便計算。

3.使學(xué)生掌握分數(shù)和小數(shù)的互化方法，正確的進行分數(shù)、小數(shù)

加減混合運算。

教學(xué)課時：31課時

教學(xué)過程：

第一課時

內(nèi)容：例L2

目的：了解分數(shù)加減法的意義

教具：小黑板

過程：

一、復(fù)習(xí)（小黑板）

7/8的分數(shù)單位是。5/9是（）個l/9o4/7是4個。3個1/5是。

一、新型

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.學(xué)習(xí)指導(dǎo)

例1一張長方形紙，做紙花用去2/5,做小旗用去1/5。一共用

去這張紙的幾分之幾？（小黑板）

做紙花用去2/5做小旗用去1/5一共用去？

想：2個1/5加1個1/5是3個1/5,就是3/5。2/5+1/5=3/

5答：一共用去這張紙的3/5。

意義：與整數(shù)加法的意義相同，是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。

練習(xí)：2/5+2/5=3/7+1/7=

例2一塊布長9/10米，用去6/10米。還剩多少米？（小黑板）

想：9個1/10米減去6個1/10米剩3個1/10米，就是3/10米。

9/10-6/10=3/10（米）

答：還剩3/10米。

意義：與整數(shù)減法的意義相同，是已知兩個加數(shù)的和與其中的一

個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。

三、練習(xí)：4/53/7=0/7=

想：和可以直接想減嗎？為什么？做課后練習(xí)

比較上面兩個例題，說一說同分母分數(shù)加法和減法的計算有什么

共同點。

同分母分數(shù)加法和減法的法則：（小黑板）

同分母分數(shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。

小結(jié)：分數(shù)加減法的法則。作業(yè)：1.課堂作業(yè)：P7782.課外作業(yè):

p79

第三課時

教學(xué)目的：運用加減法法則計算。

教學(xué)內(nèi)容：例

5教具準備：小黑板

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)（小黑板）

二、新授設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

例5計算：

出示例5題同分母分數(shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。能

化成整數(shù)的要化成整數(shù)把整數(shù)化成分數(shù)

三、做課后練習(xí)，教師巡查。

四、小結(jié)：熟練的運用分數(shù)加減法法則進行計算。

五、作業(yè)：1.課堂作業(yè)：p710n2.課外作業(yè)：p71

2教學(xué)后記：

教學(xué)例5時，可以先復(fù)習(xí)分數(shù)的意義和怎樣把1化成與其他分數(shù)

的分母相同的分數(shù)。再按同分母分數(shù)加減法的法則計算。

【篇2：聾校二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)教案】

特殊教育學(xué)校教師

電子備課簿

2011--2012學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)科數(shù)學(xué)

年級

教師周詠梅

學(xué)校新沂市特教中心

第四冊聾部數(shù)學(xué)學(xué)期教學(xué)進度計劃

數(shù)學(xué)第一單元教學(xué)進度計劃1、乘法的初步認識

第（1）課時，總第（1）課時

教學(xué)內(nèi)容：乘法的初步認識，例1,練習(xí)一1-4題。教學(xué)目標：

1、使學(xué)生理解乘法含義，知道“求幾個相同加數(shù)的和”用乘法計算

比較簡便。2、會口述乘法算式所表示的意思.3、培養(yǎng)學(xué)生觀察比

較的能力。

教學(xué)重難點：“求幾個相同加數(shù)的和”用乘法計算比較簡便，乘

法算式所表示的意義。教學(xué)準備：小紅花、正方形、小圓片等實物

圖，課件教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)鋪墊：

7+2+6,3+3；4+5+2,5+5+5,6+4+3,4+4+4+4

像上面這樣求幾個相同加數(shù)的和，除了用加法計算外，還可以用

一種簡便方單的方法，這種簡便方法是是什么呢？這正是我們今天

要研究的問題.三、探究新知：

（一）、出示例1擺一擺，算一算

1、師生共同先擺2朵，再擺2朵，最后又擺2朵，想：擺了幾

個2,

想：擺了幾個2?要求一共擺了多少朵？用加法算式怎樣表示？

想：你寫出的加法算式有什么特點？相同加數(shù)是幾，幾個2連

加.數(shù)一數(shù)，算一算?板書：2+2+2=6

2、教師小結(jié)：像這樣求幾個相同加數(shù)的和，除了用加法計算外,

還有一種比較簡便的方法叫做乘法.板書課題：乘法的初步認識

【篇3：聾校數(shù)學(xué)第十四冊教案】

聾校數(shù)學(xué)第十四冊教案

第一課時

教學(xué)目的：分數(shù)四則混合運算。教學(xué)內(nèi)容：例1、

2教具準備：小黑板

教學(xué)過程：

新授

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

=應(yīng)該先算什么，再算什么？==

分數(shù)四則混合運算的運算順序與整數(shù)四則混合運算的運算順序相

同。練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)一1、2、3題。

教學(xué)后記：

在學(xué)生練習(xí)時教師應(yīng)注意巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題，隨時給予個別的

輔導(dǎo)和糾正。還應(yīng)提醒學(xué)生做分數(shù)四則混合運算時，不僅要注意運

算順序，還要注意分數(shù)加減法和分數(shù)乘除法的計算方法差異較大，

必須要分清什么時候需要通分什么時候需要把帶分數(shù)化成假分數(shù)。

第二課時

教學(xué)目的：鞏固練習(xí)。

教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一5一8題

教具準備：小黑板

教學(xué)過程：

練習(xí)：

5.(1)學(xué)生練習(xí)：

先讓學(xué)生說說計算順序，然后再計算。

(2)老師講評。6.(1)學(xué)生練習(xí)：

先讓學(xué)生說說計算順序，然后再計算。

(2)老師講評。7.(1)學(xué)生練習(xí)：

本題都是三四步的分數(shù)混合運算，計算比較復(fù)雜。學(xué)生做題時,

可先學(xué)生說說計算的順序。

(2)老師講評。

8.說出下面的圖形的名稱，并計算出它們的面積。

(1)學(xué)生練習(xí)：(2)老師講評。作業(yè)：練習(xí)一6、7、8

第三課時

教學(xué)目的：分數(shù)四則混合運算。

教學(xué)內(nèi)容：例

3教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)：

新授：

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

=2(1/7)+C5/8+3/8)(應(yīng)用了什么定律？)==

在分數(shù)四則混合運算中有時可以應(yīng)用運算定律使計算簡便。

練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)一10T2題。

教學(xué)后記：

教學(xué)例3時，可以先出示例題，讓學(xué)生想一想這道題應(yīng)該先算什

么，然后指名讓學(xué)生說出計算的方法，教師在黑板上演算。

第四課時

教學(xué)目的：混合練習(xí)。

教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一13—18題

教具準備：小黑板。

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)：

練習(xí)：

13.(1)學(xué)生練習(xí)：

(2)老師講評。

14.(1)學(xué)生練習(xí)：

要充分運用各種運算定律使計算簡便。

(2)老師講評。

15.(1)學(xué)生練習(xí)：

要充分運用各種運算定律使計算簡便。

(2)老師講評。

16.(1)學(xué)生練習(xí)：

復(fù)習(xí)長方體和正方體的表面積公式。

(2)老師講評。17.(1)學(xué)生練習(xí)。

讀題，歹U式、計算、答題。

(2)老師講評。

18.(1)學(xué)生練習(xí)。

讀題，列式、計算、答題。

(2)老師講評。

作業(yè)：練習(xí)一14一18題。

第五課時

教學(xué)目的：學(xué)習(xí)分數(shù)、小數(shù)四則混合運算

教學(xué)內(nèi)容：例

4教具準備：小黑板

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)

新授：

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：=1(2/3)

因為計算分數(shù)乘除法時，有時可以先約分，再計算比較簡便。所

以，分數(shù)、小數(shù)乘除混合運算一般先把小數(shù)化成分數(shù)后再計算。

練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)二1、3題

教學(xué)后記：

教學(xué)例4以前，可以先復(fù)習(xí)分數(shù)與小數(shù)互化的方法和分數(shù)、小數(shù)

加減混合運算。出示例4,讓學(xué)生想一想，這道題怎樣計算比較方

便。由于本題中的8/39不能化成有限小數(shù)，所以都化成分數(shù)計算比

較簡單。第六課時

教學(xué)目的：鞏固練習(xí)

高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

第十二章

無窮級數(shù)

教學(xué)目的：

1、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。

2、了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

3、掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性。

4、掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。

5、掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨定理，會估計交錯級數(shù)的截斷誤差。

6、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與條

件收斂的關(guān)系。。

7、理解函數(shù)項級數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函

數(shù)項級數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。

8、掌握嘉級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解塞

級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。

9、會利用嘉級數(shù)的性質(zhì)求和

10、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

11、會利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡單的函數(shù)

間接展開成塞級數(shù)。

12、理解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件。

13、掌握將定義在區(qū)間（一冗，n）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)

的方法。

14、會將定義在區(qū)間［0,門上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。

15、會將定義在區(qū)間（一1,1）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。

教學(xué)重點：

1、級數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項級數(shù)的收斂與發(fā)散

3、塞級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

4、泰勒級數(shù)

5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。教學(xué)難點：

1、級數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項級數(shù)的收斂與發(fā)散

3、塞級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

4、泰勒級數(shù)；

5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

§121常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

常數(shù)項無窮級數(shù)一般地，給定一個數(shù)列

ulu2u3un

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式

ulu2u3un

叫做（常數(shù)項）無窮級數(shù)簡稱（常數(shù)項）級數(shù)記為un即

n1

unulu2u3un

n1其中第n項un叫做級數(shù)的一般項

級數(shù)的部分和作級數(shù)un的前n項和

nIn

snuiulu2u3un

i1稱為級數(shù)un的部分和

n1級數(shù)斂散性定義如果級數(shù)un的部分和數(shù)列｛sn｝有極

限s

n1即

1imsns

n則稱無窮級數(shù)un收斂這時極限s叫做這級數(shù)的和

n1并寫成

sunulu2u3un

n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無窮級數(shù)

如果｛sn｝沒有極限則稱無窮級數(shù)un發(fā)散

n1n1n

1余項當級數(shù)un收斂時其部分和sn是級數(shù)un的和s的

近似值它們之間的差值

rnssnun1un2

叫做級數(shù)un的余項

n1

例1討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）

aqnaaqaq2aqn

n0的斂散性其中a0q叫做級數(shù)的公比

解：如果q1則部分和

snaaqaqaq2nlaaqnaqna

1qlqlqaa

當|q|1時因為limsn所以此時級數(shù)aqn收斂其和為

1qlqnn0

當|q|>l時因為limsn所以此時級數(shù)aqn發(fā)散

nn0

如果|q|1則當q1時snna因此級數(shù)aqn發(fā)散

n0

當q1時級數(shù)aqn成為

n0

aaaa

時|q|1時因為sn隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零

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章無窮級數(shù)

所以sn的極限不存在從而這時級數(shù)aqn也發(fā)散

n0a

綜上所述如果|q|1則級數(shù)aq收斂其和為如果

Iq1則級數(shù)aqn發(fā)散

1qnOnOn

僅當|q|1時幾何級數(shù)aqna0）收斂其和為n0a

1q

例2證明級數(shù)

135(2n-l)是發(fā)散的

證此級數(shù)的前n項部分和為

n(2In)n

sn135

顯然limsn因此所給級數(shù)是發(fā)散的

n

例3判別無窮級數(shù)

1111

122334n(n1）的收斂性

解由于

un因此

sn1111122334n(n1)111

n(n1)nn1

(1)()(從而

limsnlim(lnn1212131nll

)1nIn11)1

n1所以這級數(shù)收斂它的和是1

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

提示un111

n(n1)nn1

二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)

n1n

1性質(zhì)1如果級數(shù)un收斂于和s則它的各項同乘以一個常數(shù)

k所得的級數(shù)kun也收斂

且其和為ks

證明：設(shè)un與kun的部分和分別為sn與n則

nIn1

limnlim(kulku2kun)klim(ulu2un)

klimsnks

nnnn這表明級數(shù)kun收斂且和為ks

n1表明：級數(shù)的每一項同乘以一個不為零常數(shù)后，它的收斂

性不會改變。

性質(zhì)2如果級數(shù)un、vn分別收斂于和s、則級數(shù)

(unvn)也收斂且其和為s

nInIn1

證明：如果un、vn、(unvn)的部分和分別為sn、n、

n則

nInIn1

1imnlim[(ulvl)(u2v2)(unvn)]

nn

lim[(ulu2un)(vlv2vn)]

n

lim(snn)s

n表明：兩個收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減。

性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項不會改變級數(shù)的收斂

性

比如級數(shù)1111是收斂的

122334n(n1)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)

組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

加一項后級數(shù)

9895112123134ln(n1)也是收斂

的

減一項后級數(shù)m也是收斂的

3445n(n1)

性質(zhì)4如果級數(shù)un收斂則對這級數(shù)的項任意加括號后所成

的級數(shù)仍收斂且其和不變

n1注意如果加括號后所成的級數(shù)收斂則不能斷定去括號

后原來的級數(shù)也收斂

例如級數(shù)

(11)+(1D+收斂于零但級數(shù)

1111卻是發(fā)散的

推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散則原來級數(shù)也發(fā)散

級數(shù)收斂的必要條件

性質(zhì)5如果un收斂則它的一般項un趨于零即limun0

nIn0

證：設(shè)級數(shù)un的部分和為sn且limsns則

nIn

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

nOnnn

注意級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件

例如

調(diào)和級數(shù)

11111

23nnInin盡管它的一般項limn0,但它是發(fā)散的

因為

假若級數(shù)1收斂且其和為ssn是它的部分和

nn1顯然有l(wèi)imsns及l(fā)ims2ns于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

s2nsn1n1111111

n22n2n2n2n2故lim(s2nsn)0矛盾這矛盾說明級數(shù)

1必定發(fā)散

nnIn§122常數(shù)項級數(shù)的審斂法

一、正項級數(shù)及其審斂法

定義：各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù)，稱為正項級數(shù)。

正項級數(shù)是一類非常重要的級數(shù)，關(guān)于正項級數(shù)有列重要結(jié)論：

定理1正項級數(shù)un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}

有界

n1證

設(shè)級數(shù)

ulu2un

是一個正項級數(shù)。其部分和為sn

顯然sn是一個單調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列sn有界則根據(jù)單

調(diào)有界數(shù)列必有極限的準則，可知級數(shù)un收斂；反之若級數(shù)

un收斂，則部分和數(shù)列sn有極限，根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)

列的性質(zhì)可知｛sn｝有界

n1n1n1定理2(比較審斂法)設(shè)un和vn都是正

項級數(shù)且unvn(n12)若級數(shù)vn收

n1n1n1斂則級數(shù)un收斂反之若級數(shù)un發(fā)

散則級數(shù)vn發(fā)散

證

設(shè)級數(shù)vn收斂于和則級數(shù)un的部分和

nIn1

snulu2unvlv2vn(n1,2,

)

即部分和數(shù)列｛sn｝有界由定理1知級數(shù)un收斂

n1n1n

1反之設(shè)級數(shù)un發(fā)散則級數(shù)vn必發(fā)散

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

n1n1因為若級數(shù)vn收斂由上已證明的結(jié)論將有

級數(shù)un也收斂與假設(shè)矛盾

n1n1n1

推論

設(shè)un和vn都是正項級數(shù)如果級數(shù)vn收斂且存在自然

數(shù)N使當nN時有n1nlunkvn(k0)成立則級數(shù)

un收斂如果級數(shù)vn發(fā)散且當nN時有unkvn(k0)成

則級數(shù)un發(fā)散

n1

例1討論p級數(shù)

n1111111

np2P3P4pnp的收斂性其中常數(shù)p0

111解設(shè)p1這時P而調(diào)和級數(shù)發(fā)散由比較審斂法知

nnnIn當p1時級數(shù)n11發(fā)散

pn

設(shè)p1此時有

nnlllllldxdx[p1](n2,3,)

ppppInInnIxp1(nDnn對于級數(shù)

[n211p1]其部分和

p1(n1)nl][p112p1][plllnp111]1

pIp1(n1)(n1)

sn[123因為limsnlim[lnn1]1

(nl)p1111所以級數(shù)［收斂從而根據(jù)比較審斂法的推

論1可知級數(shù)當］ppIpInn2(nl)nIn青島科技大學(xué)

數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

p1時收斂

綜上所述p級數(shù)lp當p1時收斂當p1時發(fā)散

n1n提示級數(shù)[n211]的部分和為

(n1)pInp112p1

sn[112p1][13p1][Inp111

]1pl(nl)(nl)p1因為

1imsn1im[lnn1]1

(nl)p1所以級數(shù)[n211]收斂

(n1)pInp1

p級數(shù)的收斂性

p級數(shù)n11當p1時收斂當p1時發(fā)散

pn

例2證明級數(shù)nlln(n1)是發(fā)散的

證因為In(n1)1(n1)21

n1而級數(shù)n11111是發(fā)散的

n123n1根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的

定理3(比較審斂法的極限形式)n1n1

設(shè)un和vn都是正項級數(shù)

(1)如果limnunvnn1n11(01)且級數(shù)

vn收斂則級數(shù)un收斂

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

⑵如果limnunvn1?；?/p>

1imnunvnn1n1且級數(shù)vn發(fā)散則級數(shù)un

發(fā)散

證明由極限的定義可知對11存在自然數(shù)N當nN時

有不等式

21U11131n11

即IvnunIvn

222vn2再根據(jù)比較審斂法的推論1即得所要證的結(jié)論

例3判別級數(shù)tann1In的收斂性

tanl

解因為limnn1而級數(shù)1發(fā)散

InInn根據(jù)比較審斂法的極限形式級數(shù)tann1In

發(fā)散

例4判別級數(shù)n11(2n1)(2n1)的收斂性

1l(2n1)(2n1)1而級數(shù)2收斂

解因為limn14nln2n根據(jù)比較審斂法的極限形式級數(shù)

n11(2n1)(2n1)收斂

定理4(比值審斂法達朗貝爾判別法)

若正項級數(shù)un的后項與前項之比值的極限等于

n1

1imnunlun

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

則

當1時級數(shù)收斂

當1(或limnunlun)時級數(shù)發(fā)散

當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

例5證明級數(shù)1是收斂的

解因為

limn1111112123123(n

1)unlunlimn123(n1)123nlim

n101

n根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂

例6判別級數(shù)112123n!2的收斂

3nl0101010

解因為limnunlun(n1)!lOnn1limlim

nln!nlOn10根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散

例7判別級數(shù)n112n(2n1)的收斂性

解

1imnunlunlimn2n(2n1)(2n1)(2n2)1

這時1比值審斂法失效必須用其它方法來判別級數(shù)的收

斂性

因為

定理5(根值審斂法柯西判別法)l(2n1)2nln2而

級數(shù)n11收斂因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂

2設(shè)un是正項級數(shù)如果它的一般項un的n次根的極限等于

n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無窮級數(shù)

1imnnun

n則當1時級數(shù)收斂當1(或limnun)時級

數(shù)發(fā)散

當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

例8證明級數(shù)11213In是收斂的

23n并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差

解因為limnnunlimnn11lim0

nnnn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂

以這級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

|rn|

111

(nl)nl(n2)n2(n3)n3111

nIn2n3(n1)(n1)(n1)1

nn(n1)

例9判定級數(shù)n12(l)n2n的收斂性

解因為limnnunlimlnl2(1)n

2n2所以根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂

定理6(極限審斂法)

設(shè)un為正項級數(shù)

n1

(1)如果limnun10(或1imnun)則級數(shù)un發(fā)散

nnn1

(2)如果p1而limnpun1(01)則級數(shù)un收斂

nn1

例7判定級數(shù)ln(ln11)的收斂性

n2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第

十二章無窮級數(shù)

解因為In(112)~12(n)故

nn

1imn2unlimn21n(112)limn2121

nnnnn根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂

例8判定級數(shù)n1(1cos)的收斂性

n1n

解因為

1imn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11

212()

n2n2根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂

二、交錯級數(shù)及其審斂法

交錯級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)它的各項是正負交錯的

交錯級數(shù)的一般形式為(l)nInInun或(l)un其中

un0

n1

例如(1)nIn111cosn不是交錯級數(shù)

是交錯級數(shù)但(l)nInnn1

定理7(萊布尼茨定理)

如果交錯級數(shù)(l)nlun滿足條件

n1

(1)unun1(n123)

(2)limun0

n則級數(shù)收斂且其和sul其余項rn的絕對值

Irn|un1

證明設(shè)前2n項部分和為s2n

由s2n(ulu2)(u3u4)(u2nlu2n)

及

s2nul(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u

2n

看出數(shù)列｛s2n｝單調(diào)增加且有界(s2nul)所以收斂

設(shè)s2ns(n)則也有s2n1s2nu2n1s(n)

所以sns(n)從而級數(shù)是收斂的且snul

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

因為|rn|un1un2也是收斂的交錯級數(shù)所以

|rn)un1

例9證明級數(shù)(l)n11收斂并估計和及余項

n1n

證

這是一個交錯級數(shù)因為此級數(shù)滿足

(1)un11un1(n1,2,)

(2)limunliml0

nnInnn由萊布尼茨定理級數(shù)是收斂的且其和

sul1余項|rn|un1

1三、絕對收斂與條件收斂

n1nIn1

絕對收斂與條件收斂若級數(shù)|un|收斂則稱級數(shù)un絕對

收斂

n1n1n1若級數(shù)un收斂而級數(shù)|un|發(fā)散則

稱級un條件收斂

例如級數(shù)(l)n1nlln11是絕對收斂的而級數(shù)是條

件收斂的

(1)nn2n1n1n1定理8如果級數(shù)un絕對收斂

則級數(shù)un必定收斂

證明略

n1n

1注意如果級數(shù)|un|發(fā)散我們不能斷定級數(shù)un也發(fā)散

但是如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)Iun|發(fā)散

n1則我們可以斷定級數(shù)un必定發(fā)散

n1這是因為此時|un不趨向于零從而un也不趨向于零

因此級數(shù)un也是發(fā)散的

n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無窮級數(shù)

例11判別級數(shù)nlsinnanln44的收斂性

解因為|sinnan4|而級數(shù)nlln4是收斂的

所以級數(shù)|nIsinnan4卜也收斂從而級數(shù)

nlsinnan4絕對收斂

2例12判別級數(shù)(1)nln(1l)n的收斂性

n12n

解由|un|lln2n|u|l)nle1

有(1)limnn2nn2n2n可知limun0因此級數(shù)

(l)nnnllln2(1)發(fā)散

n2n

§123事級數(shù)

一、函數(shù)項級數(shù)的概念

函數(shù)項級數(shù)給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列：

ul(x),u2(x),u3(x),un(x)由這函數(shù)

列構(gòu)成的表達式

ul(x)u2(x)u3(x)un(x)

稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù)

記為un(x)

n1

對于區(qū)間I內(nèi)的一定點xO若常數(shù)項級數(shù)un(xO)收斂則稱

n1點xO是級數(shù)un(x)的收斂點

若常數(shù)項級數(shù)un(xO)發(fā)散則稱

nIn1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)

學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

點xO是級數(shù)un(x)的發(fā)散點。

n1函數(shù)項級數(shù)un(x)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域

n1

所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域

在收斂域上函數(shù)項級數(shù)un(x)的和是x的函數(shù)s(x)

n1s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)un(x)的和函數(shù)并寫成

s(x)un(x)

nIn1

Xun(x)是un(x)的簡便記法以下不再重述

n1

在收斂域上函數(shù)項級數(shù)Xun(x)的和是x的函數(shù)s(x)

s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)Eun(x)的和函數(shù)并寫成

s(x)Xun(x)

這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域。

函數(shù)項級數(shù)Eun(x)的前n項的部分和記作sn(x)即

sn(x)ul(x)u2(x)u3(x)un(x)

在收斂域上有l(wèi)imsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

函數(shù)項級數(shù)un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差

rn(x)s(x)sn(x)n1叫做函數(shù)項級數(shù)un(x)的余項

n1

函數(shù)項級數(shù)Xun(x)的余項記為rn(x)它是和函數(shù)s(x)與部分

和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)

在收斂域上有l(wèi)imrn(x)0

n

二、幕級數(shù)及其收斂性

幕級數(shù)

函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都塞函數(shù)的函數(shù)項

級數(shù)

這種形式的級數(shù)稱為塞級數(shù)它的形式是

aOalxa2xanx

其中常數(shù)aOala2an叫做幕級數(shù)的系數(shù)

例如一下級數(shù)

1xx2x3xn

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

2n高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

1x121xxn

2!n!2

n

注幕級數(shù)的一般形式是

aOal(xxO)a2(xxO)an(xxO)

經(jīng)變換txxO就得

aOalta2t2antn

幕級數(shù)

1xx2x3xn

可以看成是公比為X的幾何級數(shù)當|x|1時它是收斂的當

|x|1時它是發(fā)散的

因此它的收斂域為(11)在收斂域內(nèi)有

11xx2x3xn

1x由此例可得：

定理1(阿貝爾定理)如果級數(shù)anxn當xxO(xO0)時收斂

則適合不等式

n0|x||xO|的一切x使這事級數(shù)絕對收斂反之如果級

數(shù)anxn當xxO時發(fā)散

n0則適合不等式|x||xO|的一切x使這幕級數(shù)發(fā)散

證

先設(shè)xO是幕級數(shù)anx的收斂點即級數(shù)anxn收斂根據(jù)級

數(shù)收斂的必要條件

nOnOn有l(wèi)imanxO0于是存在一個常數(shù)M使

nn|anxOnM(n0,1,2,)

這樣級數(shù)n0anxn的的一般項的絕對值

xnxxnn||anxO|||nM|n

xOxOxO|anxnn||anxOxn因為當|x||x0|時等比級數(shù)

M||收斂所以級數(shù)|anxn|收斂

xOnOn0也就是級數(shù)n0anxn絕對收斂

定理的第二部分可用反證法證明倘若幕級數(shù)當xxO時發(fā)散而

有一點xl適合|xl|>|xO|使級青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程

建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

數(shù)收斂則根據(jù)本定理的第一部分級數(shù)當XX。時應(yīng)收斂這

與所設(shè)矛盾定理得證

推論

如果級數(shù)anxn不是僅在點x0一點收斂也不是在整個數(shù)軸

上都收斂則必有一個n0完全確定的正數(shù)R存在使得

當|x|R時基級數(shù)絕對收斂

當|x|R時基級數(shù)發(fā)散

當xR與xR時幕級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

收斂半徑與收斂區(qū)間正數(shù)R通常叫做幕級數(shù)數(shù)n0anxn

的收斂半徑開區(qū)間（RR）叫做幕級

n0anxn的收斂區(qū)間再由基級數(shù)在xR處的收斂性就

可以決定它的收斂域基級數(shù)n0anxn的收斂域是（R,R）（或

［R,R）、（R,R］、［R,R］之一

規(guī)定若塞級數(shù)anx只在x。收斂則規(guī)定收斂半徑R0

若幕級數(shù)anxn對一切x都nOn0收斂則規(guī)定收斂半徑

R這時收斂域為（，）

關(guān)于幕級數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：

定理2如果lim|nanlan|其中an、an1是嘉級數(shù)

anxn的相鄰兩項的系數(shù)

n0則這塞級數(shù)的收斂半徑

010

R0

簡要證明

limlnanIxnlanxnlim|nanlan|xx

(1)如果0則只當|x|1時基級數(shù)收斂故R

(2)如果0則幕級數(shù)總是收斂的故R

1

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

(3)如果則只當x0時幕級數(shù)收斂故R0

例1求惠級數(shù)(l)n1nIxn的收斂半徑與收斂域

nla

解

因為lim|n11limn11

nanInn所以收斂半徑為R11

當x1時塞級數(shù)成為(l)nIn11是收斂的

n

1當x1時幕級數(shù)成為()是發(fā)散的因此收斂域

為(1,1]

nn1

例2求幕級數(shù)1xlnxn!n012131的收斂域

xxxn2!3!n!

la(n1)!n!lim0

解

因為lim|n11limnann(n1)!Inn!所以收

斂半徑為R從而收斂域為(，)

例3求幕級數(shù)n!xn的收斂半徑

n0

解因為

lim|nanlanlim(n1)!n!n

所以收斂半徑為R0即級數(shù)僅在x0處收斂

例4求幕級數(shù)(2n)!2n0(n!)x2n的收斂半徑

解級數(shù)缺少奇次幕的項定理2不能應(yīng)用可根據(jù)比值審斂法來

求收斂半徑

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

幕級數(shù)的一般項記為un(x)(2n)!(n!)2x2n

因為lim|nun1(x)un(x)|41x12

當4|x|1即|x|21112時級數(shù)收斂當4|x|1即|x|時級

數(shù)發(fā)散所以收斂半徑為

R222[2(nl)]!(n!)22提示

un1(x)un(x)x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2x2

x2n

例5求嘉級數(shù)(xl)n2nn的收斂域

nItn

解令tx1上述級數(shù)變?yōu)閚

n12n

因為lim|nanlan2nnln1

2(n1)2所以收斂半徑R2

(1)1

當t2時級數(shù)成為此級數(shù)發(fā)散當t2時級數(shù)成為

此級數(shù)收斂

nnnIn1因此級數(shù)tn的收斂域為2t2因為

2x12BP1x3

nn12n所以原級數(shù)的收斂域為［1,3)

三、幕級數(shù)的運算

設(shè)累級數(shù)Eanxn及Xbnxn分別在區(qū)間(R,區(qū))及(R,R)內(nèi)

收斂則在(&區(qū))與(R,R)中較小的區(qū)間內(nèi)有

力口法XanxZbnxE(anbn)x

減法XanxnXbnxn￡(anbn)xn

乘法

(anx)(bnxn)aObO(aOblalbO)x(a0b2albla2b0

)x2

nnOn0nn

n(aObnalbn1anbO)x

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組n高等數(shù)學(xué)教案第十

二章無窮級數(shù)

除法：n0nOanxxnnnbcnOnxnnnx與

cnx相乘，然后比較

nOn

這里假定bOOo為了決定系數(shù)cn,可以將

bn0與anxn的同次幕項系數(shù)得出。

n0關(guān)于幕級數(shù)，有以下的重要性質(zhì)

性質(zhì)1幕級數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)

n0

如果幕級數(shù)在XR(或XR)也收斂則和函數(shù)s(x)在

(艮可(或[R,R))連續(xù)

性質(zhì)2幕級數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積并且

有逐項積分公式

n0

Oxs(x)dx(anx)dxOnOxnn00xanxdxnn

On1anxn1(xI)

逐項積分后所得到的基級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑

性質(zhì)3幕級數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(RR)內(nèi)可

導(dǎo)并且有逐項求導(dǎo)公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x

R)

n1n逐項求導(dǎo)后所得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半

徑

例6求幕級數(shù)Ixn的和函數(shù)

nOn1

解求得幕級數(shù)的收斂域為[11)

設(shè)和函數(shù)為s(x)即s(x)

在xs(x)Ixnx[11)顯然s(0)1

nOn1Inlx的兩邊求導(dǎo)得nIn0

[xs(x)]n0(llxn1)xn

n11xn0對上式從0到x積分得

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無窮級數(shù)

xs(x)IdxIni(x)

01xx1In(1x)0|x|11于是當x0時有

s(x)ln(lx)從而s(x)x

xlx0x1In

1因為xs(x)x[xn1]dx

OnOnInOn1

xOn0xndxldxIni(x)

01xx所以當x0時有s(x)lln(1x)

xlIn(1x)0|x|1從而s(x)x

lx0提示應(yīng)用公式F(x)dxF(x)F(0)即

F(x)F(0)F(x)dx

0011xx2x3xn1XXX

例7求級數(shù)l)nn1的和

n0

解

考慮塞級數(shù)lxn此級數(shù)在［1,1)上收斂設(shè)其和

nOn1函數(shù)為s(x)則5(1)(1)nn1

n0(1)11In

在例6中已得到xs(x)ln(lx)于是

s(1)ln2s(1)In即22nOnIn

§124函數(shù)展開成幕級數(shù)

一、泰勒級數(shù)

問題給定函數(shù)f(x)要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成

塞級數(shù)”就是說是否能找到這樣一個塞級數(shù)它在某區(qū)間內(nèi)收

斂且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)

如果能找到這樣青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等

數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

的累級數(shù)我們就說函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成幕級數(shù)

或簡單地說函數(shù)f(X)能展開成基級數(shù)而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表

達了函數(shù)f(x)

以前學(xué)過泰勒多項式如果f(X)在點xO的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)

數(shù)則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于

f(x)f(xO)f(xO)(xxO)

f(nl)f(x0)2!(xx0)2

f(n)(xO)n!(xxO)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xxO)n1(介于x與xO之間)

泰勒級數(shù)如果f(x)在點xO的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)

f(x)f(x)

f(n)(x)則當n時f(x)在點xO的泰勒多項式

pn(x)f(xO)f(xO)(xxO)成為基級數(shù)

f(xO)f(xO)(xxO)f(x0)2!(xxO)2f(x0)2!(

xxO)2f(n)(xO)n!(xxO)n

f(x0)3!(xxO)3f(n)(xO)n!(xxO)n

這一幕級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)

顯然當xxO時f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(xO)

但是除了xxO外f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂?如果收斂它是

否一定收斂于f(x)?對此，有以下定理：

定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點xO的某一鄰域U(xO)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)則f(x)

在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中

的余項Rn(x)當n0時的極限為零即

nlimRn(x)0(xU(xO))

證明

先證必要性設(shè)f(x)在U(xO)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)即

f(x)f(xO)f(xO)(xxO)f(xO)2!(xxO)

2f(n)(xO)n!(xxO)n

又設(shè)snl(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n1項的和則在U(xO)

內(nèi)sn1(x)f(x)(n)

而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)snl(x)Rn(x)于是

Rn(x)f(x)sn1(x)0(n)

再證充分性設(shè)Rn(x)0(n)對一切xU(xO)成立

因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)snl(x)Rn(x)于是

sn1(x)f(x)Rn(x)f(x)

即f(x)的泰勒級數(shù)在U(xO)內(nèi)收斂并且收斂于f(x)

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章無窮級數(shù)

在泰勒級數(shù)中取xO0得

f(0)f(0)xf(0)2!x2f(n)(0)n!xn

此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù)

展開式的唯一性如果f(x)能展開成x的幕級數(shù)那么這種展

式是唯一的它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致

這是因為如果f(x)在點xO0的某鄰域(RR)內(nèi)能展開成x

的嘉級數(shù)即

f(x)aOalxa2xanx

那么根據(jù)塞級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)有

f(x)al2a2x3a3xnanx

f(x)2!a232a3xn(nl)anxn2

f(x)3!a3n(n1)(n2)anxn3

f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2anlx

于是得

aOf(0)alf(0)a2f(0)2!2n12n

anf(n)(0)n!

注意如果f(x)能展開成X的幕級數(shù)那么這個累級數(shù)就是f(x)

的麥克勞林級數(shù)但是反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點

xO。的某鄰域內(nèi)收斂它卻不一定收斂于f(x)因此如果f(x)

在點xO。處具有各階導(dǎo)數(shù)則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來

但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂以及是否收斂于f(x)卻需要

進一步考察

二、函數(shù)展開成塞級數(shù)

展開步驟

第一步

求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)

f(X)f(x)f(n)(x)

第二步

求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x0處的值

f(0)f(0)f(0)f(0)

第三步

寫出嘉級數(shù)

f(0)f(0)x并求出收斂半徑R

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

(n)f(0)2!x2f(n)(0)n!xn高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無窮級數(shù)

第四步

考察在區(qū)間(RR)內(nèi)時是否Rn(x)0(n)

1imRn(x)limnf(n1)()n(n1)!xn

1是否為零如果Rn(x)0(n)則￡&)在(RR)內(nèi)有展

開式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x2f(n)(0)n!xn

(RxR)

例1將函數(shù)f(x)ex展開成x的基級數(shù)

解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)e(n12)因此f

1x1x2Ixn

2!n!(n)

X

(0)l(n12）于是得級數(shù)

它的收斂半徑R

對于任何有限的數(shù)X、（介于。與x之間）有

nlen1|x|Ix|x|e

IRn(x)|

(n1)!(n1)!|x|n10所以lim|Rn(x)|0從而有展開

式而limn(n1)!n

ex1x121xxn)

2!n!

例2將函數(shù)f(x)sinx展開成x的基級數(shù)

解因為f(n)(n)(x)sin(xn)(n12

)

2所以f(0)順序循環(huán)地取

0101((n0123)于是得級數(shù)

2nIx3x5nlx(1)

x3!5!(2n1)!它的收斂半徑為R

對于任何有限的數(shù)x、（介于0與x之間）有

sin[(n1)2(n1)!!xn11Rn(x)|||x|n10(n

)

（n1）!因此得展開式

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章無窮級數(shù)

sinxxx3x5x2n1(1)n1(x

)

3!5!(2n1)!2!n!

ex1x1x2Ixn(x)

例3將函數(shù)f(x)(1x)展開成x的塞級數(shù)其中m為任意常

數(shù)