高中數(shù)學熱點題型增分練專題15等差數(shù)列及其前n項和學生版新人教A版選擇性必修第二冊

專題15等差數(shù)列及其前n項和綜述1.等差數(shù)列有關公式：(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).2.等差數(shù)列常用結論：若{an}為等差數(shù)列，公差為d，前n項和為Sn，則有：(1)下標意識：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特殊地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；(2)隔項等差：數(shù)列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列；(3)分段等差：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列；(4)數(shù)列{eq\f(Sn,n)}是公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列，其通項公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；3.．等差數(shù)列與函數(shù)關系：(1)經(jīng)整理an＝dn＋(a1－d)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列?通項an為一次函數(shù)：即an＝kn＋b(a、b為常數(shù))；(2)經(jīng)整理Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))．【題型一】等差數(shù)列概念及公式【典例分析】已知數(shù)列，，均為等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列有關公式：通項公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2)【變式訓練】1.若等差數(shù)列的公差為d，（c為常數(shù)且），則（

）A．數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列B．數(shù)列是公差為cd的等差數(shù)列C．數(shù)列是首項為c的等差數(shù)列D．數(shù)列不是等差數(shù)列2.在等差數(shù)列中，若公差為，、為數(shù)列的隨意兩項，則當時，下列結論：①；②；③；④．其中必定成立的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型二】首項公差列方程型【典例分析】在等差數(shù)列中，，，則的值為（

）A．33 B．30 C．27 D．24【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列基礎思維：可以設首項a1與公差d為變量，列出關于首項a1與公差d的方程進行求解【變式訓練】1.已知是等差數(shù)列，，，則公差為（

）A．6 B． C． D．22.等差數(shù)列滿意，，則（

）A．10 B．12 C．14 D．163.在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，則n＝（

）A．18 B．19 C．20 D．21【題型三】“高斯技巧”1：等差中項型【典例分析】等差數(shù)列中，若，則（

）A．42 B．45 C．48 D．51【提分秘籍】基本規(guī)律高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+…+100的計算方法。它體現(xiàn)了一下幾方面的等差數(shù)列思想1.倒序求和思想。2.等差中項思想3.下標和思想：：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an【變式訓練】1.在等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．24 B．32 C．48 D．962.等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．3003.等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是（

）A．20 B．22 C．24 D．8【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項和型【典例分析】.在等差數(shù)列中，已知前21項和，則的值為（

）A．7 B．9 C．21 D．42【提分秘籍】基本規(guī)律利用“高斯技巧”，可得等差數(shù)列奇數(shù)項和公式：【變式訓練】1.等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．1 B． C． D．42.已知等差數(shù)列，其前項和為，，則（

）A． B． C． D．3.設等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B．45 C． D．90【題型五】“高斯技巧”3：首尾和【典例分析】已知一個有限項的等差數(shù)列{an}，前4項的和是40，最終4項的和是80，全部項的和是210，則此數(shù)列的項數(shù)為（

）A．12 B．14C．16 D．18【變式訓練】1.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．3 B．5 C．6 D．102.等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前項和等于（

）A．160 B．180 C．200 D．2203.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，am﹣1+am+am+1＝27，且Sm＝45，則m＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【題型六】比值型1：首項公差不定方程【典例分析】設為等差數(shù)列的前項和，若，則________．湖北省襄陽市第一中學2024-2025學年高二下學期5月月考數(shù)學試題【提分秘籍】基本規(guī)律利用通項或前n項和公式，轉化出關于首項和公差的比值關系（不定方程），代入即可化簡求比值【變式訓練】1.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．1 B． C． D．2.設等差數(shù)列的前項和為.若，則（

）A． B． C． D．3.已知等差數(shù)列前n項和為，且，則等于（

）A． B． C． D．【題型七】比值型2：雙數(shù)等差中項型【典例分析】設等差數(shù)列，的前n項和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律雙等差數(shù)列：等差數(shù)列和的前項和分別為和，則【變式訓練】1.設等差數(shù)列與的前n項和分別為和，并且對于一切都成立，則（

）A． B． C． D．2.等差數(shù)列、的前項和為，，且，則（）A． B． C． D．3.設，分別是等差數(shù)列，的前項和，若，則A．2 B．3 C．4 D．6【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標不一樣型【典例分析】設等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，.若對于隨意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律任一等差數(shù)列的前n項和，可以有函數(shù)關系：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))。所以，等差數(shù)列和的前項和分別為和，可以利用等差數(shù)列前n項和為一元二次型（既約型）【變式訓練】1.已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．2.已知均為等差數(shù)列的與的前n項和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．3.設等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（

）A．1 B． C． D．2【題型九】比值型4：整數(shù)型【典例分析】已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為___________.【提分秘籍】基本規(guī)律一般比值正數(shù)型，主要以分別常數(shù)為處理技巧。【變式訓練】1.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和分別為，且，則使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（

）A．2 B．6 C．4 D．52.已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，_____，為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為_______．3.已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)k的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型十】前n，2n，3n項和應用【典例分析】在等差數(shù)列中，前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列前n項和有“分段等差”性質：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列【變式訓練】1.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．202.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則等于（

）A． B． C． D．3.已知等差數(shù)列的前n項和為且，若，則n的值為（

）A．8 B．9 C．16 D．18【題型十一】數(shù)列實際應用題【典例分析】北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)隙積術，是探討某種物品按確定規(guī)律積累起來求其總數(shù)問題.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，發(fā)展了隙積術的成果，對高階等差數(shù)列求和問題提出了一些新的垛積公式.高階等差數(shù)列的前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23…則該數(shù)列的第41項為（

）A．782 B．822 C．780 D．820【變式訓練】1.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為33尺，前九個節(jié)氣日影長之和為108尺，則谷雨日影長為（

）A．5.5 B．8 C．12 D．162.中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有米二百四十石，令甲，乙，丙?丁，戊五人遞差分之，要將甲?乙二人數(shù)與丙?丁，戊三人數(shù)同.問：各該若干？其大意是：現(xiàn)有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差數(shù)列，要使甲，乙兩人所得大米重量與丙，丁，戊三人所得大米重量相等，問每個人各分得多少大米？在這個問題中，丁分得大米重量為（

）A．32石 B．40石 C．48石 D．56石分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎過關練1．已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．72．設等差數(shù)列的前項和為，若，則＝（

）A．60 B．62 C．63 D．813．已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．84．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．5．甲、乙兩位旅客乘坐高鐵外出旅游，甲旅客寵愛看風景，須要靠窗的座位；乙旅客行動不便，希望座位靠過道．已知高鐵二等座的部分座位號碼如圖所示，則下列座位號碼符合甲、乙兩位旅客要求的是（

）窗口12過道345窗口6789101112131415……………A．21，28 B．22，29 C．23，39 D．24，406．南宋數(shù)學家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所探討的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項為（

）A．183 B．125 C．162 D．1917．在等差數(shù)列中，已知，那么等于（

）A．4 B．5 C．6 D．78．已知公差為1的等差數(shù)列{}中，，，成等比數(shù)列，則{}的前10項的和為（

）A．55 B．50 C．45 D．109．設等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，，若對隨意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知是數(shù)列的前n項和，，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（

）A．325 B．326 C．327 D．328培優(yōu)其次階——實力提升練1．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．36 B．45 C．63 D．752．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．3．1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲．1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到500這500個數(shù)中，能被3除余2，且被5除余2的數(shù)按從小到大的依次排成一列，構成數(shù)列，則這個新數(shù)列各項之和為（

）．A．6923 B．6921 C．8483 D．84814．已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前n項和為，則______．7．等差數(shù)列、的前項和分別為和，若，則________．8．已知為數(shù)列的前項和，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則___________.9．正項等差數(shù)列的前和為，已知，則=__________.10．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”依據(jù)這一數(shù)學思想，全部被3除余2的正整數(shù)按從小到大的依次排列組成數(shù)列，全部被5除余2的正整數(shù)按從小到大的依次排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項按從小到大的依次排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項是數(shù)列的第______項.2．若周長為15的三角形的三邊成等差數(shù)列，最大內角為120°，則三角形的面積是__________．3．已知點P在雙曲線上，分別是雙曲線E的左、右焦點，若是的等差中項，且的面積為（c為雙曲線E的半焦距），則雙曲線E的離心率為__________．4．若為等差數(shù)列的前n項和