列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)[目標(biāo)導(dǎo)航]課標(biāo)要求1.通過(guò)典型案例的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想2.會(huì)對(duì)兩個(gè)分類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn),明確獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟,并能利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育當(dāng)堂即練·素養(yǎng)達(dá)成新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)啟迪新知梳理1.分類變量用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的隨機(jī)變量稱為分類變量.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d{x1,x2}2.2×2列聯(lián)表假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的取值分別為

和

,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為2×2列聯(lián)表)為{y1,y2}3.χ2統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)變量χ2=

,其中n=

為樣本容量.4.獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).a+b+c+d5.獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問(wèn)題中的解釋;(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較;(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論;(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過(guò)比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.教材拓展(1)2×2列聯(lián)表的特征(2)在列聯(lián)表中,如果兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系,則應(yīng)滿足ad-bc≈0.因此|ad-bc|越小,說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越強(qiáng).小試身手1.判斷兩個(gè)分類變量是彼此相關(guān)還是相互獨(dú)立的常用的方法中,最為精確的是(

)A.2×2列聯(lián)表 B.獨(dú)立性檢驗(yàn)C.等高條形圖 D.其他解析:A,C只能直觀地看出兩個(gè)分類變量x與y是否相關(guān),但看不出相關(guān)的程度.獨(dú)立性檢驗(yàn)通過(guò)計(jì)算得出相關(guān)的可能性,較為準(zhǔn)確.故選B.B2.如表是一個(gè)2×2列聯(lián)表,則表中a,b的值分別為(

)解析:a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.CXY合計(jì)y1y2x1a2173x2222547合計(jì)b46120A.94,72B.52,50C.52,74D.74,523.為考察某種新型流感疫苗對(duì)該流感的預(yù)防作用,把1000名注射疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒記錄做比較,提出假設(shè)H0:“這種疫苗不能起到預(yù)防該流感的作用”,并計(jì)算得P(χ2≥6.635)≈0.01,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.這種疫苗能起到預(yù)防該流感的有效率為1%B.若某人未使用疫苗,則他在半年中有99%的可能性得該流感C.有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防該流感的作用”D.有1%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防該流感的作用”C解析:因?yàn)镻(χ2≥6.635)≈0.01,這說(shuō)明假設(shè)不合理的程度為99%,即這種疫苗不能起到預(yù)防該流感的作用不合理的程度約為99%,所以有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防該流感的作用”.故選C.4.下列說(shuō)法正確的有

.(填序號(hào))

①χ2的值越大,兩個(gè)分類變量的相關(guān)性越大;③若求出χ2=4>3.841,則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系,即有5%的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤;④獨(dú)立性檢驗(yàn)就是選取一個(gè)假設(shè)H0條件下的小概率事件,若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生了,這是與實(shí)際推斷相抵觸的“不合理”現(xiàn)象,則作出拒絕H0的推斷.答案:③④解析:對(duì)于①,χ2的值越大,只能說(shuō)明我們有更大的把握認(rèn)為二者有關(guān)系,卻不能判斷相關(guān)性大小,故①錯(cuò).對(duì)于②,(ad-bc)應(yīng)為(ad-bc)2,故②錯(cuò).③④對(duì).課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一列聯(lián)表和等高堆積條形圖的應(yīng)用[例1]某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生做了一項(xiàng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)在平時(shí)的模擬考試中,性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張,性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張.作出等高堆積條形圖,利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系.解:列出列聯(lián)表如下.單位:人考前心情性格合計(jì)內(nèi)向外向緊張332213545不緊張94381475合計(jì)4265941020相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示.圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張的學(xué)生中性格內(nèi)向的學(xué)生的比例.從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高,可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類型有關(guān).方法總結(jié)即時(shí)訓(xùn)練1-1:觀察下列各圖,其中兩個(gè)分類變量x,y之間關(guān)系最強(qiáng)的是(

)解析:在四幅圖中,D圖中兩個(gè)深色條的高相差最明顯,說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng).故選D.探究點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用[例2]某籃球職業(yè)聯(lián)賽,分為常規(guī)賽和季后賽.由于某種原因,今年聯(lián)賽采用賽會(huì)制:所有球隊(duì)集中在同一個(gè)地方比賽,分兩個(gè)階段進(jìn)行,每個(gè)階段采用循環(huán)賽,分主場(chǎng)比賽和客場(chǎng)比賽,積分排名前8的球隊(duì)進(jìn)入季后賽.下表是A隊(duì)在常規(guī)賽60場(chǎng)比賽中的比賽結(jié)果記錄表.單位:場(chǎng)階段比賽場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)場(chǎng)數(shù)獲勝場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)獲勝場(chǎng)數(shù)第一階段30152010第二階段30152515(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),完成下面2×2列聯(lián)表:單位:場(chǎng)場(chǎng)地A隊(duì)合計(jì)勝負(fù)主場(chǎng)5客場(chǎng)20合計(jì)60解:(1)根據(jù)表格信息得到列聯(lián)表:單位:場(chǎng)場(chǎng)地A隊(duì)合計(jì)勝負(fù)主場(chǎng)25530客場(chǎng)201030合計(jì)451560(2)根據(jù)(1)中的2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷比賽的“主客場(chǎng)”與“勝負(fù)”之間是否有關(guān).α0.10.050.01xα2.7063.8416.635方法總結(jié)(1)兩個(gè)明確:①明確兩類主體.②明確研究的兩個(gè)問(wèn)題.(2)兩個(gè)關(guān)鍵:①準(zhǔn)確列出2×2列聯(lián)表.②準(zhǔn)確理解χ2.即時(shí)訓(xùn)練2-1:某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關(guān)系,隨機(jī)抽取了部分工人,得到如下列聯(lián)表:單位:人文化程度月收入合計(jì)2000元以下2000元及以上高中文化以上94453高中文化及以下193049合計(jì)2874102解析:6.073>3.841=x0.05.故選D.1.下列有關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)的四個(gè)命題,其中不正確的是(

)A.兩個(gè)變量的2×2列聯(lián)表中,對(duì)角線上數(shù)據(jù)的乘積相差越大,說(shuō)明兩個(gè)變量有關(guān)系成立的可能性就越大B.對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2來(lái)說(shuō),χ2越小,“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小C.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知,有95%的把握認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān),我們說(shuō)某人禿頂,那么他有95%的可能患有心臟病D.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知,有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān),是指在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)當(dāng)堂即練·素養(yǎng)達(dá)成當(dāng)堂即練C解析:對(duì)于A,兩個(gè)變量的2×2列聯(lián)表中,對(duì)角線上數(shù)據(jù)的乘積相差越大,說(shuō)明兩個(gè)變量有關(guān)系成立的可能性就越大,所以A正確.對(duì)于B,對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2來(lái)說(shuō),χ2越小,“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小,所以B正確.對(duì)于C,由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知,有95%的把握認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān),不是說(shuō)某人禿頂,那么他有95%的可能患有心臟病,C錯(cuò)誤.對(duì)于D,由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知,有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān),是指在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān),所以D正確.故選C.答案:無(wú)關(guān)不成立2.獨(dú)立性檢驗(yàn)所采用的思路是:要研究A,B兩類變量彼此相關(guān),首先假設(shè)這兩類變量彼此

,在此假設(shè)下構(gòu)造隨機(jī)變量χ2,如果χ2較大,那么在一定程度上說(shuō)明假設(shè)

.

3.某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目的觀眾抽樣調(diào)查中,隨機(jī)抽取了100名電視觀眾,相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示.單位:人觀眾年齡