2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習函數(shù)的周期性和對稱性

2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習

函數(shù)的周期性和對稱性數(shù)學考點1函數(shù)的周期性1.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)的定義:設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期的定義:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小正數(shù),那么這個

正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.思考：是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？并非所有周期函數(shù)都有最小正周期.2.關于函數(shù)周期性的幾個常見結論(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),則f(x)的周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是T=2|a|.推廣：若f(x+a)+f(x)=m,則的周期是T=2|a|(3)若f(x+a)=

,其中f(x)≠0,則f(x)的周期是T=2|a|.推廣：若f(x+a)f(x)=m,（m為非零常數(shù)）則的周期是T=2|a|.及時鞏固【典題1】若函數(shù)的定義域為R，且對一切實數(shù)x，都有f(x)=f(-x)，且f(2+x)=f(2-x)，試證明為周期函數(shù)．并求出它的一個周期．T=4【典題2】若定義在實數(shù)集R上的f(x)滿足：-3<x<-1時，f(x+1)=ex，對任意x∈R，都有f(x+2)f(x)=1成立．f(2019)等于()

T=4f(-1)=e-2考點2函數(shù)的對稱性1.軸對稱性(1)函數(shù)y=f(x),若其圖象關于直線x=a對稱?曲線y=f(x)上任一點A關于直線x=a對稱的點B一定在曲線y=f(x)上。?f(2a-x)=f(x)?f(a+x)=f(a-x)?f(2a+x)=f(-x).x=aAB思考：A,B關于直線x=a對稱，其橫縱坐標分別有何關系？A,B橫坐標之和為2a，縱坐標相等。設A(x,f(x)),則B()2a-x,f(2a-x)一。函數(shù)的圖象自對稱性AB(a,b)思考：A,B關于點(a,b)中心對稱，其橫縱坐標分別有何關系？2.中心對稱性(1)函數(shù)y=f(x),若其圖象關于點(a,b)中心對稱?曲線y=f(x)上任一點A關于點(a,b)對稱的點B一定在曲線y=f(x)上。?f(2a-x)+f(x)=2b?f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x)+f(-x)=2b.(2)函數(shù)y=f(x),若其圖象關于點(a,0)中心對稱,則f(a+x)=-f(a-x)?f(2a+x)=-f(-x)?f(2a-x)=-f(x).考點2函數(shù)的對稱性一。函數(shù)的圖象自對稱性A,B橫坐標之和為2a，縱坐標之和為2b。點(a,b)為線段AB的中點設A(x,f(x)),則B()2a-x,f(2a-x)二。兩個函數(shù)的圖象之間的相互對稱性y=f(x)與y=f(-x)關于對稱；y=f(x)與y=-f(x)關于對稱；y=f(x)與y=-f(-x)關于對稱；y軸x軸（0，0）二。兩個函數(shù)的圖象之間的相互對稱性(1)若函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)的圖象關于對稱.(2)若函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于對稱.(3)若函數(shù)y=f(2a+x)與y=f(-x)的圖象關于對稱.(4)若函數(shù)y=f(x)與y=-f(2a-x)的圖象關于對稱(5)若函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關于對稱直線x=0y=f(x)與y=f(-x)關于對稱；y=f(x)與y=-f(x)關于對稱；y=f(x)與y=-f(-x)關于對稱；y軸x軸（0，0）直線x=a直線x=-a（a，0）（a，b）二。兩個函數(shù)的圖象之間的相互對稱性(1)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關于直線x=a對稱?曲線y=f(x)上任一點A關于直線x=a對稱的點B一定在曲線y=g(x)上。?g(x)=f(2a-x)x=aAB2a-x,y求函數(shù)y=f(x)關于直線x=a對稱的函數(shù)g(x)。解：設g(x)圖像上任一點為B(x,y),則其關于直線x=a對稱的點A()在f(x)圖像上,g(x)=f(2a-x)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于對稱直線x=a函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于對稱函數(shù)y=f(x)與y=-f(2a-x)的圖象關于對稱直線x=a點(a,0)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關于對稱點(a,b)考點2函數(shù)的對稱性一。函數(shù)的圖象自對稱性函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=a對稱?f(2a-x)=f(x)函數(shù)y=f(x)圖象關于點(a,b)中心對稱?f(2a-x)+f(x)=2b二。兩個函數(shù)的圖象之間的相互對稱性函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=a對稱?f(2a-x)=f(x)?f(a+x)=f(a-x)?f(2a+x)=f(-x).一。函數(shù)的圖象自對稱性二。兩個函數(shù)的圖象之間的相互對稱性函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于對稱直線x=a函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)的圖象關于對稱直線x=0函數(shù)y=f(2a+x)與y=f(-x)的圖象關于對稱直線x=-a易錯點區(qū)分函數(shù)的自對稱性及相互對稱性及時鞏固口答學案基礎知識第1頁并完成學案上題型2的典例1C答題技巧：特值驗證算f(0),f(4),f(8)即可證明：函數(shù)y=f(x)圖象關于點(2,2)中心對稱f(4-x)+f(x)=4【典題1】已知函數(shù)，則()A．函數(shù)的圖象關于x=2對稱 B．函數(shù)的圖象關于x=4對稱 C．函數(shù)的圖象關于(2,2)對稱 D．函數(shù)的圖象關于(4,4)對稱易錯點區(qū)分函數(shù)的對稱性及周期性函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=a對稱?f(2a-x)=f(x)函數(shù)y=f(x)圖象關于點(a,b)中心對稱?f(2a-x)+f(x)=2b?f(2a+x)=f(x)f(x)的周期是T=2a.?f(2a-x)=-f(x)函數(shù)y=f(x)圖象關于點（a，0）對稱?f(2a+x)=-f(x)f(x)的周期是T=4a.?f(2a+x)+f(x)=2bf(x)的周期是T=4a.對稱性是（）中和為常數(shù)周期性是（）中差為常數(shù)(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩條對稱軸x=a,x=b,則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且T=2(b-a).(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(b,c),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2(b-a).(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(b,0),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=4(b-a).考點3函數(shù)的對稱性與周期性的關系請把學案上題型1的典例1翻譯為圖形語言函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=0,x=2對稱，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且T=2×(2-0)及時鞏固口答學案基礎知識第2頁并完成學案上題型3的典例1【典題1】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件，且函數(shù)是奇函數(shù)，給出以下四個命題：①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱；③函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；④函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)．在上述四個命題中，正確命題的序號是(寫出所有正確命題的序號)1.已知奇函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(x+4)=f(x)，當

B，2.函數(shù)其圖象的對稱中心是()奇函數(shù)點(0,-1)思路一：先猜后證，因為定義