2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí) 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差核心考點(diǎn)·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.【核心素養(yǎng)】數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說明】考向考法離散型隨機(jī)變量的分布列是高考考查重點(diǎn),常以實(shí)際問題為背景,與排列組合結(jié)合在一起交匯命題,各種題型均有考查.預(yù)測預(yù)計2025年高考仍會在離散型隨機(jī)變量、分布列出題,其中期望與方差的應(yīng)用命題更加靈活、多變.必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)知識梳理·歸納1.離散型隨機(jī)變量一般地,對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω,都有______的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量;可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi___0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=___.唯一≥1微點(diǎn)撥分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.

Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1+x2p2+…+xnpn平均水平

標(biāo)準(zhǔn)差偏離程度5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=_________.(2)D(aX+b)=_______(a,b為常數(shù)).(3)E(X1+X2)=____________.(4)D(X)=_____________.(5)若X1,X2相互獨(dú)立,則____________________.aE(X)+ba2D(X)E(X1)+E(X2)E(X2)-(E(X))2E(X1X2)=E(X1)·E(X2)基礎(chǔ)診斷·自測1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.(

)提示:離散型隨機(jī)變量所有取值的并事件是必然事件,故各概率之和等于1.(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出,則它服從兩點(diǎn)分布.(

)提示:

X的取值不是0,1,故不是兩點(diǎn)分布.(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量的偏離程度越小.(

)類型辨析改編易錯高考題號1243X25P0.30.7×√

×√2.(選擇性必修三P63例1改編)在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分.如果某籃球運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值為(

)A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1【解析】選C.某籃球運(yùn)動員罰球1次的得分為X,X的取值可能為0,1,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.

【解析】選B.對于A,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方差為(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;對于B,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,方差為(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;對于C,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,方差為(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;對于D,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,方差為(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.所以B這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.

X-101P

核心考點(diǎn)·分類突破

X-101P2-3qq2解題技法離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.對點(diǎn)訓(xùn)練1.若隨機(jī)變量X的分布列為則當(dāng)P(X<a)=0.8時,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)【解析】選C.由隨機(jī)變量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故當(dāng)P(X<a)=0.8時,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2].X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1

X123PX123P

X-101Pabc

【加練備選】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為(1)求2X+1的分布列;【解析】(1)由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.列表為從而2X+1的分布列為X01234P0.20.10.10.3mX012342X+1135792X+113579P0.20.10.10.30.3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為(2)求隨機(jī)變量η=|X-1|的分布列.【解析】(2)由(1)知m=0.3,列表為所以P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3,故η=|X-1|的分布列為X01234P0.20.10.10.3mX01234η10123η0123P0.10.30.30.3

X-101Pm3m(2)(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的有(

)A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2X01234Pq0.40.10.20.2【解析】選ACD.因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正確;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正確,B錯誤;因?yàn)閅=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正確.

Xa234Pb0

解題技法均值與方差的簡單計算方法(1)對于一般的離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計算,要分清各數(shù)據(jù),選擇公式,代入計算.(2)由已知期望或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用期望、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.

ξ0m1P

X-101Pmn

[例3]袋中有5個同樣的球,其中有3個紅球,2個黃球,現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地取球,每次取1個,當(dāng)兩種顏色的球都被取到時,即停止取球,記隨機(jī)變量X為此時已取球的次數(shù),求:(2)隨機(jī)變量X的分布列.

X234P

X234P解題技法離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟

X0123P

有編號為1,2,3,…,n的n個學(xué)生,入座編號為1,2,3,…,n的n個座位,每個學(xué)生規(guī)定坐一個座位,設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為X,已知X=2時,共有6種坐法.(2)求隨機(jī)變量X的分布列.

X0234P

審題導(dǎo)思

破題點(diǎn)·柳暗花明①思路:第2次投籃的人是乙包含兩個子事件:“第1次投籃的人是甲且甲未命中”和事件“第1次投籃的人是乙且乙命中”,兩子事件互斥求出概率.②思路:記第i次投籃的人是甲的概率為pi,可以用與①類似的思路去尋找pi+1與pi之間的關(guān)系,建立數(shù)列{p