2024年中考數(shù)學壓軸題型（廣東專用）專題02 利用銳角三角形函數(shù)解決實際問題（教師版）

PAGE1PAGE廣東專用壓軸專題02利用銳角三角形函數(shù)解決實際問題（含仰角俯角、坡度、方位角等問題）通用的解題思路：1.仰角與俯角問題仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．2.坡度問題坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用表示，則有.3.方位角問題方向角：平面上，通過觀察點作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角.1．（2023·廣東深圳·中考真題）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J【答案】B【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計算求解．【詳解】故選：B．【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東·中考真題）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)，當兩臂，兩臂夾角時，求A，B兩點間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

【答案】【分析】連接，作作于D，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，，，在中利用求出，繼而求出即可．【詳解】解：連接，作于D，

∵，，∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，∴，，在中，，，∴，∴∴答：A，B兩點間的距離為．【點睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東廣州·中考真題）某數(shù)學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿的AB的影子為BC，與此同時在C處立一根標桿CD，標桿CD的影子為CE，CD=1.6m，BC=5CD．(1)求BC的長；(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE=1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．【答案】(1)；(2)①；②旗桿AB高度約．【分析】（1）根據(jù)BC=5CD，求解即可；（2）①CE=1.0m時，連接DE，則有△DEC∽△ACB，根據(jù)相似的性質(zhì)求解即可；②當時，作點D到AB的垂線段DF，在Rt△ADF中，，求出，進一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．【詳解】（1）解：．（2）解：①CE=1.0m時，連接DE，則有△DEC∽△ACB，∴，∴，②當時，作點D到AB的垂線段DF，則四邊形BCDF是矩形，F(xiàn)B=DC=1.6m，F(xiàn)D=BC=8.0m，Rt△ADF中，，∴．∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．∴旗桿AB高度約12.8m．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，近似運算．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形．題型一仰角與俯角問題1．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）隨著科技的發(fā)展，無人機廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活．小琪利用無人機從點豎直上升到點，測得點到點的距離為，此時點的俯角為；后無人機到達點，此時測得點的俯角為．求無人機從點到點的平均速度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】無人機從點到點的平均速度．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：結(jié)合平行線性質(zhì)，從而可得，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出和的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后進行計算即可解答．【詳解】解：在中，，，．在中，，，，，無人機從點到點的平均速度．2．（2024·廣東汕尾·二模）綜合與實踐：鳳山祖廟旅游區(qū)位于廣東省汕尾市區(qū)東面的品清湖畔．該景區(qū)主建筑由鳳山公園、鳳山祖廟、鳳儀臺媽祖（天后圣母）石像三大部分組成，既是汕尾市著名的風景區(qū)，也是粵東地區(qū)百姓尤其是沿海漁民朝拜媽祖的地方．小明為測量媽祖石像的高度，制定了如下測量方案：如圖，當小明在點A（眼睛）處仰望石像頂部點D，測得仰角為，再往石像的方向前進至點B（眼睛）處，測得仰角為，且小明的眼睛距離地面，請幫他求出媽祖石像的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，延長與石像交于C，設(shè)，解得到，解得到，進而得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長與石像交于C，設(shè)，由題意得，，，在中，，在中，，，∵，∴，解得，∴，∴媽祖石像的高度為．3．（2024·廣東湛江·一模）安鋪鎮(zhèn)是廣東四大古鎮(zhèn)之一，它始建于明代1444年，迄今為止已有500多年的歷史．九（1）班的小明要測量安鋪鎮(zhèn)文閣塔的高度，如圖，小明在文閣塔前的平地上選擇一點A，在點A和文閣塔之間選擇一點，測得，用測角儀在處測得文閣塔頂部的仰角為，在處測得仰角為，已知測角儀的高．請你幫小明計算出文閣塔的高度．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，有關(guān)仰角俯角的問題，先作輔助線，然后根據(jù)已知條件得到邊長和角度，然后根據(jù)解直角三角形可得到結(jié)果，構(gòu)造出來直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長交于點，如圖所示：，由題意，得，，，，，是的一個外角，，，，在中，，，答：文閣塔的高度是．題型二坡度問題1．（2024·廣東深圳·一模）如圖所示，折線是一段登山石階，其中，部分的坡角為，部分的坡角為，．(1)求石階路（折線）的長．(2)如果每級石階的高不超過，那么這一段登山石階至少有多少級臺階？（最后一級石階的高度不足時，按一級石階計算．可能用到的數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)120米(2)472級【分析】（1）根據(jù)，可得，結(jié)合，計算即可．（2）先計算的長度，單位化成厘米后除以20，計算即可．本題考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的鉛直高度與對應(yīng)的水平距離的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)．【詳解】（1）∵，∴，∵，∵．（2）∵，∴，∵，∵，，∴，∴（級）．答：這一段登山石階至少有472級臺階．2．（2024·廣東江門·一模）甲、乙兩人去登山，甲從小山西邊山腳B處出發(fā)，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度與水平長度的比，即）．同時，乙從東邊山腳C處出發(fā)，東面山坡的坡度，坡面米．(1)求甲、乙兩人出發(fā)時的水平距離．(2)已知甲每分鐘比乙多走10米．兩人同時出發(fā)，并同時達到山頂A．求：甲、乙兩人的登山速度．【答案】(1)米(2)甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）過點A作，根據(jù)坡度比設(shè)，則，利用勾股定理即可求解；（2）設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為分鐘/米，列分式方程即可求解．【詳解】（1）解：過點A作，如圖，由題意得：，，∴設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，解得：，∴米；（2）解：由（1）得：，，∴，設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為分鐘/米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，則，∴甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；題型三方位角問題1．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，是一條東西走向的海岸線，碼頭和碼頭相距30海里，在碼頭南偏東的海島處有一艘輪船正向碼頭正南方向的海島行駛，輪船到達海島后測得海島在海島的北偏東75°方向上，而碼頭在海島的北偏西30°方向上．(1)已知關(guān)于兩角和的公式，請利用公式計算；(2)利用（1）的結(jié)論，求碼頭與海島之間的距離．（參考數(shù)據(jù)，，，，結(jié)果精確到海里）．【答案】(1)(2)碼頭與海島之間的距離為海里【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．（1）根據(jù)公式得即可；（2）作于點，設(shè)，則，，利用（1）的結(jié)論解直角三角形即可．【詳解】（1）解：==（2）如圖，作于點∵，，∴∵，∴為等腰直角三角形設(shè)，，在中∴解得：∴．答：碼頭與海島之間的距離為海里．2．（2024·廣東中山·一模）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時為各類用戶提供高精度、高可靠定位、導(dǎo)航、授時服務(wù)．如圖，小敏一家自駕到風景區(qū)C游玩，到達A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛10千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風景區(qū)C，小敏發(fā)現(xiàn)風景區(qū)C在A地的北偏東15°方向．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求B，C兩地的距離．（運算結(jié)果保留根號）【答案】(1)(2)兩地的距離為千米【分析】本題考查了解直角三角形中與方位角有關(guān)的應(yīng)用：（1）由平行線的性質(zhì)得，由平角可求得的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果；（2）過點B作，垂足為G，則在中，由正弦函數(shù)關(guān)系可求得的長度，再在中，由正弦函數(shù)關(guān)系即可求得的長度，即兩地的距離．【詳解】（1）解：如圖：由題意得：，，，，，

，

，，的度數(shù)為；

（2）解：過點B作，垂足為G，在中，千米，，（千米），

在中，，（千米），

兩地的距離為千米．題型四其他實際場景問題1．（2024·廣東肇慶·一模）傳統(tǒng)工藝品油紙傘是我國的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，使用歷史已有1000多年．傘是由傘柄，傘骨，傘面三部分組成．傘柄是傘的主心骨，傘骨是用來支撐整個傘面的，傘面是傘中重要的組成部分．如圖，傘打開時，其傘面的直徑的長為，相對兩根傘骨的最大夾角，求此傘的傘骨的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】此傘的傘骨的長度約為【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)三角函數(shù)求出即可，【詳解】解：由題意得，，于E點，∵，，∴，∵，∴在中，，，∴，∴此傘的傘骨的長度約為．2．（2024·廣東汕頭·一模）火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的災(zāi)害，消防車是消防教援的主要裝備．圖是某種消防車云梯，圖是其工作示意圖，當云梯升起時，與底盤的夾角為，液壓桿與底盤的夾角為．已知液壓桿，當，時，求的長．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點作于點，解直角三角形得到，，進而解直角三角形得到，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作于點，則，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，答：的長為．3．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在斜坡傳送帶上有一矩形，已知斜坡夾角，矩形的邊在上，對角線．(1)求度數(shù)；(2)當時，求的長．（參考數(shù)據(jù)：；；，結(jié)果精確到）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、對頂角相等、解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．（1）延長交于點，可知，可得在中，易知，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，然后由求解即可；（2）在中，由銳角三角函數(shù)可得，然后求解即可．【詳解】（1）解：延長交于點，如下圖，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴；（2）∵四邊形是矩形，∴，在中，∵，∴．4．（2024·廣東珠?！ひ荒＃楹霌P民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)與水平地面相切于點C，推桿與鉛垂線的夾角為點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當推桿與鐵環(huán)相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．

(1)求證：．(2)實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離最小，測得．已知鐵環(huán)的半徑為，推桿的長為，求此時的長．【答案】(1)證明見詳解；(2)；【分析】本題考查解直角三角形，直角三角形兩銳角互余，切線的性質(zhì)：（1）過B作，根據(jù)切線得到，結(jié)合得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可得到答案；（2）根據(jù)（1）及得到，結(jié)合三角函數(shù)求出，即可得到答案；【詳解】（1）解：過B作，由題意可得，，∵鐵環(huán)與水平地面相切于點C，∴，∵，∴，∵推桿與鐵環(huán)相切于點B，

，∴，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵的半徑為，推桿的長為，∴，，∴，∴．5．（2024·廣東梅州·一模）如圖（1）是一臺實物投影儀，圖（2）是它的示意圖，折線表示可轉(zhuǎn)動支架，支架可以伸縮調(diào)節(jié)，投影探頭始終垂直于水平桌面，與始終在同一平面內(nèi)．已知投影儀的底座高3厘米，支架厘米，探頭厘米．

(1)當支架與水平線的夾角為，與支架的夾角為，且時，求探頭的端點到桌面的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)為獲得更好的投影效果，調(diào)節(jié)支架，如圖（3）所示，使得與水平線的夾角為，同時調(diào)節(jié)支架，使得探頭端點與點在同一水平線上，且從點看點的俯角為，此時支架的長度為多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】(1)29.7厘米(2)31.6厘米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理，添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）連接，延長交過點的水平線于點．根據(jù)是等腰直角三角形可得厘米，，求出，再解直角三角形得出的長度，從而即可得解；（2）作于點．易得，解直角三角形求出的長，由勾股定理得出的長，再解直角三角形得出的長，從而得出的長，最后由勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，延長交過點的水平線于點．

由題意得：厘米，，，∴（厘米），．∴．∵始終垂直于水平桌面，∴．∴（厘米）．∵投影儀的底座高3厘米，∴探頭的端點到桌面的距離（厘米）．答：探頭的端點到桌面的距離約為29.7厘米；（2）解：如圖，作于點．

∴．由題意得：，．∴．∵厘米，∴（厘米），∴（厘米）．由題意得：．∴（厘米）．∴（厘米）．由題意得：，∴（厘米）．答：支架的長度大約為31.6厘米．6．（2024·廣東深圳·二模）【項目式學習】項目主題：設(shè)計落地窗的遮陽篷項目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度，為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽蓬的設(shè)計方案，請根據(jù)不同設(shè)計方案完成以下任務(wù)．方案1：直角形遮陽篷如圖1，小明設(shè)計的第一個方案為直角形遮陽篷，點C在的延長線上(1)若，，則支撐桿m．(2)小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽作用，如圖2，他觀察到此地一年中的正午時刻，太陽光與地平面的最小夾角為a，最大夾角為β．小明查閱資料，計算出，，為了讓遮陽篷既能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)(太陽光與平行)，又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽