9.2.1第2課時(shí)　銳角三角函數(shù)

第二章直角三角形的邊角關(guān)系1銳角三角函數(shù)第2課時(shí)銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)3正弦、余弦基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,則下列三角函數(shù)值正確

的是

(

)A.sinA=

B.cosA=

C.tanA=

D.tanB=

A解析如圖,

∵∠C=90°,AC=12,BC=5,∴AB=

=13,∴sinA=

,cosA=

,tanA=

,tanB=

,故選A.2.(教材變式·P30T3)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,則cosB的值為

(

)A.

B.

C.

D.

A解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,∴

=

,∴cosB=

=

,故選A.3.(2024福建漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=

,則sinB=

(

)

A.

B.

C.

D.

B解析∵∠C=90°,tanA=

,∴BC=

AC,∴AB=

=

BC,∴sinB=

=

=

,故選B.4.sin58°、cos58°、cos28°的大小關(guān)系是

(

)A.cos28°<cos58°<sin58°B.sin58°<cos28°<cos58°C.cos58°<sin58°<cos28°D.sin58°<cos58°<cos28°C解析易知sin58°=cos32°.∵58°>32°>28°,∴cos58°<cos32°<cos28°,∴cos58°<sin58°<cos28°.故選C.5.(新獨(dú)家原創(chuàng))如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,且(AB-5)2+|AC-4|=0.(1)求sinA和cosA的值.(2)求sin2A+cos2A的值.

解析

(1)∵(AB-5)2+|AC-4|=0,∴AB-5=0,AC-4=0,∴AB=5,AC=4,∵∠C=90°,∴BC=

=

=3,∴sinA=

=

,cosA=

=

.(2)sin2A+cos2A=

+

=1.6.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中點(diǎn),CO=8.5,BC=8.(1)求AC的長(zhǎng).(2)求sinA、cos∠OCA與tanB的值.

解析

(1)∵∠ACB=90°,O是AB的中點(diǎn),CO=8.5,∴AB=2CO=17.∵BC=8,∴AC=

=

=15.(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴sinA=

=

,tanB=

=

.∵∠ACB=90°,O是AB的中點(diǎn),∴OC=

AB=OA,∴∠A=∠OCA,∴cos∠OCA=cosA=

=

.能力提升全練7.(2024山東煙臺(tái)期中,7,★★☆)如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)

均在格點(diǎn)上,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

(

)

A.cosC=

B.tanB·tanC=1C.sinB=sinC

D.tanB=

C解析設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,由勾股定理得AC=

=

,AB=

=2

,BC=

=

,∴AC2+AB2=BC2,∴△ABC為直角三角形,且∠A=90°,∴cosC=

=

=

,tanB=

=

=

,tanC=

=

=2,sinB=

=

=

,sinC=

=

=

,∴tanB·tanC=1,sinB≠sinC,故選項(xiàng)A、B、D結(jié)論正確,選項(xiàng)

C結(jié)論錯(cuò)誤.故選C.8.(2024山東淄博博山一中期中,8,★★☆)如圖所示的是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為α,則cosα的值為

(

)

DA.

B.

C.

D.

解析∵小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,∴小正方形的邊長(zhǎng)為1,大正方形的邊長(zhǎng)為5,設(shè)直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為a,則較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為a+1,

其中a>0,∴a2+(a+1)2=52,∴a=3,∴a+1=4,∴cosα=

,故選D.9.(2023山東泰安新泰期末,15,★★☆)如圖,在平面直角坐標(biāo)

系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),以點(diǎn)A為圓心,AB

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,連接BC,則∠C的正

弦值為

.

解析∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),∴AO=4,BO=

3,∴AB=

=5.∵以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,

∴CO=5-4=1,∴BC=

=

,∴sinC=

=

=

.10.(2024山東單縣期中,16,★★☆)如圖所示,在菱形ABCD中,

DE⊥AB于E,BE=16cm,sinA=

,求此菱形的邊長(zhǎng).

解析∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∵DE⊥AB,∴sinA=

=

,設(shè)DE=12kcm,AD=13kcm,則AE=

=

=5kcm,∴EB=13k-5k=8k=16,∴k=2,∴AD=26cm,∴菱形的邊長(zhǎng)為26cm.11.(2023山東青島萊西期中,17,★★☆)如圖,△ABC中,AD⊥

BC,垂足為D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=

,求sinC的值.

解析∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.在Rt△ABD中,AD=12,tan∠BAD=

=

,∴BD=AD·tan∠BAD=9.∵BC=14,∴CD=BC-BD=5.∴AC=

=13.∴sinC=

=

.素養(yǎng)探究全練12.(運(yùn)算能力)(新考向·新定義試題)我們定義:等腰三角形中

底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)(can),如圖①,在△ABC中,AB=

AC,底角B的鄰對(duì)記做canB,這時(shí)canB=

=

.根據(jù)上述底角的鄰對(duì)的定義,解答下列問(wèn)題:(1)can30°=

.

(2)如圖②,已知在△ABC中,AB=AC,canB=

,S△ABC=24,求△ABC的周長(zhǎng).解析

(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC

于點(diǎn)D,∵∠B=30°,∴cosB=

=

,∴BD=

AB,∵△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,∴BC=2BD=

AB,∴can30°=

=

.

(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,如圖2,∵canB=

,∴可設(shè)BC=8x,AB=5x,