i第八章單因素方差分析

第八章單因素方差分析One-factoranalysisofvariance本章內(nèi)容第一節(jié)方差分析簡述第二節(jié)固定效應(yīng)模型第四節(jié)多重比較第三節(jié)隨機(jī)效應(yīng)模型第五節(jié)方差分析應(yīng)具備的條件方差分析（analysisofvariance，ANOVA）：是同時判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間差異顯著性的統(tǒng)計假設(shè)檢驗，是兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)差異顯著性t檢驗的延伸。ANOVA由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，用于推斷多個總體均數(shù)有無差異。第一節(jié)方差分析簡述一、方差分析的一般概念1、概念單因素方差分析（一種方式分組的方差分析）：研究對象只包含一個因素(factor)的方差分析。單因素實驗：實驗只涉及一個因素，該因素有a個水平(處理)，每個水平有n次實驗重復(fù)，這樣的實驗稱為單因素實驗。水平(level)：每個因素不同的處理(treatment)。方差分析

AnalysisofVariance（ANOVA)

因素也稱為處理因素（factor）（名義分類變量），每一處理因素至少有兩個水平(level)（也稱“處理組”）。一個因素（水平間獨(dú)立）——單向方差分析（第八章）兩個因素（水平間獨(dú)立或相關(guān)）——雙向方差分析（第九章）一個個體多個測量值——重復(fù)測量資料的方差分析

ANOVA與回歸分析相結(jié)合——協(xié)方差分析

目的：用這類資料的樣本信息來推斷各處理組間多個總體均數(shù)的差別有無統(tǒng)計學(xué)意義?！纠侩S機(jī)選取4窩動物，每窩中均有4只幼仔，稱量每只幼仔的出生重，結(jié)果如下。判斷不同窩的動物出生重是否存在顯著性差異。4窩動物的出生重單位：g32.931.425.728.0118.029.50027.123.327.826.7104.926.22533.226.028.632.3120.130.02534.733.326.231.6125.831.4501234和平均數(shù)ⅣⅢⅡⅠ窩別動物號2、單因素方差分析的數(shù)據(jù)格式：…yi1yi2yi3…yij…yinYi…ya1ya2ya3…yaj…yany31y32y33…y3j…y3ny21y22y23…y2j…y2ny11y12y13…y1j…y1n123…j…n平均數(shù)YaY3Y2Y1二、不同處理效應(yīng)與不同模型1、方差分析中每一觀測值的描述

——線性統(tǒng)計模型yij：在第i水平下的第j次觀測值；μ：總平均數(shù)，是對所有觀測值的一個參數(shù)；αi：處理效應(yīng)，是僅限于對第i次處理的一個參數(shù)；εij：隨機(jī)誤差成分。2、①固定效應(yīng)：由固定因素所引起的效應(yīng)。固定因素的水平可以嚴(yán)格地人為控制，在水平固定之后，它的效應(yīng)值也是固定的。③固定模型：處理固定因素所用的模型。在固定模型中，方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個水平，不能將結(jié)論擴(kuò)展到未加考慮的其它水平上。②固定因素：所研究因素各個水平是經(jīng)過特意選擇的，這樣的因素稱為固定因素。3、①隨機(jī)效應(yīng)：由隨機(jī)因素所引起的效應(yīng)。②隨機(jī)因素：所研究因素各個水平是從該因素水平總體中隨機(jī)抽出的，這樣的因素稱為隨機(jī)因素。③隨機(jī)模型：處理隨機(jī)因素所用的模型。在隨機(jī)模型中，方差分析所得到的結(jié)論，可以推廣到這個因素的所有水平上，是對水平總體的推斷。隨機(jī)因素的水平是不能嚴(yán)格人為控制的，在水平確定之后，它的效應(yīng)值并不固定。第二節(jié)固定效應(yīng)模型一、線性統(tǒng)計模型要檢驗a個處理效應(yīng)的相等性，就要判斷各αi是否為0。H0：α1=α2

=……=αa

=0HA：αi≠0（至少有1個i）若接受H0，則不存在處理效應(yīng)，每個觀測值是由總平均數(shù)加上隨機(jī)誤差構(gòu)成；若拒絕H0，則存在處理效應(yīng)，每個觀測值是由總平均數(shù)、處理效應(yīng)及誤差三部分構(gòu)成。處理間(組間)變異總變異誤差或處理內(nèi)(組內(nèi))變異總變異是測量值yij與總的均數(shù)間的差異。處理間變異是由處理效應(yīng)引起的變異。處理內(nèi)變異是由隨機(jī)誤差引起的變異。用離均差平方和的平均（均方、方差）反映變異的大小

1.

總平方和(totalsumofsquares,SST):每個測量值與總平均數(shù)離差的平方和的總和，反應(yīng)了一組數(shù)據(jù)總的變異程度。計算公式為：校正項(校正系數(shù)，correction)：dfT=N-1=an-1

二、平方和與自由度的分解2.

處理間平方和(sumofsquaresamongtreatments,SSA):各個處理組的平均數(shù)與總平均數(shù)離差的平方和，SSA反映了各處理組均數(shù)的變異程度。計算公式為：dfA=a-1處理均方(treatmentmeansquare，MSA)：處理間平方和除以自由度。（含有誤差成分）誤差平方和(errorsumofsquares,SSe)或稱處理內(nèi)平方和(sumofsquareswithintreatment)：各處理內(nèi)部觀測值與相應(yīng)處理平均數(shù)離差的平方和,SSe反映了各處理組內(nèi)觀測值的變異程度。計算公式為：dfe=dfT-dfA=an-a誤差均方(errormeansquare，MSe)：誤差平方和除以誤差自由度。MSe反映了隨機(jī)因素所造成的方差的大小。3．在同一處理組內(nèi)雖然每個受試對象接受的處理相同,但觀測值仍各不相同，這是由隨機(jī)因素（誤差）引起的。三種變異之間的關(guān)系SST=SSA+SSe

dfT=dfA+dfe

處理內(nèi)變異：隨機(jī)誤差處理間變異：處理因素＋隨機(jī)誤差One-FactorANOVA

PartitionsofTotalVariationVariationDuetoTreatmentSSBVariationDuetoRandomSamplingSSWTotalVariationSSTCommonlyreferredtoas:SumofSquaresWithin,orSumofSquaresError,orWithinGroupsVariationCommonlyreferredtoas:SumofSquaresAmong,orSumofSquaresBetween,orSumofSquaresModel,orAmongGroupsVariation=+

均方差，均方(meansquare，MS)

三、檢驗統(tǒng)計量F，當(dāng)F<Fα?xí)r，接受零假設(shè)H0：α1=α2=……=αa=0，各處理平均數(shù)之間差異不顯著，認(rèn)為MSA與MSe差異不大，產(chǎn)生的變異是由隨機(jī)誤差造成的；當(dāng)F>Fα?xí)r，拒絕零假設(shè)，處理平均數(shù)間差異顯著，MSA顯著高于MSe，產(chǎn)生的變異是由處理因素造成的。做F單側(cè)上尾檢驗

F值與F分布，四、方差分析表na-1SST總和MSA/MSeMSAa-1SSA處理間F均方自由度平方和變差來源單因素固定效應(yīng)模型方差分析表誤差或處理內(nèi)SSea(n-1)MSe五、方差分析的指導(dǎo)思想與基本原理方差分析的指導(dǎo)思想：是將所有測量值間的總變異按照其變異的來源分解為多個部分，然后進(jìn)行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。方差分析的基本原理：將總平方和分解為處理平方和和誤差平方和，根據(jù)相應(yīng)的自由度，得到相應(yīng)的均方；處理均方反映處理因素所造成的方差的大小，誤差均方反映隨機(jī)因素(誤差)所造成的方差的大??；處理均方除以誤差均方反映處理效應(yīng)的顯著性。六、單因素方差分析與成組數(shù)據(jù)t檢驗的異同單因素方差分析成組數(shù)據(jù)t檢驗相同不同平均數(shù)差異顯著性檢驗平均數(shù)差異顯著性檢驗兩個平均數(shù)差異的檢驗多個平均數(shù)差異的分析利用平均數(shù)的差利用平均數(shù)的方差計算統(tǒng)計量t計算統(tǒng)計量F【例8.1】

調(diào)查了5個不同小麥品系的株高，結(jié)果如下。試判斷這5個品系的株高是否存在顯著性差異。七、實例株號品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345和平均數(shù)64.665.364.866.065.8326.565.364.565.364.663.763.9322.064.467.866.367.166.868.5336.567.371.872.170.069.171.0354.070.869.268.269.868.367.5343.068.65個小麥品系株高(cm)調(diào)查結(jié)果①列出方差分析計算表：解：序號品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345-0.40.3-0.21.00.81.52.251.93-0.50.3-0.4-1.3-1.1-3.09.003.42.81.32.11.83.511.5132.2529.436.87.15.04.16.029.0841.00174.464.23.24.83.32.518.0324.0068.06總和57.01308.50277.28（編碼法-65）②利用公式計算各項平方和：③列出方差分析表：④結(jié)論：F4,20,0.05=2.86624147.32總和42.2332.940.78420131.7415.58品系間誤差F均方自由度平方和變差來源不同小麥品系株高方差分析表﹡α=0.05選定的5個不同小麥品系的株高差異極顯著。F4,20,0.01=4.431F>F0.01﹡﹡﹡﹡α=0.01下結(jié)論

注意：當(dāng)組數(shù)為2時，完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較的t檢驗結(jié)果等價，對同一資料,有：第三節(jié)隨機(jī)效應(yīng)模型一、隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析1、方差分析的程序與固定效應(yīng)模型方差分析的程序一樣。2、隨機(jī)效應(yīng)模型方差分析所得結(jié)論適用于水平的總體，固定效應(yīng)模型方差分析所得結(jié)論只適用于所選定的a個水平?！纠?.2】隨機(jī)選取4窩動物，每窩中均有4只幼仔，稱量每只幼仔的出生重，結(jié)果如下。判斷不同窩的動物出生重是否存在顯著性差異。二、實例4窩動物的出生重單位：g32.931.425.728.0118.029.50027.123.327.826.7104.926.22533.226.028.632.3120.130.02534.733.326.231.6125.831.4501234和平均數(shù)ⅣⅢⅡⅠ窩別動物號解：總和-11.2265.66185.362.91.4-4.3-2.0-2.04.0032.86-2.9-6.7-2.2-3.3-15.1228.0169.033.2-4.0-1.42.30.10.0133.494.73.3-3.81.65.833.6449.981234ⅣⅢⅡⅠ窩別序號①列出方差分析計算表(-30)：②計算各項平方和：③列出方差分析表：④結(jié)論：F3,12,0.05=3.49動物出生重方差分析表不同窩別動物的出生重沒有顯著差異。F<F0.0515147.32總和1.9719.5259.91231258.575118.945窩間誤差F均方自由度平方和變差來源﹡α=0.05﹡﹡α=0.01三、不等重復(fù)時平方和和自由度的計算dfA=a-1dfe=N-adfT=N-1第四節(jié)平均值之間的多重比較接受H0(F<Fα)，表示各處理組均數(shù)基本相等，差異沒有統(tǒng)計學(xué)意義。拒絕H0，接受HA(F>Fα),

表示各處理組均數(shù)不全相等，差異有統(tǒng)計學(xué)意義。哪兩均數(shù)之間差異顯著？哪兩均數(shù)之間差異不顯著？——方差分析終止——需要進(jìn)一步做多重比較多重比較(multiplecomparison)：經(jīng)過方差分析，若結(jié)論是各處理均數(shù)差異顯著(F>Fα，拒絕H0)，則必須在各處理均數(shù)之間一對一對地做比較，以判斷究竟在哪些對均數(shù)之間存在顯著差異，哪些對之間沒有顯著差異，這種比較稱為多重比較。累積Ⅰ類錯誤的概率為α’當(dāng)有k個均數(shù)需作兩兩比較時，比較的次數(shù)共有c=＝k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2設(shè)每次檢驗所用Ⅰ類錯誤的概率水準(zhǔn)為α，累積Ⅰ類錯誤的概率為α’，則在對同一實驗資料進(jìn)行c次檢驗時，在樣本彼此獨(dú)立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，其累積Ⅰ類錯誤概率α’與c有下列關(guān)系：α’＝1－(1－α)c(8.6)例如，設(shè)α＝0.05，c=3(即k=3)，其累積Ⅰ類錯誤的概率為α’＝1－(1-0.05)3=1-(0.95)3=0.1431、最小顯著差數(shù)法：把任意兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)差的絕對值與LSD

比較，以判斷不同組數(shù)據(jù)平均數(shù)差異顯著性的多重比較方法。一、最小顯著差數(shù)(LeastSignificantDifference,LSD)法成組數(shù)據(jù)t檢驗2、LSD的公式推導(dǎo)：當(dāng)n1=n2稱為最小顯著差數(shù)，記為LSD。③|dy|>與LSD比較，得出結(jié)論。當(dāng)|dy|>LSD時，該對平均數(shù)差異顯著；否則差異不顯著。3、LSD檢驗程序：①計算LSD②

列表計算每一對平均數(shù)差的絕對值|dx

|；二、Duncan多范圍檢驗

Duncanmultiplerangetest1、Duncan多范圍檢驗程序：①

將需要比較的a個平均數(shù)依照從大到小的次序重新排列。

原始處理組號平均數(shù)

重新排序號12…a-1ay1

y2…ya-1

ya②

計算每一對平均數(shù)間的差（大值－小值），列成表。③

計算臨界值Rk，列表。不同對平均數(shù)的差有不同的臨界值Rk。rα(k,df)的值由附表9(多重比較中的Duncan表)查出。df=a(n-1)，是誤差項自由度。k是相比較的兩個平均數(shù)間包含的平均數(shù)的個數(shù)(包括這兩個平均數(shù))，計算公式是兩平均數(shù)下標(biāo)的差加上1。dfka(n-1)23…a-1ar0.05Rkr0.01Rkk=2,3,…,a有a個平均數(shù)，有a-1個k值，需查出a-1個rα，分別乘以Sy，得到a-1個Rk值。④

比較每一對平均數(shù)差與相應(yīng)的Rk，得出結(jié)論。若平均數(shù)差大于相應(yīng)的Rk，說明這一對平均數(shù)之間差異顯著或者極顯著，以符號“﹡”或“﹡﹡”表示；若平均數(shù)差小于相應(yīng)的Rk，說明這一對平均數(shù)之間差異不顯著?！纠?.1】調(diào)查了5個小麥品系的株高，結(jié)果如下。經(jīng)方差分析判斷這5個品系的株高存在顯著性差異，試做多重比較分析。2、實例株號品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345和平均數(shù)64.665.364.866.065.8326.565.364.565.364.663.763.9322.064.467.866.367.166.868.5336.567.371.872.170.069.171.0354.070.869.268.269.868.367.5343.068.65個小麥品系株高(cm)調(diào)查結(jié)果①

排序:解：②

求差:③

列表計算Rk:④

結(jié)論:品系號ⅣⅤⅢⅠⅡ平均數(shù)排序號70.8168.6267.3365.3464.45543212346.44.22.90.95.53.32.03.51.32.21.5881.6671.7101.7384.024.224.334.401.1651.2251.2561.2842.953.103.183.25234520Rkr0.01Rkr0.05kdf﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡品系Ⅰ和Ⅱ間株高差異不顯著，品系Ⅲ和Ⅴ間株高差異顯著，其余各品系間株高差異極顯著。二、SNK法SNK(student-Newman-Keuls)法又稱q檢驗，是根據(jù)q值的抽樣分布作出統(tǒng)計推論（例8-1）。1．將各組的平均值按由大到小的順序排列：

順序 (1) (2) (3) (4)

平均值 28.0 18.7 18.5 14.8

原組號 B C A D 2.計算兩個平均值之間的差值及組間跨度k，見表8-3第(2)、(3)兩列。3.計算統(tǒng)計量q值4.根據(jù)計算的q值及查附表6得到的q界值（p286），作出統(tǒng)計推斷。附表6Bonferroni法的適用性

當(dāng)比較次數(shù)不多時，Bonferroni法的效果較好。但當(dāng)比較次數(shù)較多(例如在10次以上)時，則由于其檢驗水準(zhǔn)選擇得過低，結(jié)論偏于保守。三、Tukey法第五節(jié)方差分析應(yīng)具備的條件1、可加性：每個處理效應(yīng)和誤差效應(yīng)是可加的；一、方差分析應(yīng)滿足的三個條件2、正態(tài)性：實驗誤差應(yīng)當(dāng)是服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量；3、方差齊性：各處理的誤差方差應(yīng)具備齊性。1、Bartlett檢驗基本原理：

二、多個方差齊性檢驗

——Bartlett檢驗當(dāng)a個隨機(jī)樣本是從獨(dú)立正態(tài)總體中抽取時，可以計算出統(tǒng)計量K2。當(dāng)n=minni充分大時(n>3)，K2的抽樣分布非常接近于a-1自由度的x2分布。2、Bartlett檢驗程序：①

假設(shè)：H0：σ12=σ22

=……=σa2HA：至少有兩個σi2不相等②計算檢驗統(tǒng)計量K2③

結(jié)論：當(dāng)K2>x2a-1,α?xí)r拒絕零假設(shè)，方差不齊，應(yīng)做數(shù)據(jù)變換；否則，接受零假設(shè)，方差具有齊性。當(dāng)各處理樣本含量相同時3、變換①平方根變換將每個觀測值取其平方根，做方差齊性檢驗，若方差整齊，然后對平方根進(jìn)行方差分析。屬于泊松分布的數(shù)據(jù)，常常需要采取平方根變換；當(dāng)觀測數(shù)值很小時，如有幾個數(shù)小于10時，為了矯正，可以使用觀測值加上1再取平方根的變換。②平方根反正弦變換取每個觀測值平方根的反正弦值，然后做方差分析。適用于以百分?jǐn)?shù)表示的二項分布數(shù)據(jù)。⑴百分?jǐn)?shù)的變化范圍很大時，要使用反正弦變換，變換后的數(shù)據(jù)可以從附表10中查出；⑵百分?jǐn)?shù)的變化范圍在0％～20％，用平方根變換；⑶百分?jǐn)?shù)的變化范圍在80％～100％，先用100減去各百分?jǐn)?shù)，然后做平方根變換；⑷百分?jǐn)?shù)的變化范圍在30％～70％，可以不做變換。③

對數(shù)變換取每個觀測值對數(shù)值，然后做方差分析。⑴大范圍的正整數(shù)適用于對數(shù)變換；⑵對于一些小的數(shù)值，如小于10時，每一觀測值都加上1再變換。三、方差分析總程序：1、多個方差齊性檢驗——Bartlett檢驗當(dāng)K2>x2