第四章答案概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題答案

習題4-1數(shù)學期望一、填空題1．若離散型隨機變量X的分布為P(X=k)=（k=1,2……），則E(X)=。答案：2解答過程：令2．已知隨機變量X～B(100，），即P（X=k）=C（k=0,……100）則隨機變量Y=2X+5的數(shù)學期望E(Y)=答案：EY=2EX+5=1053.設(shè)（X，Y）的概率密度為：A0＜x＜1，0＜y＜xf(x,y)=0其他則A=，E(XY)=答案：A=2E（XY）=二、單項選擇題1．設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為：0x＜0F（x）=x30≤x≤1x＞1則：E(X)=（）（a）x4dx（b）3x3dx（c）x4dx+xdx（d）3x3dx答案：b因為2．設(shè)X為隨機變量，則E（3X－5）=（a）3E(X)+5（b）9E(X)－5（c）3E(X)－5（d）3E(X)答案：c3．設(shè)隨機變量X～B(n,0.3)，則DX滿足（）（a）DX＞EX2（b）DX＜EX2（c）DX=EX2（d）DX=0答案：b4．設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為20＜x＜f(x)=0其他則E（2X2+1）=（）（a）0（b）（c）2（d）答案：c三、計算題1．罐中有5顆圍棋子，2顆白子，3顆黑子，如果有放回地每次任取一子，共取3次，則3次中取到的白子次數(shù)是一個離散型隨機變量，試寫出這個隨機變量的概率函數(shù)，并計算它的期望解：設(shè)X表示取到的白子次數(shù)，X的概率函數(shù)為：X～B（3,）EX=np=3×==1.2DX=npq=3××==0.722．設(shè)隨機變量X的概率分布為如下表所示X－2012P求①E（X）②E（2X2+1）解：（1）E（X）=－（2）E（2X2+1）=3．設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為：f(x)=0＜x＜0其它已知P（X＞1）=，試確定常數(shù)θ的值，并計算E(X)。解：所以θ=2，EX=1.5；4．二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：x+y0≤x≤10≤y≤1f(x,y)=0其他求E（X）解：E（X）習題4-2方差一、填空題1．設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為：f(x)=(－∞＜x＜+∞)則X的數(shù)學期望E(X)=，方差D(X)=答案：EX=1，DX=2．設(shè)X為一隨機變量，若E(X)=1，D（）=1，則E（X－1）2=。答案：43．設(shè)隨機變量X的期望為u，均方差δ＞0，則當a=，b=時，E（a+bX）=0，D（a+bX）=1答案：a=±，b=±4．設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為：ax+b0≤x≤1f(x)=0其他且D(X)=，則a=b=E(X)=答案：a=2or－2，b=2orb=0EX=or5．設(shè)隨機變量X在區(qū)間[－1，2]上服從均勻分布，隨機變量1X＞0Y=0X=0－1X＜0則方差D(Y)=_________答案：二、單項選擇題1．設(shè)隨機變量X的期望EX存在，且EX=a，EX2=b，c為一常數(shù)，則D（cX）=（）(a)c(a－b2)(b)c(b－a2)(c)c2(b－a2)(d)c2(a－b2)答案：c2．設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和Y的方差分別為6和3，則隨機變量2X－3Y的方差是（）（a）51（b）21（c）－3（d）36答案：a三、計算題1．對上節(jié)計算題的第一小題中的隨機變量，計算其方差。設(shè)X表示取到的白子次數(shù)，X的概率函數(shù)為：X～B（3,）EX=np=3×==1.2DX=npq=3××==0.722．某公共汽車站每隔10分鐘有一輛車經(jīng)過，某一乘客到車站的時間是任意的，該乘客的候車時間（單位：分鐘）是一個隨機變量X，已知X的概率密度為：0＜x＜10f(x)=0其他求X的數(shù)學期望與均方差解：因為是均勻分布，故EX=5DX=3．設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為：2(1－x)0＜x＜1f(x)=0其他求Y1=X3及Y2=e-X的期望與方差。解EY1==0.1，故DY1=0.026，EY2==0.736,故DY2=0.0264．證明事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差不超過1/4。解：隨機變量X是0-1分布習題4-3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、填空題1.設(shè)X、Y是兩個隨機變量，已知EX=2，EX2=20，EY=3，EY2=34，XY=0.5則E（3X+2Y）=，D（3X+2Y）=答案：E（3X+2Y）=12D（3X+2Y）=3642.若隨機變量X與Y相互獨立，則一定有XY=。答案：XY=0二、單項選擇題1．如果隨機變量X與Y滿足D（X+Y）=D（X－Y），則下列式子正確的是（）（a）X與Y相互獨立（b）X與Y不相關(guān)（c）DY=0（d）DX·DY=0答案：b2．若隨機變量X和Y的協(xié)方差Cov（X，Y）＞0，則XY滿足（）（a）XY＜0（b）XY＞0（c）XY≥0（d）XY=0答案：b3．對任意隨機變量X、Y，有D（X+Y）=（）（a）D（X）+D（Y）（b）DX+DY－2Cov（X，Y）（c）D(X)+DY+2Cov（X，Y）（d）DX+DY+Cov（X、Y）答案：c三、計算題1．設(shè)隨機變量（X，Y）只能?。ǎ?，0），（－1，1）和（0，1）三組數(shù)，且取這三組數(shù)的概率分別為、和，計算X、Y的相關(guān)系數(shù)，并問X、Y是否不相關(guān)？是否獨立？解：XY-1001/201/211/31/61/25/61/6XY==即X，Y相關(guān)，所以X、Y不獨立2．設(shè)（X、Y）的聯(lián)合概率密度為：0≤x≤10≤y≤2f(x,y)=0其他求X、Y的期望與方差，協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)。解：EX==0.56DX=0.080EY=1.22DY=0.284Cov（X、Y）=－0.012XY≈－0.083．設(shè)隨機變量Y服從區(qū)間[0，2π]上的均勻分布。令X1=sinY，X2=cosY，求XX解：習題4-4大數(shù)定律與中心極限定理1．星期一上午來到某畫展陳列室的顧客人數(shù)是一個隨機變量，其分布未知。已知(人)，(人)，試用車貝謝夫不等式估計顧客數(shù)在8到28人之間的概率是多少？解：2.設(shè)是相互獨立的隨機變量，且都服從參數(shù)的泊松分布，記，試用中心極限定理求.解：3.已知某品種小麥麥穗粒數(shù)的數(shù)學期望是20，標準差是15，求在該品種100個麥穗中，麥粒總數(shù)在1800到2200粒之間的概率.解：4.每次投籃命中率為0.4，求600次投籃中命中次數(shù)大于250次的概率.解：5．一食品廠有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機的，因而售出一只蛋糕的價格是一個隨機變量，它取1，1.2，1.5（元）各個值的概率分別為0.3,0.2,0.5。某天售出300只蛋糕。1）求這天的收入至少400元的概率；2）求這天售出價格為1.2元的蛋糕多于60只的概率。解：（1）11.21.5P0.30.20.5（2）6．某大型商場每天接待顧客10000人，設(shè)每位顧客的消費額(元)服從均勻分布，且顧客的消費額是相互獨立的。試求1）該商場的日消費額(元)與平均日消費額之差的絕對值不超過2萬(元)的概率；2)如果以95%的概率保證該商場的日消費額在400萬元以上，那么光顧該商場的顧客數(shù)至少為多少？解：（1）（2）故第四章復習題一、填空題1．已知離散型隨機變量X的概率函數(shù)為：X－2－101P（X=xk）則E(X)E()答案：EX=－EX2=2．對球直徑作測量，設(shè)其直徑X服從[a,b]上的均勻分布，則球的體積Y的數(shù)學期望E(Y)=。答案：EY=(+b)(2+b2)3．已知X服從均勻分布，密度函數(shù)為：0＜x＜2πf(x)=0其他;則E（sinX）=答案：04.若有D(X)=25，D(Y)=36，XY=0.4，則D(X+Y)=，D(X－Y)=。答案：85，37二、單項選擇題1．設(shè)隨機變量X的期望EX為一非負值，且E（－1）=2，D（－1）=，則EX=（）。（a）2（b）1（c）0（d）答案：a2．設(shè)隨機變量X的期望EX，方差DX及EX2都存在，則一定有（）（a）EX＞0（b）EX2＞EX（c）（EX）2≥EX2（d）DX≥0答案：d3．若隨機變量X的期望EX存在，則E[E（EX）]=（）（a）0（b）X（c）EX（d）3EX答案：c4．設(shè)X為一隨機變量，若D（10X）=10，則DX=（）（a）（b）1（c）10（d）100答案：a5．對任意隨機變量X、Y，有E（XY）=（）（a）EX·EY（b）EX·EY+Cov（X，Y）（c）EX·EY－Cov（X，Y）（d）EX·EY－2Cov（X，Y）答案：b6．設(shè)X、Y為隨機變量，則Cov（3X、2Y）=（）（a）Cov3X+Cov2Y（b）Cov3X－Cov2Y（c）36Cov（X，Y）（d）6Cov（X，Y）答案：d三、計算題1．設(shè)隨機變量X的概率密度為ax2+bx+c0＜x＜10f(x)=0其它已知EX=0.5DX=0.15求a、b、c的值解因為解之得．2．某保險公司設(shè)置某一險種，規(guī)定每一保單有效期為一年，有效理賠一次，每個保單收取保費500元，理賠額為10000元，據(jù)估計每個保單索賠概率為0.05，設(shè)公司共賣出這種保單800個，求該公司在該險種上獲得的期望利潤。解:設(shè)隨機變量一年索賠的保險單數(shù)公司在該險種上獲得的利潤公司在該險種上獲得的平均利潤（元）3．一個螺絲釘?shù)闹亓渴请S機變量，期望值為10g，標準差為1g，100個一盒的同型號螺絲釘重量的期望值和標準差各為多少（假設(shè)每個螺絲釘?shù)闹亓慷疾皇芷渌萁z釘重量的影響）？解：4．一批零件中有9個合格品與3個廢品，在安裝機器時，從這批零件中任取1個，如果取出的是廢品就不再放回去。求在取得合格品以前，已經(jīng)取出的廢品數(shù)的數(shù)學期望和方差。解：X0123P3/49/449/2201/2205．設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為0x＜－1F（x）=a+barc(sinx)－1≤x＜11x≥1試確定常數(shù)a,b，并求EX及DX。解：a=，b=，EX=0，DX=6．證明對于任何常數(shù)c，隨機變量X有DX=E(X－c)2－(EX－c)2證明：7．設(shè)隨機變量X服從參數(shù)λ=1的泊松分布，Y~b（4，0.8），已知D（X+Y））=2.6，計算它們的相關(guān)系數(shù)XY。解：8．兩隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律如下表所示，計算X