概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、王瓊,阮宏順主編,習(xí)題集答案 第三章-第八章復(fù)習(xí)題含答案

隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1，4)，Y~N(0，16)，X，Y相互獨(dú)立，則U＝X-Y+7服從（D）分布.AN(8，23) BN(8，65) CN(1，20) DN(8，20)2.設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立且同分布：則下列各式成立的是（A）（A）(B)(C)(D)3.若X服從[-1,1]上的均勻分布，則期望EX=0DX=.若X服從B(12,0.3)，則期望EX=3.6DX=2.52.若X服從，則期望EX=DX=.若X服從，則期望EX=DX=.已知X～B(n，p）,則EX=np.已知X～B(n，p）,且EX=5，DX=2.5，則p=0.5.5.(2012cczu)5分設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分別是-2,1,方差分別是1,4,兩者相關(guān)系數(shù)是,則由切比雪夫不等式估計(jì).6.盒中有3只黑球,2只紅球,從中任取2只,若所取的2只中沒(méi)有黑球,那么在剩下的球中再取1個(gè)球.以X表示所取得的黑球數(shù),以Y表示所取得的紅球數(shù).求(X,Y)的聯(lián)合分布列與邊緣分布列,并判斷X與Y的獨(dú)立性，為什么？解：01210200因,所以不獨(dú)立.7.將兩封信隨意地投入3個(gè)空郵筒，設(shè)X、Y分別表示第1、第2個(gè)郵筒中信的數(shù)量，求(1)X與Y的聯(lián)合概率分布。(2)求出第3個(gè)郵筒里至少投入一封信的概率.(3)求其邊緣分布解：(1)(3)012010200(2)P=5/9.8．袋中裝有標(biāo)有1，1，2，3的四個(gè)球，從中任取一個(gè)并且不再放回，然后再?gòu)拇腥稳∫磺?，以分別記為第一，第二次取到的球上的號(hào)碼數(shù)，求（1）的聯(lián)合分布律（2）的分布律（3）的分布律解：12312030(2)2345(3)-2-10129.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，求(1)常數(shù)，(2)，(3).解：(1)因，即，解得（2）.（3）.10.設(shè)；①.求常數(shù)②求③與是否相互獨(dú)立？解：（1）見(jiàn)課本p60（2）聯(lián)合密度函數(shù)求解過(guò)程見(jiàn)課本邊緣分布函數(shù)為邊緣密度函數(shù)為（3）因?yàn)椋ɑ颍韵嗷オ?dú)立.11.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度是，求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度(3)并判斷X，Y的獨(dú)立性(4)(1)因，即，解得(2)，當(dāng)或時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)或時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以（3）因,所以不獨(dú)立.(4)12.設(shè)在3次獨(dú)立試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率相等.設(shè)X為3次試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù)且.求在3次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A至少發(fā)生一次的概率.解:設(shè)A發(fā)生的概率為p,則.由得,.所以,.13.從只含有3黑,4白兩種顏色球的球袋中逐次取一球,令.試在不放回模式下求的聯(lián)合分布律,并考慮其獨(dú)立性(要說(shuō)明原因).0102/72/712/71/7因?yàn)?所以不獨(dú)立.14.設(shè)相互獨(dú)立,且,,令求的分布律.解：01P15.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布且,求的值并寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列.解:;的分布列為.16.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為YX0123103/83/8031/8001/8求、和.解:.因?yàn)閄13P3/41/4所以.因?yàn)閄Y012369P1/83/83/8001/8所以.又因?yàn)樗?7.盒中有4張卡片，其上所標(biāo)的數(shù)字分別為1、2、3、4.從中任取一張，然后在剩下的卡片（其上的數(shù)字大于1）中再取1張.以表示第一次所取卡片上的數(shù)字，以表示第二次所取卡片上的數(shù)字.求的聯(lián)合分布列和邊緣分布列及,.解:聯(lián)合分布列為X\Y23411/121/121/12201/81/831/801/841/81/80邊緣分布列為X1234P1/41/41/41/4Y234P1/31/31/3.18.設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布,EX=1且DX=1.求a,b的值并寫(xiě)出隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x).解:因?yàn)椋獾?所以19.設(shè)，且X，Y獨(dú)立，試求E(XY)，D(XY).解：因?yàn)椋嗷オ?dú)立，所以.因?yàn)樗?,又因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以20.設(shè)隨機(jī)變量X密度函數(shù)為，求EX,E(5X-1),,DX和D(2X）.解:，,,,.21.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求(1)Y=2X+1的密度函數(shù)(2)求EY及DY.解:(1)因?yàn)?，所?(2)因?yàn)?.所以.22.設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為，問(wèn)X，Y是否獨(dú)立？求EX，DX.解:的邊緣密度函數(shù)為當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以.當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以.因?yàn)?，所以相互?dú)立.,,.23..設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為=，試求，的數(shù)學(xué)期望.解:.中心極限定理(10分)24.計(jì)算機(jī)在每次進(jìn)行數(shù)字計(jì)算時(shí)遵從四舍五入原則.為使我們此題簡(jiǎn)單考慮,我們假定對(duì)小數(shù)點(diǎn)后面的第一位進(jìn)行四舍五入運(yùn)算,則可以認(rèn)為誤差.現(xiàn)若在一項(xiàng)計(jì)算中一共進(jìn)行了100次數(shù)字計(jì)算，求平均誤差落在區(qū)間上的概率.解:設(shè)表示第次計(jì)算的誤差，則..由中心極限定理得，所以25.生產(chǎn)燈泡的合格率為0.9,求10000個(gè)燈泡中合格數(shù)在8900～9100的概率.解:設(shè)合格燈泡數(shù)為,則,由中心極限定理得，所以.26.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋10000次,求出現(xiàn)正面的次數(shù)不超過(guò)5200的概率.(用表示)解:設(shè)出現(xiàn)正面的次數(shù)為,則,由中心極限定理得.因此,.27.某車(chē)間有200臺(tái)機(jī)床，它們獨(dú)立地工作著，設(shè)每臺(tái)機(jī)器開(kāi)工率為0.6，開(kāi)工時(shí)耗電1千瓦，問(wèn)供電所至少要供多少電才能以不小于0.999的概率保證車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？解:設(shè)開(kāi)工的機(jī)器數(shù)為,則,由中心極限定理，設(shè)至少供應(yīng)千瓦的電，由題意，即,查表解得.所以至少供應(yīng)142千瓦的電能.28.某單位有200部電話分機(jī),每部電話約有5%的時(shí)間要使用外線通話.設(shè)每部電話是否使用外線通話是相互獨(dú)立的.求該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線才能以0.90以上的概率保證每部電話需要使用外線時(shí)可以打通?解:設(shè)同時(shí)要使用外線的電話數(shù)為,則,由中心極限定理，設(shè)至少需要安裝條外線，由題意，即查表解得所以至少安裝14條外線.29.某市保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù).被保險(xiǎn)人每年需交付保險(xiǎn)費(fèi)160元.若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬(wàn)元賠金.己知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005.現(xiàn)有5000人參加此項(xiàng)保險(xiǎn).求保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)元到40萬(wàn)元之間的概率.解:設(shè)發(fā)生重大人身事故的人數(shù)為,則,由中心極限定理,所以.第六章抽樣和抽樣分布1．設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中是已知的，而未知的，是從總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1)求的密度函數(shù);(2)指出，，，，之中，哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為什么？解：(1);(2)，，，是統(tǒng)計(jì)量.2.若是總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是的函數(shù),則(D)(A)統(tǒng)計(jì)量一定不含未知參數(shù)(B)一定是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量(C)統(tǒng)計(jì)量的分布一定不含未知參數(shù)(D)

A、C都對(duì)3.(2011cczu)10分設(shè)是來(lái)自具有分布-11的總體的隨機(jī)樣本,試用中心極限定理計(jì)算.(已知.)解:由題知,,故.由中心極限定理知,.所以,.4.從某班級(jí)的期末考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取10名同學(xué)的成績(jī)分別為：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86.(1)試寫(xiě)出總體，樣本，樣本值，樣本容量;(2)求樣本均值，樣本方差及樣本二階中心矩的觀察值.解：設(shè)表示全班同學(xué)的期末考試成績(jī)，則總體為，樣本為,樣本值為（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86）,樣本容量為，樣本均值的觀察值為，樣本方差的觀察值為.樣本二階中心矩的觀察值為.5．設(shè)隨機(jī)變量,則（B）.（A）T服從分布（B）T服從分布C）T服從正態(tài)分布（D）T服從分布6．設(shè)為正態(tài)總體的一個(gè)樣本,則樣本均值.數(shù)學(xué)期望.(2011cczu)數(shù)學(xué)期望.7.總體X服從正態(tài)分布,為未知參數(shù)，是來(lái)自X的樣本，則服從分布.8.(2011cczu)設(shè)為正態(tài)總體的一個(gè)樣本,則,其中為樣本方差.9.為總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，則下列結(jié)論中正確的是（D）.ABCD10．，，…，相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則服從的分布為.11.(2012cczu)5分設(shè)為總體的一個(gè)樣本，為樣本均方差，則服從的分布是.12.2012cczu)5分設(shè).要檢驗(yàn)假設(shè),則當(dāng)為真時(shí),用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量服從的分布是.13.一個(gè)樣本，是樣本均值，試問(wèn)樣本容量至少應(yīng)取多大才能使成立.解：因?yàn)椋?即,得.14.分布為下述情形(1)X～；(2)；(3)，為取自總體的樣本，與分別為樣本均值與樣本方差，試分別求.解：（1）;（2）;（3）.第七章參數(shù)估計(jì)(10分)1.(2011cczu)10分設(shè)總體X的密度函數(shù)為.設(shè)0.97,0.06,0.18,0.24,0.88,0.11,0.70,0.51,0.62,0.73為來(lái)自該總體的樣本值.求參數(shù)的矩估計(jì)值.解:依題意,,得參數(shù)的矩估計(jì)量為.而樣本均值,所以估計(jì)值為.2.(2012cczu)10分設(shè)總體X的密度函數(shù)為求的矩估計(jì)并計(jì)算.解:,得參數(shù)的矩估計(jì)量為..而,故.第八章假設(shè)檢驗(yàn)(10分)1.(2011cczu)10分某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝精鹽,額定標(biāo)準(zhǔn)每袋凈重400g.設(shè)包裝機(jī)包裝出的鹽每袋重,其中.每天隨機(jī)地抽取9袋秤得凈重為(單位:g)397,406,418,424,388,411,410,415,412.問(wèn)包裝機(jī)工作是否正常?(取).查表.解:(1)假設(shè);(2)取統(tǒng)計(jì)量;(3)由,確定臨界值,使得;(4)由樣本值,得統(tǒng)計(jì)量的觀察值.(5)因?yàn)?