專題18環(huán)排問題(原卷版+解析)

專題18環(huán)排問題例1．21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報數(shù)，報數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數(shù)．那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)的次數(shù)為A．19 B．38 C．51 D．57例2．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種例3．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種例4．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．例5．、、、四個人圍成一圈，確定好自己的位置后，、、三人隨機(jī)站到其他三個位置上，則與不相鄰的的坐法有__________.例6．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為

__________例7．一個圓桌有十二個座位，編號為1至12.現(xiàn)有四個學(xué)生和四個家長入座，要求學(xué)生坐在偶數(shù)位，家長與其孩子相鄰.滿足要求的坐法共有______種.例8．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數(shù)字作答）例9．有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？例10．有個人圍著一張圓桌坐成一圈，共有多少種不同的坐法？例11．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？例12．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間，有多少種坐法？例13．有5對夫婦和，共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉(zhuǎn)之后算相同坐法）．（1）若5對夫婦都相鄰而坐，，相鄰而坐，共有多少種坐法？（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，，不相鄰，共有多少種坐法？專題18環(huán)排問題例1．21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報數(shù)，報數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數(shù)．那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)的次數(shù)為A．19 B．38 C．51 D．57答案:D解析：【詳解】根據(jù)題意21人報數(shù)21人次，其中有7人次報數(shù)為3，則此7人出列，剩下13人；13人報數(shù)15人次，其中有5人報數(shù)為3，則此5人出列，剩下8人；8人報數(shù)9人次，其中有3人報數(shù)為3，則此3人出列，剩下5人；5人報數(shù)6人次，其中有2人報數(shù)為3，則此2人出列，剩下3人；3人報數(shù)3人次，其中有1人次報數(shù)為3，則此1人出列，剩下2人；2人報數(shù)3人次，其中1人次報數(shù)為3，則此人出列,剩下1人．在這個過程中一共報數(shù)：21+15+9+6+3+3=57人次．應(yīng)選答案D．點睛：解答本題的關(guān)鍵是充分借助題設(shè)條件中提供的操作程序，逐一求出報數(shù)的人數(shù)，再將其加起來求出其和就是21+15+9+6+3+3=57人次，從而使得問題獲解．體現(xiàn)了思維的重要性和綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．例2．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種答案:B解析：分析：B、C二人必須坐相鄰的兩把椅子，有4種情況，B、C可以交換，有種情況，其余三人坐剩余的三把椅子，有種情況，利用乘法計數(shù)原理可得結(jié)論.【詳解】首先，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，根據(jù)排列數(shù)的計算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，最后根據(jù)分步計數(shù)原理，得到種，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)具有限制條件的排列數(shù)的問題，涉及到的知識點有特殊元素優(yōu)先原則，相鄰問題捆綁法，注意不要忽略其內(nèi)部排列，屬于簡單題目.例3．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種答案:B解析：分析：甲比較特殊，先安排甲，隨著甲的安排乙也確定了，然后剩下位置給丙丁即可.【詳解】先安排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個位置的坐法有種，所以共有坐法種數(shù)為種．故選：B．例4．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．答案:86400解析：分析：分三步，先將5個女孩圓排列，再把6個男孩按2，1，1，1，1分成5組，最后把這5組放入已成圓排列的5個間隔即可得解.【詳解】因為任意2個女孩中間至少站1個男孩，則有且僅有2個男孩站在一起，先把5個女孩排成一個圈，這是個圓形排列，因此排法共有(種)，把6個男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，最后把5組男孩放入5個女孩構(gòu)成圓排列的5個間隔中有種方法，而站在一起的兩個男孩有順序性，有2種站法，所以，由分步乘法計數(shù)原理得，不同的排法共有(種).故答案為：86400例5．、、、四個人圍成一圈，確定好自己的位置后，、、三人隨機(jī)站到其他三個位置上，則與不相鄰的的坐法有__________.答案:2解析：計算出、、三人隨機(jī)站到三個位置的坐法種數(shù)，以及、不相鄰的坐法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】若與分別站在的兩邊，則與不相鄰的坐法有種，故答案為：2.【點睛】方法點睛：計算古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.例6．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為

__________答案:（解析：【詳解】10位男生全排列：，10位女生全排列：.因為是圍成一圈，所以不分頭尾，只需即可.故答案為:.例7．一個圓桌有十二個座位，編號為1至12.現(xiàn)有四個學(xué)生和四個家長入座，要求學(xué)生坐在偶數(shù)位，家長與其孩子相鄰.滿足要求的坐法共有______種.答案:解析：分析：分學(xué)生選擇相鄰的四個偶數(shù)、學(xué)生選擇三個相鄰的偶數(shù)，另一個學(xué)生坐對面、四個學(xué)生每兩個學(xué)生選擇相鄰偶數(shù)三種情況，求出學(xué)生的坐法，家長的坐法、四組家長學(xué)生全排列，由分步乘法計數(shù)原理和分類加法計算原理即可求解.【詳解】當(dāng)學(xué)生選擇相鄰的四個偶數(shù)有，，，，，有種，以學(xué)生選為例，家長的排法有，，，有種，同理可得：每一種學(xué)生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，當(dāng)學(xué)生選擇三個相鄰的偶數(shù)，一個學(xué)生坐對面有，，，，，有種，以學(xué)生選擇為例，家長的坐法有，，，，，，，，共種，同理可得：每一種學(xué)生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，當(dāng)四個學(xué)生每兩個學(xué)生選擇相鄰偶數(shù)時，學(xué)生有，，有種，以學(xué)生選擇為例，家長坐法有：，，，，，，，，有種，同理可得：每一種學(xué)生的坐法，家長都有種坐法，所以有種，綜上所述：滿足要求的坐法共有種，故答案為：.例8．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數(shù)字作答）答案:8解析：分析：先安排甲，有種方法；再安排乙，只能在甲的對面；最后安排丙、丁，有種方法，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得所求結(jié)果．【詳解】先按排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個位置的坐法有種，所以共有坐法種數(shù)為種．故答案為8．【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特、計算量大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則，先取后排原則，先分組后分配原則，正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時解答組合問題時必須考慮周全，做到不重不漏，正確解題．例9．有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？答案:768解析：分析：利用排列和捆綁法可求不同的站法.【詳解】把每對姐妹看成一個整體，讓5個整體站成一圈，共有種，每對姐妹之間可以交換次序，故不同站法共有．例10．有個人圍著一張圓桌坐成一圈，共有多少種不同的坐法？答案:種解析：分析：分析可知，要求的圓排列數(shù)，只需要求出全排列數(shù)，再除以就可以了，即可得解.【詳解】將個人進(jìn)行編號為，按照一定的順序站成一圈，就形成了一個圓排列，分別以、、、、、、、、、號作為開頭將這個圓排列打開，就可以得到種排列：、、、、、、、、、；；、、、、、、、、、.這就是說，這個圓排列對應(yīng)了個排列，因此，要求的圓排列數(shù)，只需要求出全排列數(shù)，再除以就可以了，即不同的坐法種數(shù)為種.例11．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？答案:（1）；（2）.解析：分析：（1）若正、副組長相鄰而坐，可將此人看作人，即可求解；（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可將人看作人，即可求解.【詳解】（1）若正、副組長相鄰而坐，可將此人看作人，即人圍一圓桌，有種，由于正、副組長人可交換，有種，所以共有種，（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可將人看作人，即人圍一圓桌，有種，因為正、副組長人可交換，有種，所以共有種.【點睛】方法點睛：常見排列數(shù)的求法為（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).例12．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間，有多少種坐法？答案:(1)1440種(2)240種解析：【詳解】試題分析：(1)正、副組長相鄰而坐，可將此人當(dāng)作人看，即人圍一圓桌，有＝種坐法，又因為正、副組長人可換位，有種坐法，由分步計數(shù)乘法原理可得結(jié)果．(2)記錄員坐在正、副組長中間，可將此人視作人，即人圍一圓桌，有＝種坐法，又因為正、副組長人可以換位，有種坐法，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可得結(jié)果．試題解析：(1)正、副組長相鄰而坐，可將此2人當(dāng)作1人看，即7人圍一圓桌，有(7－1)?。?！種坐法，又因為正、副組長2人可換位，有2！種坐法．故所求坐法為(7－1)！×2?。?440種．(2)記錄員坐在正、副組長中間，可將此3人視作1人，即6人圍一圓桌，有(6－1)?。?！種坐法，又因為正、副組長2人可以換位，有2！種坐法，故所求坐法為5！×2?。?40種．例13．有5對夫婦和，共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉(zhuǎn)之后算相同坐法）．（1）若5對夫婦都相鄰而坐，，相鄰而坐，共有多少種坐法？（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，，不相鄰，共有多少種坐法？答案:（1）7680種；（2）1152種.解析：分析：(1)將一對夫婦視為一組，，視為一組，先將6組人圓排列，再對每一組內(nèi)的兩