專題五 解析幾何-2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)核心速學(xué)解答題專題突破（藝體生適用）

核心速學(xué)專題五解析幾何【核心考點整合】【思維導(dǎo)引】1.利用幾何性質(zhì)求解圓錐曲線問題的一般思路第一步，根據(jù)題意繪制圖像，把握問題條件，提取幾何圖形，第二步，構(gòu)建幾何模型，結(jié)合幾何性質(zhì)挖握隱含條件；第三步，綜合圓錐曲線知識和幾何特性構(gòu)建思路，從函數(shù)與方程視角進行解析。2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．3、求解直線或圓錐曲線過定點問題的基本思路：把直線或圓錐曲線方程中的變量看成常數(shù)，把方程的一端化為零，將方程轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為主變量的方程，這個方程對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或圓錐曲線所過的定點．4、求定值問題常用方法:（1）從特殊值入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．（2）直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定值．5、存在性問題的處理策略解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題，往往是先假設(shè)所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗說明假設(shè)是否正確，其解題步驟為：（1）先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)；（2）解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在；若無解則不存在；（3）得出結(jié)論.6、探索性問題的類型與處理策略此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種：（1）若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；（2）若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論．7、直線的設(shè)法技巧在解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時，往往需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計算量的大小.若直線經(jīng)過的定點在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程便于運算，即“定點落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設(shè)為可以減小運算量，即“直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”.【真題領(lǐng)航】1.（2021·全國新高考Ⅰ卷）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程.（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【解析】因為，所以軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以軌跡的方程為；（2）設(shè)點，若過點的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線無公共點，不妨直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理可得，設(shè)點、，則且.由韋達定理可得，，所以，設(shè)直線的斜率為，同理可得，因為，即，整理可得，即，顯然，故.因此，直線與直線的斜率之和為.2.（2020·全國新高考Ⅰ卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．【解析】(1)由題意可得：，解得，故橢圓方程為.(2)設(shè)點.因為AM⊥AN，∴，即①,當直線MN的斜率存在時，設(shè)方程為,如圖1.代入橢圓C的方程消去并整理得：,②,根據(jù),代入①整理可得，將②代入，，整理化簡得,∵不在直線上，∴，∴，于是MN的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線MN的斜率不存在時，可得,如圖2.代入得,結(jié)合,解得,此時直線MN過點,由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，所以AE中點Q滿足為定值（AE長度的一半）.由于，故由中點坐標公式可得.故存在點，使得|DQ|為定值.【核心考能聚焦】核心考點一直線與圓【例1】已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．(1)求k的取值范圍；(2)若＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.【解析】（1）由題意可得，直線l的斜率存在，設(shè)過點A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．由已知可得圓C的圓心C的坐標（2，3），半徑R=1．故由，解得：．故當，過點A（0，1）的直線與圓C：相交于M，N兩點．（2）設(shè)M；N，由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程，可得，∴，∴，由，解得k=1，故直線l的方程為y=x+1，即x-y+1=0．圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．所以|MN|=2【對點練】（2021·新疆·烏市八中高二期末）已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方。（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于，兩點（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設(shè)出圓心坐標，根據(jù)直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，由此求解出的值（注意范圍），則圓的方程可求；（2）當直線的斜率不存在時，直接根據(jù)位置關(guān)系分析即可，當直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程并聯(lián)立圓的方程，由此可得坐標的韋達定理形式，根據(jù)結(jié)合韋達定理可求點的坐標.【詳解】解：（1）設(shè)圓心，∵圓心在的上方，∴，即，∵直線：，半徑為2的圓與相切，∴，即，解得：或（舍去），則圓方程為；（2）當直線軸，則軸平分，當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，，，由得，，所以，若軸平分，則，即，整理得：，即，解得：，當點，能使得總成立．核心考點二直線與橢圓【例2】（2020·全國Ⅱ卷）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，的中心與的頂點重合，過且與軸垂直的直線交于，兩點，交于，兩點，且．（1）求的離心率；（2）設(shè)是與的公共點，若，求與的標準方程．【解析】（1）因為為的焦點且軸，可得，，設(shè)的標準方程為，因為為的焦點且軸，所以，，，因為，，的焦點重合，所以，消去，可得，所以，所以，設(shè)的離心率為，由，則，解得舍去），故的離心率為.（2）由（1）可得，，，所以，，聯(lián)立兩曲線方程，消去，可得，所以，解得或（舍去），從而，解得，所以和的標準方程分別為，．【對點練】（2020·全國高考真題1卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標為，同理可得點的坐標為，當時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點的坐標為.同理可得：點的坐標為當時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．核心考點三直線與雙曲線【例3】（2021·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知雙曲線過點，且該雙曲線的虛軸端點與兩頂點的張角為．（1）求雙曲線的方程；（2）過點的直線與雙曲線左支相交于點，直線與軸相交于兩點，求的取值范圍．【解析】（1）由已知（2）設(shè)直線方程為，直線的方程為，可得直線的方程為，可得聯(lián)立，消去，整理得．可得又，所以的范圍是【對點練】（2021·廣東）已知雙曲線C：（）的左?右焦點分別為，，，過焦點，且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且滿足.（1）求C的方程；（2）過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，過，且斜率為的直線方程為，由，由，由于，即，所以.所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，由消去并化簡得，，且.設(shè)，則，所以中點的坐標為，由于，所以，，，化簡得，，解得或，由于且，所以，所以直線的方程為核心考點四直線與拋物線【例4】（2021·重慶南開中學(xué)高三月考）已知拋物線的焦點為．點在上，．（1）求;（2）過作兩條互相垂直的直線，與交于兩點，與直線交于點，判斷是否為定值?若是，求出其值；若不是，說明理由．【分析】（1）由題知①，由焦半徑公式得②，兩式聯(lián)立即可求得答案；（2）先討論當直線與軸平行時得，再討論當直線與軸不平行且斜率存在時，證明，再設(shè)方程，聯(lián)立方程，利用向量方法求即可.【詳解】解：（1）因為點在上，所以①，因為，所以由焦半徑公式得②，由①②解得所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，焦點坐標為，當直線與軸平行時，此時的方程為，的方程為，，此時為等腰直角三角形且，故.當直線與軸不平行且斜率存在時，若為定值，則定值比為，下面證明.要證明，只需證明，只需證，即，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，則，所以，，聯(lián)立方程得，所以，所以，所以，即，所以.綜上，為定值，.【技巧點撥】1.圓錐曲線中定值問題的特征圓錐曲線中的定點、定值問題往往與圓錐曲線中的“常數(shù)”有關(guān)，如橢圓的長、短軸，雙曲線的虛、實軸，拋物線的焦參數(shù)等．定值問題的求解與證明類似，在求定值之前，已經(jīng)知道定值的結(jié)果(題中未告知，可用特殊值探路求之)，解答這類題要大膽設(shè)參，運算推理，到最后參數(shù)必清，定值顯現(xiàn)．2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略3.兩種解題思路①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②引進變量法：其解題流程為：【對點練】（2021·河南·高三月考）已知拋物線的焦點為，且點與圓上點的距離的最大值為.（1）求；（2）若為坐標原點，直線與相交于，兩點，問：是否為定值？若為定值，求出該定值;若不為定值，試說明理由【分析】（1）根據(jù)圓上的點與定點之間距離的最大值等于圓心與定點的距離加半徑得到等量關(guān)系，從而解方程即可求出結(jié)果；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線，結(jié)合韋達定理化簡整理即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題得，圓的圓心，拋物線的焦點為，，所以與圓上點的距離的最大值為，解得.（2）設(shè)，，由得，所以，且，，，，所以.所以的值為定值.【點睛】（1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．【核心素養(yǎng)集訓(xùn)】1.（2021·江蘇高三月考）在平面直角坐標系中，己知圓，且圓被直線截得的弦長為2.（1）求圓的標準方程；（2）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線的方程；（3）若圓上存在點，由點向圓引一條切線，切點為，且滿足，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）圓方程可整理為：圓的圓心坐標為，半徑圓心到直線的距離：截得的弦長為：，解得：圓的標準方程為：（2）①若直線過原點，可假設(shè)直線方程為：，即直線與圓相切圓心到直線距離，解得：切線方程為：②若直線不過原點，可假設(shè)直線方程為：，即圓心到直線距離，解得：或切線方程為或綜上所述，切線方程為或或（3）假設(shè)，即又直線與圓相切，切點為即：，整理得：又在圓上兩圓有公共點，解得：即的取值范圍為：2.已知拋物線：，是坐標原點，是的焦點，是上一點，，．（1）求的標準方程.（2）設(shè)點在上，過作兩條互相垂直的直線，，分別交于，兩點（異于點）．證明：直線恒過定點．【解析】（1）由，，可得，代入：．解得或（舍），從而：．（2）由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，從而，且，．又，，∵∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過定點，與點重合，不符合；若，則，過定點．綜上，直線過異于點的定點．3.（2021·全國高三）已知拋物線：()的焦點與雙曲線：右頂點重合.（1）求拋物線的標準方程；（2）設(shè)過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，是拋物線的焦點，且，求直線的方程.【解析】（1）由題設(shè)知，雙曲線的右頂點為，∴，解得，∴拋物線的標準方程為.（2）設(shè)，，顯然直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由得，即，∴，.又∵，，∴，∴，即，解得或，∴直線的方程為或.4.（2021·山東）已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合，一條漸近線的傾斜角為．（1）求雙曲線的方程；（2）經(jīng)過點的直線與雙曲線的右支交與兩點，與軸交與點，點關(guān)于原點的對稱點為點，求證：．【解析】（1）由題意得，，解得所以雙曲線的方程為：（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，得，，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得，所以所以直線與雙曲線右支有兩個交點，所以所以，設(shè)，所以5.（2021·江蘇高考真題）已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內(nèi)部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.【分析】（1）由可證得結(jié)論成立；（2）①設(shè)點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出關(guān)于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當在橢圓的內(nèi)部時，，可得.設(shè)點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以直線方程為，即.所以直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，