遼寧省重點(diǎn)高中沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

遼寧省重點(diǎn)高中沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)期末考試試題數(shù)學(xué)命題人：沈陽(yáng)市三十中學(xué)聶鑫校題人：沈陽(yáng)市八十三中學(xué)蘭義興一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，分析可知，由集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，即，解得，即，因?yàn)?，且，則，所以，.故選：B.2.“”的一個(gè)充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式直接證明，或舉特例判斷.【詳解】根據(jù)得為任意實(shí)數(shù)，所以A錯(cuò)；由，得，當(dāng)且時(shí)，有；當(dāng)且時(shí)，有，不滿(mǎn)足題意，所以B錯(cuò)；因?yàn)闈M(mǎn)足，也滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足題意，所以C錯(cuò)；因?yàn)?，所以，所以能推出，滿(mǎn)足題意，D正確.故選：D.3.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷，可得答案.【詳解】由題意知，，所以，故選：D.4.函數(shù)在上的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性以及在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，函?shù)為偶函數(shù)，排除CD選項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)，，，則，排除B選項(xiàng).故選：A.5.質(zhì)數(shù)也叫素?cái)?shù)，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林-梅森曾對(duì)“”（p是素?cái)?shù)）型素?cái)?shù)進(jìn)行過(guò)較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學(xué)界將“”（p是素?cái)?shù)）形式的素?cái)?shù)稱(chēng)為梅森素?cái)?shù)．已知第12個(gè)梅森素?cái)?shù)為，第14個(gè)梅森素?cái)?shù)為，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】近似化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，令，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得，∴，∴，結(jié)合選項(xiàng)知與最接近的數(shù)為.故選：C.6.若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為（）A.e，1 B.，1 C.e， D.，【答案】C【解析】【分析】由和是方程的兩個(gè)根得出的值，再由奇函數(shù)的定義得出的值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以和是方程的兩個(gè)根，所以，即，因?yàn)?，所以，即，?故選：C7.已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為相同的形式，然后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，?gòu)造函數(shù)，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，即存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，即，所以，故選：C.8.已知函數(shù)，，若有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，進(jìn)行分析，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)最多4個(gè)零點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合討論各種情況，根據(jù)一元二次方程根的分布即可得出結(jié)果.【詳解】由題可得函數(shù)圖象，當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)解；因?yàn)樽疃嘤袃蓚€(gè)解.因此，要使有6個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，設(shè)為，.則存在下列幾種情況：①有2個(gè)解，有4個(gè)解，即或，，顯然，則此時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足，即，解得，②有3個(gè)解，有3個(gè)解，設(shè)即，，則應(yīng)滿(mǎn)足，無(wú)解，舍去，綜上所述，取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，常用數(shù)形結(jié)合分析，分析各種情況后，往往會(huì)用到零點(diǎn)的存在性定理或根的分布情況來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選題）已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項(xiàng)，若且，則以下結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公比，可知，A正確；由于不確定和的正負(fù)，所以不能確定和的大小關(guān)系；根據(jù)題意可知等差數(shù)列的公差為負(fù)，所以可判斷出C不正確，D正確．【詳解】對(duì)A，等比數(shù)列的公比，和異號(hào)，，故A正確；對(duì)B，因?yàn)椴淮_定和的正負(fù)，所以不能確定和的大小關(guān)系，故B不正確；對(duì)CD，和異號(hào)，且且，和中至少有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，又，，故D正確，一定是負(fù)數(shù)，即，故C不正確.故選：AD.10.下面命題正確的是（）A.不等式的解集為B.不等式解集為C.不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】解含參數(shù)的不等式判斷AB；分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)求出最小值判斷C；利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布求出m的范圍判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，不等式化為，解得，則原不等式的解集為，A正確；對(duì)于B，不等式化為，解得，不等式的解集為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不等式在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，則，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)在上有等根時(shí)，，解得，當(dāng)在上只有1個(gè)根時(shí)，，解得，或或，解得，于是，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為，D正確.故選：ACD11.函數(shù)和有相同的最大值b，直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)最大值的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、指數(shù)與對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行求解即可.【詳解】對(duì)于AB，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值，不符合題意，于是有，，因此選項(xiàng)AB正確，對(duì)于CD，兩個(gè)函數(shù)圖像如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，且，由，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，即，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合等式是解題的關(guān)鍵.12.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為B.是偶函數(shù)C.設(shè)的極大值為，極小值為，若，則D.若過(guò)點(diǎn)可以作圖象的三條切線，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】由可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，結(jié)合求出的值，可判斷C選項(xiàng)；設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出方程有三個(gè)不等的實(shí)根，可知，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)是偶函數(shù)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，令，可得，列表如下：減極小值增極大值減所以，，，所以，，解得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，曲線在處的切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程得，整理可得，令，其中，則，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減若過(guò)點(diǎn)可以作圖象的三條切線，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，合乎題意，D對(duì).故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，且，則的最小值是___________.【答案】##4.5【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意取值條件.【詳解】由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值是.故答案為：14.已知，若與的值域相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的值域，進(jìn)而由題設(shè)條件得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，因?yàn)榕c的值域相同，所以.故答案為：15.若為奇函數(shù)，則的表達(dá)式可以為_(kāi)_____.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義探討函數(shù)的特性，再求出解析式作答.【詳解】函數(shù)中，必有，即或，而函數(shù)是奇函數(shù)，即恒成立，因此對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)有成立，即成立，于是函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，取，所以的表達(dá)式可以為.故答案為：16.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，.若，則______.【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由已知可得出，求出、的值，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，即，所以，，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，又因?yàn)椋瑒t，即，所以，。則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，①在等式中，令可得，即，②聯(lián)立①②可得，，故當(dāng)時(shí)，，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的切線方程即可求得參數(shù)值；（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.【小問(wèn)1詳解】由已知可得．又，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)在上的最小值為．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；（2）先利用（1）結(jié)果求出，再利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求和即可．小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；【小問(wèn)2詳解】由題意得，時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，∴.19.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求時(shí)的解析式；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求的解析式；（2）由（1）得，應(yīng)用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的值域，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】令，則，故，而，所以，則.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)，單調(diào)遞增，則；綜上，函數(shù)值域.20.為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近期投放市場(chǎng)．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表上市時(shí)間x/天2632市場(chǎng)價(jià)y/元1486073（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③，④中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由），并利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低市場(chǎng)價(jià)；（2）記你所選取的函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）選擇，該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚48元（2）.【解析】【分析】（1）從題表的單調(diào)性入手，選出，再用待定系數(shù)法求解；（2）不等式變形為在上恒成立，只需，分與兩種情況，求出相應(yīng)的函數(shù)最小值，列出不等式，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題表知，隨著時(shí)間的增大，的值隨的增大，先減小后增大，而所給的函數(shù)，和在上顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿(mǎn)足題意，故選擇．把，，分別代入，得，解得，∴，．又，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，y有最小值，且．故當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚48元；【小問(wèn)2詳解】原不等式可以整理為：，，因?yàn)閷?duì)，都有不等式恒成立，則．（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，．∴，解得，不符合假設(shè)條件，舍去．（ii）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故，只需．整理得：，∴（舍去），綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．21.已知函數(shù)，.（1）若的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽，求a的值：（2）在條件（1）下，當(dāng)，時(shí)，總滿(mǎn)足，求c的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由定義為，可得恒成立；由值域?yàn)榭傻?，能取到?nèi)任意實(shí)數(shù)，即可得的值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求解【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以且，恒成立，又因?yàn)橹涤驗(yàn)椋阅苋〉絻?nèi)任意實(shí)數(shù)，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以在,上單調(diào)遞減，，則題目可轉(zhuǎn)化為：恒成立，即，因此，故故的取值范圍為22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.【答案】（1）結(jié)論見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類(lèi)探討的正負(fù)作答.（2）等價(jià)變形給定等式，結(jié)合時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得則