高中數(shù)學(xué)人教B版必修二《棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征》學(xué)案

1.1.2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征自主學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解和認(rèn)識(shí)多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，加深對(duì)幾種幾何體的概念及性質(zhì)的理解．2．了解凸多面體和平行六面體等的概念．3．掌握棱錐、棱臺(tái)平行于底面的截面的性質(zhì)．自學(xué)導(dǎo)引1．棱柱(1)棱柱的主要特征性質(zhì)：①________________________；②其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行．(2)棱柱的______________叫做棱柱的底面，__________叫做棱柱的側(cè)面，______________________叫做棱柱的側(cè)棱，________________________叫做棱柱的高．(3)棱柱的分類：①棱柱按底面分是三角形、四邊形、五邊形…分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱….②棱柱又分為斜棱柱和直棱柱：側(cè)棱與底面__________的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱與底面________的棱柱叫做直棱柱，底面是______________的直棱柱叫做正棱柱．(4)特殊四棱柱：底面是______________的棱柱叫做平行六面體，__________________的平行六面體叫做直平行六面體，底面是______________的直平行六面體是長(zhǎng)方體，________________的長(zhǎng)方體是正方體．2．棱錐(1)棱錐的主要結(jié)構(gòu)特征：①有一個(gè)面是______________；②其余各面都是__________________的三角形．(2)棱錐中________________________，叫做棱錐的側(cè)面；______________________叫做棱錐的頂點(diǎn)；________________________叫做棱錐的側(cè)棱；__________叫做棱錐的底面；______________________叫做棱錐的高．(3)如果棱錐的底面是__________，且它的頂點(diǎn)在過(guò)底面中心且與底面垂直的__________，則這個(gè)棱錐叫做正棱錐．正棱錐各側(cè)面都是____________________，它們底邊上的高叫做棱錐的斜高．3．棱臺(tái)(1)棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．________________________分別叫做棱臺(tái)的上下底面；其他各面叫做棱臺(tái)的________；________________________叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；__________________叫做棱臺(tái)的高．(2)由__________截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．(3)正棱臺(tái)各側(cè)面都是__________________，這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的________．對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)定義和性質(zhì)例1下列概念判斷不正確的有________．(填序號(hào))①有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱．②四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形．③有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)．點(diǎn)評(píng)對(duì)幾何體定義的理解要準(zhǔn)確，另外，要想真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，必須多角度、全面地分析，多觀察實(shí)物，提高空間想象能力．變式訓(xùn)練1下列命題正確的是()A．斜棱柱的側(cè)棱有時(shí)垂直于底面B．正棱柱的高可以與側(cè)棱不相等C．六個(gè)面都是矩形的六面體是長(zhǎng)方體D．底面是正多邊形的棱柱為正棱柱知識(shí)點(diǎn)二幾何體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖是三個(gè)幾何體的表面展開圖，請(qǐng)問各是什么幾何體？點(diǎn)評(píng)解此類問題應(yīng)結(jié)合常見的幾何體的定義和結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間想象或親自動(dòng)手，制作表面展開圖進(jìn)行實(shí)踐．變式訓(xùn)練2如圖所示，小明設(shè)計(jì)了某個(gè)產(chǎn)品的包裝盒，他少設(shè)計(jì)了其中的一部分，請(qǐng)你把它補(bǔ)上，使其成為兩邊均有蓋的正方體盒子．你有幾種彌補(bǔ)的辦法？任意畫出一種成功的設(shè)計(jì)圖．知識(shí)點(diǎn)三多面體中有關(guān)元素的計(jì)算例3如圖所示，正四棱臺(tái)AC′的高為17cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別為4cm和16cm，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱和斜高．點(diǎn)評(píng)關(guān)于正棱臺(tái)的計(jì)算問題．解決問題的關(guān)鍵是：(1)棱臺(tái)的高．盡管棱臺(tái)的高是上、下兩底面之間的距離，但正棱臺(tái)的上、下兩底面中心的連線就是棱臺(tái)的高；(2)正棱臺(tái)的斜高就是側(cè)面(等腰梯形)的高．要明白該梯形的上、下中點(diǎn)的連線就是斜高．(3)解題時(shí)要注意兩個(gè)直角梯形，即：直角梯形OBB′O′和OEE′O′，計(jì)算問題都可以在這兩個(gè)梯形中進(jìn)行，我們以后要熟練掌握．變式訓(xùn)練3正四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，高PO為h，求它的側(cè)棱PA的長(zhǎng)和斜高PE.一、知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理二、幾種特殊四棱柱的特征和性質(zhì)(見下表)名稱平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正方體結(jié)構(gòu)特征底面是平行四邊形的棱柱側(cè)棱與底面垂直的平行六面體底面是矩形的直平行六面體棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體特殊的性質(zhì)底面和側(cè)面都是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形底面和側(cè)面都是矩形棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形1.長(zhǎng)方體一條對(duì)角線的長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和，即l2＝a2＋b2＋c2.其中l(wèi)是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，a，b，c是長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)．2．對(duì)于正棱錐和正棱臺(tái)，要注意準(zhǔn)確理解概念，把握?qǐng)D形的特征，尤其是圖中的一些重要的直角三角形和直角梯形．3．棱臺(tái)是由棱錐截得的，在處理與棱臺(tái)有關(guān)的問題時(shí)要注意聯(lián)系棱錐的有關(guān)性質(zhì)，“還臺(tái)為錐”是常用的解題方法和策略.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．有四個(gè)集合：A＝{棱柱}，B＝{四棱柱}，C＝{長(zhǎng)方體}，D＝{正方體}，它們之間的包含關(guān)系是()A．CDAB B．DCBAC．CADB D．BDCA2．下列說(shuō)法正確的是()A．棱柱的側(cè)面都是矩形B．棱柱的側(cè)棱不全相等C．棱柱是有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體D．棱柱的幾何體中至少有兩個(gè)面平行3．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐不可能是()A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐4．設(shè)有四個(gè)命題甲：有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；乙：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；丙：用一個(gè)面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)；丁：側(cè)面都是長(zhǎng)方形的棱柱叫長(zhǎng)方體．其中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．35．有一個(gè)正三棱錐和一個(gè)正四棱錐，它們所有的棱長(zhǎng)都相等，把這個(gè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面重合在正四棱錐的一個(gè)側(cè)面上，則所得到的這個(gè)組合體是()A．底面為平行四邊形的四棱柱B．五棱錐C．無(wú)平行平面的六面體D．斜三棱柱題號(hào)12345答案二、填空題6．一個(gè)棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長(zhǎng)的和為60cm，則每條側(cè)棱長(zhǎng)為________cm.7.如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體的形狀是______．8．在下面4個(gè)平面圖形中，哪幾個(gè)是下面各側(cè)棱都相等的四面體的展開圖？其序號(hào)是________．(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)三、解答題9．如圖，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)輔助線，沿輔助線翻折，使正三角形折成(1)正四面體；(2)正三棱柱．10．如圖所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到M的最短路線長(zhǎng)為eq\r(29)，設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N，求：(1)設(shè)三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)；(2)PC與NC的長(zhǎng)．【答案解析】自學(xué)導(dǎo)引1．(1)①有兩個(gè)互相平行的面(2)互相平行的面其余各面兩側(cè)面的公共邊兩底面之間的距離(3)②不垂直垂直正多邊形(4)平行四邊形側(cè)棱與底面垂直矩形棱長(zhǎng)都相等2．(1)①多邊形②有一個(gè)公共頂點(diǎn)(2)有公共頂點(diǎn)的各三角形各側(cè)面的公共頂點(diǎn)相鄰兩側(cè)面的公共邊多邊形頂點(diǎn)到底面的距離(3)正多邊形直線上全等的等腰三角形3．(1)原棱錐的底面和截面?zhèn)让嫦噜弮蓚?cè)面的公共邊兩底面間的距離(2)正棱錐(3)全等的等腰梯形斜高對(duì)點(diǎn)講練例1①③解析理由：(1)有兩個(gè)面平行，其余各面是平行四邊形，但不一定是棱柱，如圖①.(2)在四棱錐P—ABCD中，若PD⊥平面ABCD，而四邊形ABCD為矩形，則可證明其四邊側(cè)面都是直角三角形，如圖②.(3)存在滿足有兩個(gè)面平行，其余各面是梯形，但不是棱臺(tái)的圖形，如圖③.變式訓(xùn)練1C[四個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱是直平行六面體，兩個(gè)底面是矩形的直平行六面體是長(zhǎng)方體，故正確答案為C.]例2解①五棱柱②五棱錐③三棱臺(tái)如圖所示．變式訓(xùn)練2解共有4種，設(shè)計(jì)如圖(畫出其中一種即可)．例3解設(shè)棱臺(tái)兩底面的中心分別為O′和O，B′C′和BC的中點(diǎn)分別為E′和E.連接O′O、E′E、O′B′、OB、O′E′、OE，則OBB′O′和OEE′O′都是直角梯形．因?yàn)锳′B′＝4cm，AB＝16cm，所以O(shè)′E′＝2cm，OE＝8cm，O′B′＝2eq\OB＝8eq\r(2)cm.因此B′B＝eq\r(OO′2＋OB－O′B′2)＝eq\r(172＋8\r(2)－2\r(2)2)＝19cm，EE′＝eq\r(OO′2＋OE－O′E′2)＝eq\r(172＋8－22)＝5eq\r(13)cm.即這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm，斜高為5eq\變式訓(xùn)練3解∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，∴AO＝eq\f(\r(2),2)a，∴在Rt△PAO中，PA＝eq\r(PO2＋AO2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2).∵OE＝eq\f(1,2)a，∴在Rt△POE中，斜高PE＝eq\r(PO2＋OE2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2).即此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2)，斜高為eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2).課時(shí)作業(yè)1．B2.D3．D[如圖所示，正六邊形ABCDEF中，OA＝OB＝…＝AB，那么正六棱錐S－ABCDEF中，SA>OA＝AB，即側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)．]4．A5.D6.127.四棱柱8.①②9．解(1)如圖①，取各邊中點(diǎn)可折成正四面體．(2)如圖②，在正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊為三角形邊長(zhǎng)的eq\f(1,4).有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線折起，可成為一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形，恰可拼成這個(gè)正三棱柱的上底．10．解