江蘇省海安市南莫中學2025屆高一數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

江蘇省海安市南莫中學2025屆高一數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升2．已知平面向量，，若與同向，則實數的值是()A． B． C． D．3．已知為銳角，角的終邊過點，則（）A． B． C． D．4．若直線與直線關于點對稱，則直線恒過點()A． B． C． D．5．在中，角均為銳角，且，則的形狀是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形6．已知點，，則與向量的方向相反的單位向量是（）A． B． C． D．7．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c8．已知點，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．9．在正方體中，直線與直線所成角是（）A． B． C． D．10．我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈：A．281盞 B．9盞 C．6盞 D．3盞二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數列中，，則______________.12．設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對稱軸為x=1，已知當x∈[0,1]時，f(x)=121-x，則有下列結論：①2是函數fx的周期；②函數fx在1,2上遞減，在2,3上遞增；③函數f13．已知向量，，若與共線，則實數________．14．若，且，則的最小值是______.15．函數的最小正周期是____.16．等差數列中，，，設為數列的前項和，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，.（1）求角A的大小；（2）若，求的周長.18．已知⊙C經過點、兩點，且圓心C在直線上.（1）求⊙C的方程；（2）若直線與⊙C總有公共點，求實數的取值范圍.19．若的最小值為.（1）求的表達式；（2）求能使的值，并求當取此值時，的最大值.20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+c2﹣b2＝mac，其中m∈R．（1）若m＝1，a＝1，c＝，求△ABC的面積；（2）若m＝，A＝2B，a＝，求b．21．某銷售公司擬招聘一名產品推銷員，有如下兩種工資方案：方案一：每月底薪2000元，每銷售一件產品提成15元；方案二：每月底薪3500元，月銷售量不超過300件，沒有提成，超過300件的部分每件提成30元．（1）分別寫出兩種方案中推銷員的月工資（單位：元）與月銷售產品件數的函數關系式；（2）從該銷售公司隨機選取一名推銷員，對他（或她）過去兩年的銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計表：月銷售產品件數300400500600700次數24954把頻率視為概率，分別求兩種方案推銷員的月工資超過11090元的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數列．再利用等差數列的性質，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【點睛】本題主要考查了等差數列的性質的應用，其中解答中熟記等差數列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．2、D【解析】

通過同向向量的性質即可得到答案.【詳解】與同向，，解得或(舍去)，故選D.【點睛】本題主要考查平行向量的坐標運算，但注意同向，難度較小.3、B【解析】

由題意利用任意角的三角函數的定義求得和，再利用同角三角函數的基本關系求得的值，再利用兩角差的余弦公式求得的值．【詳解】角的終邊過點，，又為銳角，由，可得故選B．【點睛】本題考查任意角的三角函數的定義，考查兩角差的余弦，是基礎題．4、C【解析】

利用直線過定點可求所過的定點.【詳解】直線過定點，它關于點的對稱點為，因為關于點對稱，故直線恒過點，故選C.【點睛】一般地，若直線和直線相交，那么動直線必過定點（該定點為的交點）.5、C【解析】，又角均為銳角，則，，且中，，的形狀是鈍角三角形，故選C.【方法點睛】本題主要考查利用誘導公式、正弦函數的單調性以及判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.6、A【解析】

根據單位向量的定義即可求解.【詳解】,向量的方向相反的單位向量為，故選A.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，向量的單位向量的概念，屬于中檔題.7、D【解析】

根據不等式的性質判斷．【詳解】當時，A不成立；當時，B不成立；當時，C不成立；由不等式的性質知D成立．故選D．【點睛】本題考查不等式的性質，不等式的性質中，不等式兩邊乘以同一個正數，不等式號方向不變，兩邊乘以同一個負數，不等式號方向改變，這個性質容易出現(xiàn)錯誤：一是不區(qū)分所乘數的正負，二是不區(qū)分是否為1．8、A【解析】

由題得，設與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【詳解】由題可得：，設與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【點睛】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應用，考查計算能力，屬于較易題．9、B【解析】

直線與直線所成角為，為等邊三角形，得到答案.【詳解】如圖所示：連接易知：直線與直線所成角為為等邊三角形，夾角為故答案選B【點睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學生的空間想象能力.10、D【解析】

設塔的頂層共有盞燈，得到數列的公比為2的等比數列，利用等比數列的前n項公式，即可求解．【詳解】設塔的頂層共有盞燈，則數列的公比為2的等比數列，所以，解得，即塔的頂層共有3盞燈，故選D．【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式與求和公式的應用，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、20【解析】

首先根據已知得到：是等差數列，公差，再計算即可.【詳解】因為，所以數列是等差數列，公差..故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列的判斷和等差數列項的求法，屬于簡單題.12、①②④【解析】

依據題意作出函數f(x)的圖像，通過圖像可以判斷以下結論是否正確?！驹斀狻孔鞒龊瘮礷(x)的圖像，由圖像可知2是函數fx的周期，函數fx在1,2上遞減，在2,3上遞增，函數當x∈3,4時，f(x)=f(x-4)=f(4-x)=故正確的結論有①②④?！军c睛】本題主要考查函數的圖像與性質以及數形結合思想，意在考查學生的邏輯推理能力。13、【解析】

根據平面向量的共線定理與坐標表示，列方程求出x的值．【詳解】向量（3，﹣1），（x，2），若與共線，則3×2﹣（﹣1）?x＝0，解得x＝﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查了平面向量的共線定理與坐標表示的應用問題，是基礎題．14、8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據基本不等式求解最小值.【詳解】因為（即取等號），所以最小值為.【點睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.15、【解析】

將三角函數化簡為標準形式，再利用周期公式得到答案.【詳解】由于所以【點睛】本題考查了三角函數的化簡，周期公式，屬于簡單題.16、【解析】

由等差數列的性質可得出的值，然后利用等差數列的求和公式可求出的值.【詳解】由等差數列的基本性質可得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數列求和，同時也考查了等差數列基本性質的應用，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據三角形面積公式,結合平面向量數量積定義,分別表示出,聯(lián)立即可求得,進而得的值.（2）由,結合余弦定理即可表示出,由（1）可得.即可聯(lián)立表示出,進而求得周長.【詳解】（1）因為,所以,則而,可得,所以即化簡可得所以；（2）因為,所以由余弦定理可得,即,由（1）知,則,所以,所以的周長為.【點睛】本題考查了三角形面積公式的應用,余弦定理解三角形,平面向量數量積的定義及應用,屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】試題分析：(1)解法1：由題意利用待定系數法可得⊙C方程為.解法2：由題意結合幾何關系確定圓心坐標和半徑的長度可得⊙C的方程為.(2)解法1：利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關系得到關系k的不等式，求解不等式可得.解法2：聯(lián)立直線與圓的方程，結合可得.試題解析：（1）解法1：設圓的方程為，則，所以⊙C方程為.解法2：由于AB的中點為，，則線段AB的垂直平分線方程為而圓心C必為直線與直線的交點，由解得，即圓心，又半徑為，故⊙C的方程為.（2）解法1：因為直線與⊙C總有公共點，則圓心到直線的距離不超過圓的半徑，即，將其變形得，解得.解法2：由，因為直線與⊙C總有公共點，則，解得.點睛：判斷直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法．19、（1）；（2）的最大值為【解析】試題分析：（1）通過同角三角函數關系將化簡，再對函數配方，然后討論對稱軸與區(qū)間的位置關系，從而求出的最小值；（2）由，則根據的解析式可知只能在內解方程，從而求出的值，即可求出的最大值.試題解析：（1）若，即，則當時，有最小值，；若，即，則當時，有最小值，若，即，則當時，有最小值，所以；（2）若，由所求的解析式知或由或（舍）；由（舍）此時，得，所以時，，此時的最大值為.20、（1）；（2）【解析】

（1）當時，由余弦定理可求，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據三角形的面積公式即可求解．（2）當時，由余弦定理可求，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據二倍角的正弦函數公式可求的值，利用正弦定理可求的值．【詳解】（1）當時，，，,,．（2）當時，，,，由正弦定理得：,．【點睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數基本關系式，三角形的面積公式，二倍角的正弦函數公式，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．21、（1）；（2）方案一概率為,方案二概率為.【解析】

（1）利用一次函數和分段函數分別表示方案