上海市六校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

上海市六校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（）A．588 B．480 C．450 D．1202．已知數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．3．在中，角所對的邊分邊為，已知，則此三角形的解的情況是（）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定4．如果在一次實驗中，測得x,y的四組數(shù)值分別是A1,3，B2,3.8，C3,5.2，D4,6，則A．y=x+1.9 B．C．y=0.95x+1.04 D．5．在棱長為2的正方體中，是內(nèi)（不含邊界）的一個動點，若，則線段的長的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若，,則（）A． B． C． D．7．在銳角中ΔABC，角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asinA．π12B．π6C．π8．中國數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點，則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為（）A． B． C． D．9．米勒問題，是指德國數(shù)學(xué)家米勒1471年向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大？）米勒問題的數(shù)學(xué)模型如下：如圖，設(shè)是銳角的一邊上的兩定點，點是邊邊上的一動點，則當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切時，最大．若，點在軸上，則當最大時，點的坐標為（）A． B．C． D．10．在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)向量，，______.12．_________________；13．在平面直角坐標系xOy中，已知直角中，直角頂點A在直線上，頂點B，C在圓上，則點A橫坐標的取值范圍是__________.14．函數(shù)的值域是__________.15．已知向量（1，2），（x，4），且∥，則_____．16．如圖，已知圓，六邊形為圓的內(nèi)接正六邊形，點為邊的中點，當六邊形繞圓心轉(zhuǎn)動時，的取值范圍是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）.（1）若，求x的值；（2）若，求x的值.18．已知是定義域為R的奇函數(shù)，當時，．Ⅰ求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；Ⅱ，函數(shù)零點的個數(shù)為，求函數(shù)的解析式．19．將正弦曲線如何變換可以得到函數(shù)的圖像，請寫出變換過程，并畫出一個周期的閉區(qū)間的函數(shù)簡圖.20．已知關(guān)于的不等式．（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的值；（2）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．21．已知A，B，C是的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是600×0.8=480考點：頻率分布直方圖2、A【解析】

再遞推一步，兩個等式相減，得到一個等式，進行合理變形，可以得到一個等比數(shù)列，求出通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式，最后求出，選出答案即可.【詳解】因為，所以當時，，兩式相減化簡得：，而，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因此有，所以，故本題選A.【點睛】本題考查了已知數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項公式的問題，考查了等比數(shù)列的判斷以及通項公式，正確的遞推和等式的合理變形是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】由三角形正弦定理可知無解，所以三角形無解，選C.4、B【解析】

求出樣本數(shù)據(jù)的中心(2.5,4.5)，依次代入選項中的回歸方程.【詳解】∵x∴樣本數(shù)據(jù)的中心為(2.5,4.5)，將它依次代四個選項，只有B符合，∴y與x之間的回歸直線方程是y=1.04x+1.9【點睛】本題的考點是回歸直線經(jīng)過樣本點的中心，而不是考查利用最小二乘法求回歸直線方程.5、C【解析】

先判斷是正四面體，可得正四面體的棱長為，則的最大值為的長，的最小值是到平面的距離，結(jié)合不在三角形的邊上，計算可得結(jié)果.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，是正四面體，且正四面體的棱長為，在內(nèi)，的最大值為，的最小值是到平面的距離，設(shè)在平面的射影為,則為正三角形的中心，，，的最小值為，又因為不在三角形的邊上，所以的范圍是，故選C.【點睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)及立體幾何求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義以及平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.6、D【解析】

由于，，，，利用“平方關(guān)系”可得，，變形即可得出．【詳解】∵，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．∴．故選D.【點睛】本題考查了兩角和的余弦公式、三角函數(shù)同角基本關(guān)系式、拆分角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．7、D【解析】試題分析：∵2a考點：正弦定理解三角形8、C【解析】

設(shè)出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內(nèi)接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計算公式得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為則圓的面積為圓內(nèi)接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內(nèi)任取一點,則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為故選:C【點睛】本題考查了圓的面積及圓內(nèi)接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計算公式,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

設(shè)點的坐標為，求出線段的中垂線與線段的中垂線交點的橫坐標，即可得到的外接圓圓心的橫坐標，由的外接圓與邊相切于點，可知的外接圓圓心的橫坐標與點的橫坐標相等，即可得到點的坐標．【詳解】由于點是邊邊上的一動點，且點在軸上，故設(shè)點的坐標為；由于，則直線的方程為：，點為直線與軸的交點，故點的坐標為；由于為銳角，點是邊邊上的一動點，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點，聯(lián)立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標為的外接圓與邊相切于點，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標與點的橫坐標相等，即，解得：或（舍）所以點的坐標為；故答案選A【點睛】本題考查直線方程、三角形外接圓圓心的求解，屬于中檔題10、B【解析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面積為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積的計算，同時也考查了余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用向量夾角的坐標公式即可計算.【詳解】.【點睛】本題主要考查了向量夾角公式的坐標運算，屬于容易題.12、1【解析】

利用誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案【詳解】【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

由題意畫出圖形，寫出以原點為圓心，以為半徑的圓的方程，與直線方程聯(lián)立求得值，則答案可求．【詳解】如圖所示，當點往直線兩邊運動時，不斷變小，當點為直線上的定點時，直線與圓相切時，最大，∴當為正方形，則，則以為圓心，以為半徑的圓的方程為．聯(lián)立，得．解得或．點橫坐標的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標法的應(yīng)用.14、【解析】

根據(jù)反余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞減函數(shù)，代入即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以函數(shù)在的值域為．故答案為：.【點睛】本題主要考查了反余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟記反余弦函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、．【解析】

根據(jù)求得，從而可得，再求得的坐標，利用向量模的公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，則，解得，所以，則，所以.【點睛】本題主要考查了向量平行關(guān)系的應(yīng)用，以及向量的減法和向量的模的計算，其中解答中熟記向量的平行關(guān)系，以及向量的坐標運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先求出，再化簡得即得的取值范圍.【詳解】由題得OM=,由題得由題得..所以的取值范圍是.故答案為【點睛】本題主要考查平面向量的運算和數(shù)量積運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）1.【解析】

（1）利用向量平行的代數(shù)形式得到x的值；（2）由數(shù)量積的坐標形式得到x的方程，解之即可.【詳解】（1）∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=．（2）8﹣=（6，3），∵（8﹣）?=30，∴18+3x=30，解得x=1．【點睛】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担善鸬交睘楹喌拿钣?利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).18、Ⅰ見解析；(Ⅱ)【解析】

Ⅰ利用函數(shù)的奇偶性，利用對稱性，寫出函數(shù)的解析式；然后求解增區(qū)間．Ⅱ求出函數(shù)的表達式，利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)的解析式．【詳解】解：Ⅰ當時，，是奇函數(shù)，,，．當時，函數(shù)開口向上，增區(qū)間是：；當時，函數(shù)是二次函數(shù)，開口向下，增區(qū)間是：；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，；Ⅱ當時，，最小值為；當時，，最大值為1．據(jù)此可作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得，若方程恰有3個不同的解，則a的取值范圍是此時時，，或時，．所以．【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及方程根的個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．19、答案見解析【解析】

利用函數(shù)函數(shù)的圖像變換規(guī)律和五點作圖法可解.【詳解】由函數(shù)的圖像上的每一點保持縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，得到函數(shù)的圖像,

再將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像.

然后再把函數(shù)的圖像上每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標擴大為原來的2倍，得到函數(shù)的圖像.作函數(shù)的圖像列表得0100函數(shù)圖像為【點睛】本題考查函數(shù)的圖像變換的過程敘述和作出函數(shù)的一個周期的簡圖，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

（1）不等式的解集為說明和1是的兩個實數(shù)根，運用韋達定理，可以求出實數(shù)的值；（2）不等式的解集為，只需，或即可，解不等式組求出