備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章 解析幾何

第九章|解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式1．直線的傾斜角定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角規(guī)定當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0范圍直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)2.斜率公式定義式直線l的傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，則斜率k＝tan_α，當(dāng)直線的傾斜角α＝90°，直線的斜率不存在坐標(biāo)式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).若x1＝x2，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°3.直線方程的5種形式名稱方程適用條件點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b與x軸不垂直的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面內(nèi)所有直線1．傾斜角與斜率的關(guān)系(1)當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，直線的斜率和直線的傾斜角為一一對應(yīng)關(guān)系．(2)當(dāng)直線l的傾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，α越大，直線l的斜率越大；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，α越大，直線l的斜率越大．(3)所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率．2．謹(jǐn)記以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．(2)當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為y＝kx＋b；當(dāng)不確定直線的斜率是否存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為x＝ty＋b.1．若過點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案：A2．過點(diǎn)P(－1，eq\r(3))且傾斜角為30°的直線方程為()A.eq\r(3)x－3y＋4eq\r(3)＝0 B.eq\r(3)x－y＋2eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x－3y＋2eq\r(3)＝0 D.eq\r(3)x－y＝0答案：A3．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：選D因?yàn)橹本€的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．已知三點(diǎn)A(2,1)，B(5,2)，C(4,3)，則AB的斜率為________；BC的傾斜角為________．答案：eq\f(1,3)eq\f(3π,4)5．直線3x－4y＋k＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k＝________.解析：令x＝0，得y＝eq\f(k,4)；令y＝0，得x＝－eq\f(k,3)，則有eq\f(k,4)－eq\f(k,3)＝2，所以k＝－24.答案：－24層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)直線的傾斜角和斜率[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，正三角形ABC的邊BC所在直線的斜率是0，則邊AC，AB所在直線的斜率之和為()A．－2eq\r(3) B．0C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：選B由題意知，△ABC的另外兩邊所在直線的傾斜角分別為60°，120°，所以直線的斜率之和為tan60°＋tan120°＝eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0.2．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))解析：選B依題意，直線的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)∈[－1,0)，因此其傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).3．已知直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為__________________．解析：如圖，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)4．若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為________．解析：因?yàn)閗AC＝eq\f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq\f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a－3＝1，即a＝4.答案：4[一“點(diǎn)”就過](1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率k＝tanα的取值范圍，但需注意斜率不存在的情況；②利用正切函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)圖象或單位圓，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角α的取值范圍．(2)注意傾斜角的取值范圍是[0，π)，若直線的斜率不存在，則直線的傾斜角為eq\f(π,2)，此時(shí)直線垂直于x軸．基礎(chǔ)點(diǎn)(二)直線的方程[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．直線3x－y－1＝0的斜率k及在y軸上的截距b分別是()A．k＝3，b＝－1 B．k＝－3，b＝1C．k＝eq\f(1,3)，b＝1 D．k＝3，b＝1解析：選A由直線3x－y－1＝0得y＝3x－1，所以直線的斜率為k＝3，在y軸上的截距b＝－1.2．過點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．y＝2x或x＋y－3＝0 D．y＝2x或x－y＋1＝0解析：選D當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其斜率為eq\f(2－0,1－0)＝2，故直線方程為y＝2x；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入點(diǎn)(1,2)可得eq\f(1,a)＋eq\f(2,－a)＝1，解得a＝－1，故直線方程為x－y＋1＝0.綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x－y＋1＝0.3．已知直線ax＋y－2＋a＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a＝()A．1B．－1C．－2或1 D．2或1解析：選D當(dāng)a＝0時(shí)，直線y＝2，此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)a＝2時(shí)，直線l：2x＋y＝0，在x軸與y軸上的截距均為0，符合題意；當(dāng)a≠0且a≠2時(shí)，由直線l：ax＋y－2＋a＝0可得橫截距為eq\f(2－a,a)，縱截距為2－a.由eq\f(2－a,a)＝2－a，解得a＝1.綜上，a的值是2或1.4．在△ABC中，已知點(diǎn)A(5，－2)，B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則直線MN的方程為()A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0解析：選A設(shè)C(x，y)，M(0，m)，N(n,0)，因?yàn)锳(5，－2)，B(7,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,2)＝0，,\f(y－2,2)＝m，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋7,2)＝n，,\f(y＋3,2)＝0，))解得x＝－5，y＝－3，m＝－eq\f(5,2)，n＝1，即C(－5，－3)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，所以MN所在直線方程為eq\f(y＋\f(5,2),\f(5,2))＝eq\f(x,1)，即5x－2y－5＝0.[一“點(diǎn)”就過]求直線方程的方法直接法根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，求出方程中的系數(shù)，寫出直線方程待定系數(shù)法先根據(jù)已知條件恰當(dāng)設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)解得系數(shù)，最后代入設(shè)出的直線方程[提醒](1)選擇直線方程時(shí)，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，選用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，先分類討論直線的斜率是否存在；選用截距式時(shí)，先分類討論在兩坐標(biāo)軸上的截距是否存在或是否為0.(2)求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)直線方程的綜合問題[典例]過點(diǎn)P(4,1)作直線l，分別交x軸，y軸的正半軸于點(diǎn)A，B.(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．[解]設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)因?yàn)閑q\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號成立．所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，△AOB的面積最小，此時(shí)直線l的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因?yàn)閑q\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號成立．所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為x＋2y－6＝0.[方法技巧]與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題．先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．(2)求直線方程．弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．(3)求參數(shù)值或范圍．注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．[針對訓(xùn)練]1．函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A．2 B．4C．8 D．1解析：選B∵函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A(1,1)，∴把A(1,1)代入直線方程得m＋n＝1(mn>0)．∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,2)時(shí)取等號，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為4.2．已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0<a<2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a＝________.解析：直線l1可寫成a(x－2)＝2(y－2)，直線l2可寫成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2，2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，故當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，四邊形的面積最?。鸢福篹q\f(1,2)層級三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))1．(混淆傾斜角與斜率的關(guān)系)若直線x＝2的傾斜角為α，則α的值為()A．0B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．不存在解析：選C因?yàn)橹本€x＝2垂直于x軸，所以傾斜角α為eq\f(π,2).2．(借助數(shù)學(xué)文化)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為()A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0解析：選C因?yàn)锳C＝BC，所以歐拉線為AB的中垂線，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中點(diǎn)為(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂線方程為y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，故選C.3.(創(chuàng)新考查方式)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，則n的取值范圍為()A．{3,4} B．{2,3,4}C．{3,4,5} D．{2,3}解析：選Beq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)的幾何意義是指曲線上存在n個(gè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率相等，即n指過原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖可得n可以為2,3,4.4．(忽略斜率不存在的情況)已知直線l過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5，則直線l的方程為____________．解析：當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線的方程為x－5＝0，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝05．(忽視截距為0的情況)經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為________________．解析：設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(4,1)，所以l的方程為y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.若a≠0，設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，因?yàn)閘過點(diǎn)(4,1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＝5，所以l的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，所求直線的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0.答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0[課時(shí)驗(yàn)收評價(jià)]1．直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)解析：選A設(shè)直線l的斜率為k，則k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).2．已知直線l過點(diǎn)(－2,1)，且傾斜角是eq\f(π,2)，則直線l的方程是()A．x＋y＋1＝0 B．y＝－eq\f(1,2)xC．x＋2＝0 D．y－1＝0解析：選C由于直線l過點(diǎn)(－2,1)，且傾斜角是eq\f(π,2)，則直線l的方程為x＝－2，即x＋2＝0.3．傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為()A．y＝－eq\r(3)x＋2 B．y＝－eq\r(3)x－2C．y＝eq\r(3)x＋2 D．y＝eq\r(3)x－2解析：選B斜率為tan120°＝－eq\r(3)，利用斜截式直接寫出方程，即y＝－eq\r(3)x－2.4.如圖所示，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k1<k3<k2D．k3<k2<k1解析：選C由題圖可知k1<0，k2>k3>0，所以k2>k3>k1.5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，點(diǎn)O(0,0)，M(－1,3)，點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上，則直線MN的方程為()A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0解析：選C因?yàn)镸O＝MN，所以直線MN的斜率與直線MO的斜率互為相反數(shù)，所以kMN＝－kMO＝3，所以直線MN的方程為y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，故選C.6．方程y＝ax－eq\f(1,a)表示的直線可能是()解析：選C當(dāng)a＞0時(shí)，直線的斜率k＝a＞0，在y軸上的截距b＝－eq\f(1,a)＜0，各選項(xiàng)都不符合此條件；當(dāng)a＜0時(shí)，直線的斜率k＝a＜0，在y軸上的截距b＝－eq\f(1,a)＞0，只有選項(xiàng)C符合此條件．故選C.7．過點(diǎn)(5,2)且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0解析：選B設(shè)所求直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為2a.①當(dāng)a＝0時(shí)，所求直線經(jīng)過點(diǎn)(5,2)和(0,0)，所以直線方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直線過點(diǎn)(5,2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(2,2a)＝1，解得a＝6，所以所求直線方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.綜上，所求直線方程為2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.8．直線(1－a2)x＋y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))解析：選C直線的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由傾斜角和斜率的關(guān)系(如圖所示)得，該直線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).9．當(dāng)0<k<eq\f(1,2)時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))又∵0<k<eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)<0，y＝eq\f(2k－1,k－1)>0，故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第二象限．10．已知過定點(diǎn)直線kx－y＋4－k＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為()A．x－2y－7＝0 B．x－2y＋7＝0C．2x＋y－6＝0 D．x＋2y－6＝0解析：選C直線kx－y＋4－k＝0可變?yōu)閗(x－1)－y＋4＝0，所以過定點(diǎn)P(1,4)，又因?yàn)橹本€kx－y＋4－k＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知k＜0，令x＝0，則y＝4－k，所以直線與y軸的交點(diǎn)為A(0,4－k)，令y＝0，則x＝1－eq\f(4,k)，所以直線與x軸的交點(diǎn)為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)，0))，所以4－k＋1－eq\f(4,k)＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)))≥5＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k))))＝5＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－eq\f(4,k)，即k＝－2時(shí)取等號，所以此時(shí)直線方程為2x＋y－6＝0.11．直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,3)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，則△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值為()A.eq\f(25,2) B．25C．12 D．24解析：選C∵過A，B兩點(diǎn)的直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，且點(diǎn)P在直線AB上，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1，△AOB的面積S＝eq\f(1,2)ab，∴2eq\r(\f(2,a)·\f(3,b))≤eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1.∴ab≥24，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,a)＝eq\f(3,b)，即a＝4，b＝6時(shí)取“＝”．∴a＝4，b＝6時(shí)，△OAB的面積取得最小值S＝12.12．設(shè)點(diǎn)A(－2,3)，B(3,2)，若直線ax＋y＋2＝0與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(4,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))解析：選B直線ax＋y＋2＝0過定點(diǎn)P(0，－2)，可得直線PA的斜率kPA＝－eq\f(5,2)，直線PB的斜率kPB＝eq\f(4,3).若直線ax＋y＋2＝0與線段AB沒有交點(diǎn)，則－eq\f(5,2)<－a<eq\f(4,3)，解得－eq\f(4,3)<a<eq\f(5,2)，故選B.13．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為___________．解析：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，所以BC邊上中線所在的直線方程為eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.答案：x＋13y＋5＝014．直線l過原點(diǎn)且平分?ABCD的面積，若平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)為B(1,4)，D(5,0)，則直線l的方程為__________．解析：直線l過原點(diǎn)且平分?ABCD的面積，則直線l過BD的中點(diǎn)(3,2)，則直線l的方程為y＝eq\f(2,3)x.答案：y＝eq\f(2,3)x15．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________．解析：設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為α，其斜率k＝tanα.則其中一條對角線所在直線的傾斜角為α＋eq\f(π,4)，其斜率為taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).依題意知：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2，即eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝2，∴tanα＝eq\f(1,3)，∴正方形一邊所在直線的斜率k＝eq\f(1,3)，則相鄰一邊所在直線的斜率為－3.答案：eq\f(1,3)，－3第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝02.三種距離三種距離條件公式兩點(diǎn)間的距離A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點(diǎn)到直線的距離P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為dd＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩平行線間的距離直線Ax＋By＋C1＝0到直線Ax＋By＋C2＝0的距離為dd＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1．常用的結(jié)論(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對稱點(diǎn)為(－x，－y)；(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(－x，y)；(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)為(－y，－x)；(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點(diǎn)為(x,2b－y)；(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)；(6)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．2．謹(jǐn)防4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)兩條直線平行時(shí)，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況．(2)兩條直線垂直時(shí)，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．(3)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式．(4)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．1．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案：A2．已知直線l過點(diǎn)(0,3)，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案：D3．兩條平行直線l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之間的距離為________．解析：因?yàn)閘1∥l2，所以由兩條平行直線間的距離公式得d＝eq\f(|－8－－10|,\r(22＋32))＝eq\f(2\r(13),13).答案：eq\f(2\r(13),13)4．已知點(diǎn)B(m,6)到直線3x－y＋6＝0的距離為3，則實(shí)數(shù)m的值為________．答案：±eq\r(10)5．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以點(diǎn)(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.答案：－9層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)兩條直線的位置關(guān)系[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．已知直線l的傾斜角為eq\f(3π,4)，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)和B(a，－1)，且直線l與l1平行，則實(shí)數(shù)a的值為()A．0 B．1C．6 D．0或6解析：選C由直線l的傾斜角為eq\f(3π,4)得l的斜率為－1，因?yàn)橹本€l與l1平行，所以l1的斜率為－1.又直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率為eq\f(3,3－a)，故eq\f(3,3－a)＝－1，解得a＝6.2．若直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c＝()A．－2 B．－4C．－6 D．－8解析：選B由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))×eq\f(2,5)＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.所以a＋b＋c＝－4.3．直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m＝－1時(shí)，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故選C.4．經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________________．解析：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．∵l⊥l3，∴直線l的斜率k＝－eq\f(4,3)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.答案：4x＋3y－6＝0[一“點(diǎn)”就過]1．兩直線位置關(guān)系的判斷方法已知兩直線的斜率存在①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等；②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1已知兩直線的斜率不存在當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí)，兩直線平行；否則兩直線重合已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.此法可避免對斜率是否存在進(jìn)行討論2.由兩條直線平行或垂直求參數(shù)的值的解題策略在解這類問題時(shí)，一定要“前思后想”．“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后檢驗(yàn)答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解．基礎(chǔ)點(diǎn)(二)距離公式[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為()A．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)C．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)解析：選B由題知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化為2x－y＋eq\f(4,3)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq\f(\r(5),3).2．已知點(diǎn)P(2，m)到直線2x－y＋3＝0的距離不小于2eq\r(5)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．解析：由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為eq\f(|2×2－m＋3|,\r(22＋12))≥2eq\r(5)，即|m－7|≥10，解得m≥17或m≤－3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)3．如果直線l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直線l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直線l3：x－2y＋3＝0，則l1，l2之間的距離為________．解析：因?yàn)閘1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得a＝－eq\f(1,2)，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝eq\f(|－10－0|,\r(12＋－22))＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)[一“點(diǎn)”就過]1．點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)對稱問題eq\a\vs4\al()考法1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱[例1]過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________________．[解析]設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以由截距式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.[答案]x＋4y－4＝0eq\a\vs4\al([方法技巧])若點(diǎn)M(x1，y1)和點(diǎn)N(x，y)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．eq\a\vs4\al()考法2點(diǎn)關(guān)于線對稱[例2]若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________.[解析]由題可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).[答案]eq\f(34,5)[方法技巧]點(diǎn)關(guān)于線的對稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．eq\a\vs4\al()考法3線關(guān)于點(diǎn)對稱[例3]直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點(diǎn)對稱的直線方程為()A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0[解析]由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直線2x＋3y－6＝0上，設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點(diǎn)對稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，則eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程為2x＋3y＋12＝0，故選D.[答案]Deq\a\vs4\al([方法技巧])線關(guān)于點(diǎn)對稱的2種求解方法(1)在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程．(2)求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．eq\a\vs4\al()考法4線關(guān)于線對稱[例4]光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，則反射光線所在的直線方程為__________________．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∴反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,2)．又取直線x－2y＋5＝0上一點(diǎn)P(－5,0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，Q點(diǎn)在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)x0－5－y0＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0.[答案]29x－2y＋33＝0[方法技巧]線關(guān)于線對稱的求解方法(1)若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解．(2)若直線與對稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解．[針對訓(xùn)練]已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對稱直線l′的方程．解：(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′必在直線m′上．設(shè)對稱點(diǎn)M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.重難點(diǎn)(二)直線方程中的最值、范圍問題[典例]已知點(diǎn)P(2，－3)，Q(3,2)，直線ax＋y＋2＝0與線段PQ相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]由直線ax＋y＋2＝0，得y＝－ax－2，此時(shí)直線恒過點(diǎn)A(0，－2)，則直線PA的斜率k1＝eq\f(－2－－3,0－2)＝－eq\f(1,2)，直線QA的斜率k2＝eq\f(－2－2,0－3)＝eq\f(4,3)，若直線ax＋y＋2＝0與線段PQ相交，則－eq\f(1,2)≤－a≤eq\f(4,3)，即－eq\f(4,3)≤a≤eq\f(1,2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(1,2))).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(1,2)))[方法技巧]本題考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記直線方程的各種形式和直線過定點(diǎn)的判定，解答此類問題時(shí)把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與線段端點(diǎn)斜率之間的關(guān)系是常見的一種解題方法，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力．[針對訓(xùn)練]1．已知A(2,4)，B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P在直線x＝－1上，當(dāng)|PA|＋|PB|取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(8,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(21,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))解析：選A點(diǎn)B關(guān)于直線x＝－1對稱的點(diǎn)為B1(－3,0)．|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|≥|AB1|，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B1三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立．此時(shí)|PA|＋|PB|取最小值，直線AB1的方程為y＝eq\f(4－0,2－－3)(x＋3)，即y＝eq\f(4,5)(x＋3)，令x＝－1，得y＝eq\f(8,5).所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(8,5)))，故選A.2．已知點(diǎn)P(－2,2)，直線l：(λ＋2)x－(λ＋1)y－4λ－6＝0，則點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍為________．解析：把直線l：(λ＋2)x－(λ＋1)y－4λ－6＝0化為(2x－y－6)＋λ(x－y－4)＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))即直線l過定點(diǎn)M(2，－2)，又由kPM＝eq\f(－2－2,2－－2)＝－1，且eq\f(λ＋2,λ＋1)×(－1)≠－1，所以直線PM與l不垂直，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為|PM|＜eq\r(2＋22＋－2－22)＝4eq\r(2)，即點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4\r(2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4\r(2)))層級三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))1．(創(chuàng)新解題思維·數(shù)形結(jié)合)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：eq\r(x－a2＋y－b2)可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)N(a，b)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得f(x)＝eq\r(x2＋10x＋29)＋eq\r(x2＋6x＋18)的最小值為()A．5B.eq\r(29)C.eq\r(31) D．2＋eq\r(13)解析：選Bf(x)＝eq\r(x2＋10x＋29)＋eq\r(x2＋6x＋18)＝eq\r(x＋52＋4)＋eq\r(x＋32＋9)表示平面上點(diǎn)M(x,0)到點(diǎn)A(－5,2)與B(－3，－3)的距離之和，連接AB，與x軸交于M(x,0)，則此時(shí)點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之和最小，即f(x)min＝eq\r(－5＋32＋2＋32)＝eq\r(29)，故選B.2．(結(jié)合新定義問題)已知平面上一點(diǎn)M(5,0)，若直線l上存在點(diǎn)P使|PM|＝4，則稱該直線為點(diǎn)M的“相關(guān)直線”．下列直線中是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”的是()A．y＝x＋1 B．x＝－2C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0解析：選C選項(xiàng)A中，點(diǎn)M到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(|5－0＋1|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)＞4，即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值大于4，所以該直線上不存在點(diǎn)P，使|PM|＝4，故A錯(cuò)誤；同理，B、D錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，點(diǎn)M到直線4x－3y＝0的距離d＝eq\f(|4×5－3×0|,\r(42＋－32))＝4，即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值等于4，故C正確．3．(忽視對參數(shù)的討論)已知直線l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，l2：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0，l1∥l2，則a的值為________．解析：由題意知，a(a－1)＝(a2－1)(a2＋a)，整理得a2(a－1)(a＋2)＝0，解得a＝0或a＝1或a＝－2.當(dāng)a＝0時(shí)，l1：x＋1＝0，l2：x－2＝0，l1∥l2成立；當(dāng)a＝1時(shí)，l1：y－1＝0，l2：y＋1＝0，l1∥l2成立；當(dāng)a＝－2時(shí)，l1：3x－2y－1＝0，l2：3x－2y－2＝0，l1∥l2成立．綜上所述，a＝0或a＝1或a＝－2.答案：0或1或－24．(忽視斜率不存在的情況)若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________.解析：由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.答案：0或15．(忽視兩直線重合的情況)已知直線ax＋3y＋1＝0與x＋(a－2)y＋a＝0平行，則a的值為________．解析：令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.當(dāng)a＝－1時(shí)，兩條直線的方程都為x－3y－1＝0，即兩條直線重合，故舍去；當(dāng)a＝3時(shí)，兩條直線的方程分別為3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，兩條直線平行．∴a的值為3.答案：3[課時(shí)驗(yàn)收評價(jià)]1．直線x－y－1＝0與直線x＋y－1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(0,1)B．(0，－1)C．(1,0) D．(－1,0)答案：C2．(2023·泰安質(zhì)檢)過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析：選A由題意可設(shè)所求直線方程為x－2y＋m＝0，將A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0.故選A.3．直線x－2y＋2＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－4＝0解析：選A設(shè)P(x，y)為所求直線上的點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)為(2－x，y)，且該對稱點(diǎn)在直線x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.故選A.4．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)解析：選C設(shè)P(x,5－3x)，則d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化簡得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．5．若m，n滿足m＋2n－1＝0，則直線mx＋3y＋n＝0過定點(diǎn)()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析：選B∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，mx＋n＝eq\f(1,2)m＋n＝eq\f(1,2)，∴3y＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,6)，故直線過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6))).故選B.6．在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，則|c1－c2|＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(5)C．2 D．4解析：選B直線x＋2y＋1＝0與x＋2y＋3＝0間的距離d1＝eq\f(|3－1|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，直線3x－4y＋c1＝0與3x－4y＋c2＝0間的距離d2＝eq\f(|c1－c2|,\r(32＋－42))＝eq\f(|c1－c2|,5).由菱形的性質(zhì)，知d1＝d2，所以eq\f(|c1－c2|,5)＝eq\f(2\r(5),5)，所以|c1－c2|＝2eq\r(5)，故選B.7．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為()A.eq\r(2) B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\r(3) D.eq\f(8\r(3),3)解析：選B因?yàn)閍＝0或a＝2時(shí)，l1與l2均不平行，所以a≠0且a≠2.因?yàn)閘1∥l2，所以a(a－2)＝3,2a2≠18，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1與l2之間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).故選B.8．(2023·深圳模擬)點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選B易知直線y＝k(x＋1)過定點(diǎn)A(－1,0)，設(shè)B(0，－1)，則當(dāng)線段AB與直線y＝k(x＋1)垂直時(shí)，距離最大，為|AB|＝eq\r(0＋12＋－1－02)＝eq\r(2)，故選B.9．直線l與直線y＝1，直線x－y－7＝0分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)解析：選C設(shè)P(a,1)，Q(b，b－7)，由線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)＝1，,\f(1＋b－7,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))所以P(－2,1)，Q(4，－3)，所以直線l的斜率k＝eq\f(1－－3,－2－4)＝－eq\f(2,3)，故選C.10．若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)解析：選A∵l1∥l2，∴AB的中點(diǎn)M的軌跡是平行于l1，l2的直線，且到l1，l2的距離相等，易求得點(diǎn)M所在直線的方程為x＋y－6＝0.因此，中點(diǎn)M到原點(diǎn)的最小距離為原點(diǎn)到直線x＋y－6＝0的距離，即eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).故選A.11．若直線m被兩平行直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段長為2eq\r(2)，則直線m的傾斜角可以是()A．15° B．75°C．15°或75° D．15°或30°解析：選C兩平行直線l1：x－y＋1＝0，l2：x－y＋3＝0之間的距離等于eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)，設(shè)直線m與兩平行直線的夾角為θ，則有sinθ＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，又0°＜θ≤90°，∴θ＝30°.由于兩平行直線的斜率為1，故它們的傾斜角等于45°，故m的傾斜角可以是45°±30°，故m的傾斜角可以是75°或15°，故選C.12．已知A(3，－1)，B(5，－2)，點(diǎn)P在直線l：x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(1，－1) B．(－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))) D．(－2,2)解析：選C如圖所示，點(diǎn)A(3，－1)關(guān)于直線l：x＋y＝0的對稱點(diǎn)為C(1，－3)，直線BC的方程為eq\f(x－1,4)＝eq\f(y＋3,1)，即x－4y－13＝0，與x＋y＝0聯(lián)立可得直線BC與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))).|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5)))時(shí)，|PB|＋|PC|取得最小值，即|PA|＋|PB|取得最小值，故選C.13．已知直線l1：mx＋y＋1＝0，l2：mx－y＋1＝0，m∈R，若l1⊥l2，則m＝________.解析：由l1⊥l2，得m2－1＝0?m＝±1.答案：±114．已知點(diǎn)P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，則過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線方程為________．解析：當(dāng)直線與點(diǎn)P1，P2的連線所在的直線平行時(shí)，由直線P1P2的斜率k＝eq\f(3－5,2＋4)＝－eq\f(1,3)，得所求直線的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線過線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)榫€段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,4)，所以直線方程為x＝－1.綜上所述，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.答案：x＋3y－5＝0或x＝－115．若直線l1：y＝kx＋1與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱，則直線l2恒過定點(diǎn)________，l1與l2的距離的最大值是________．解析：∵直線l1：y＝kx＋1經(jīng)過定點(diǎn)(0,1)，又兩直線關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱，則兩直線經(jīng)過的定點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱，∴直線l2恒過定點(diǎn)(4,5)，∴l(xiāng)1與l2的距離的最大值就是兩定點(diǎn)之間的距離，即為eq\r(4－02＋5－12)＝4eq\r(2).答案：(4,5)4eq\r(2)16．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為________．解析：由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2，4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，如圖，所以四邊形的面積S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8，故面積最小時(shí)，k＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)第三節(jié)圓的方程1.回顧確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(－\f(D,2)，－\f(E,2))))，半徑：r＝eq\f(\r(\a\vs4\al(D2＋E2－4F)),2)2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)1．圓的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．2．常見圓的方程的設(shè)法標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點(diǎn)x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0過原點(diǎn)(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圓心在x軸上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圓心在y軸上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0與x軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0與y軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝03.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(2,3)，3 B．(－2,3),eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3),eq\r(13)答案：D2．圓心為(1，－1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：C3．已知A(1,0)，B(0,3)，則以AB為直徑的圓的方程是________________________．答案：x2＋y2－x－3y＝04．若Rt△ABC的斜邊的兩端點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－3,0)和(7,0)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為___________．答案：(x－2)2＋y2＝25(y≠0)5．若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是________．解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化為(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圓，需滿足1－a＞0，故a＜1.答案：(－∞，1)層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)求圓的方程[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：選C到兩直線3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故選C.2．經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點(diǎn)的圓的方程為()A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：選B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,1)，又由該圓過點(diǎn)(1,0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.3．(2022·全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為__________．解析：設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1＝0，,3－a2＋b2＝r2，,a2＋1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1，,r2＝5，))∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝54．(2022·全國乙卷)過四點(diǎn)(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．解析：若圓過(0,0)，(4,0)，(－1,1)三點(diǎn)，設(shè)過這三點(diǎn)的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分別將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,2－D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－6，,F＝0，))易得D2＋E2－4F>0，所以過這三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.若圓過(0,0)，(4,0)，(4,2)三點(diǎn)，設(shè)過這三點(diǎn)的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分別將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝0，))易得D2＋E2－4F>0，所以過這三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.若圓過(4,0)，(－1,1)，(4,2)三點(diǎn)，設(shè)過這三點(diǎn)的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分別將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋4D＋F＝0，,2－D＋E＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(16,5)，,E＝－2，,F＝－\f(16,5)，))易得D2＋E2－4F>0，所以過這三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－eq\f(16,5)x－2y－eq\f(16,5)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25).答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq\f(65,9)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25)[一“點(diǎn)”就過]求圓的方程的2種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值．②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值[提醒]解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)．層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)與圓有關(guān)的軌跡問題[典例]已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．[解]