空間直線、平面的垂直講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課39空間直線、平面的垂直考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)掌握2023年新高考Ⅱ卷T2023年全國(guó)甲卷（理）T2023年全國(guó)甲卷（文）T2023年全國(guó)乙卷（理）T2023年全國(guó)乙卷（理）T2023年北京卷T2023年北京卷T2023年天津卷T★★★直觀想象邏輯推理平面與平面垂直的判定與性質(zhì)掌握2023年全國(guó)甲卷（理）T2023年全國(guó)甲卷（文）T2023年全國(guó)乙卷（理）T2023年全國(guó)乙卷（理）T★★★直觀想象邏輯推理命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，本基礎(chǔ)課是高考命題的熱點(diǎn)，主要考查直線與平面以及平面與平面垂直的判定定理，題型有選擇題、解答題，在解答題中常在第（1）問(wèn)中出現(xiàn)，試題難度適中.在2025屆的高考備考中，要特別注意應(yīng)用判定定理與性質(zhì)定理時(shí)條件的完整性一、直線與平面垂直1.直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的①任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.2.判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的②兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直l?性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線③平行a二、直線和平面所成的角1.定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是02.取值范圍：④[0，π三、二面角1.定義：從一條直線出發(fā)的⑤兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角.2.二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；3.二面角的平面角α的取值范圍：0°四、平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是⑦直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.2.判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的⑧垂線，那么這兩個(gè)平面垂直l性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的⑨交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直α1.四個(gè)重要結(jié)論（1）若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.（2）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個(gè)重要方法）.（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）（1）已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則（2）直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(（3）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，若m//n，m⊥α，則（4）若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直于另一個(gè)平面.(×)（5）若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.(2.（易錯(cuò)題）已知m,n為直線，α為平面，且m?α，則“n⊥m”是“【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視直線與平面的特殊位置關(guān)系而致誤.[解析]當(dāng)直線m,n都在平面α內(nèi)時(shí)，不能由n⊥m推出n⊥α；若n⊥α，由線面垂直的性質(zhì)知題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修②P158·例8改編）如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，D為下底面圓周上一點(diǎn)，且AD⊥圓柱的底面，則下列結(jié)論正確的是(BA.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥[解析]因?yàn)锳B是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥因?yàn)锳C∩AD=A，AC?平面ACD所以BC⊥平面ACD因?yàn)锽C?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故選4.（人教A版必修②P148·T3改編）在長(zhǎng)方體ABCD?A′B′C′D′中，AB[解析]如圖，連接CD′易知CD′=BA′則∠ACD′是直線BA′連接AD′，在△ACD′中，AC設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接D′O，則D′題組3走向高考5.[2023·全國(guó)甲卷改編]在三棱錐P?ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC[解析]連接PE,CE，如圖，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA∴PE⊥AB,CE⊥AB，又PE?平面PEC,∴AB⊥平面PEC，又PE=CE=2×32考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)［師生共研］典例1[2023·北京卷節(jié)選]如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC[解析]因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面所以PA⊥BC，同理PA⊥所以PB=PA2+所以PB2+BC又因?yàn)锽C⊥PA，PA∩PB=證明線面垂直的四種方法[2023·新高考Ⅱ卷節(jié)選]如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，[解析]連接AE,DE（圖略），因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，DB=所以DE⊥因?yàn)镈A=DB=DC，所以AC=AB，從而由①②，AE∩DE=E，AE?平面ADE得BC⊥平面ADE，又AD?平面ADE，所以考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)［師生共研］典例2[2023·全國(guó)甲卷]如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1（1）證明：平面ACC1A（2）設(shè)AB=A1B,[解析]（1）因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC所以A1又因?yàn)椤螦CB=90A1C?平面ACC1A1所以BC⊥平面AC又因?yàn)锽C?平面BB1C1（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1O因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1所以A1O⊥所以四棱錐A1?B因?yàn)锳1C⊥平面ABC，AC?平面ABC,所以A1C⊥又因?yàn)锳1B=所以△ABC≌△A設(shè)A1C=所以O(shè)為CC1的中點(diǎn)，又因?yàn)锳1C⊥即x2+x所以A1所以四棱錐A1平面與平面垂直的證明方法定義法利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角定理法利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直【注意】在已知面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后轉(zhuǎn)化為面面垂直.[2023·全國(guó)甲卷節(jié)選]如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，[解析]如圖，∵A1C⊥平面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C∴BC⊥平面ACC1A∴平面ACC1A過(guò)點(diǎn)A1作A1O⊥CC1于點(diǎn)O，又平面ACC1A1∵點(diǎn)A1到平面BCC1在Rt△A1CC1設(shè)CO=x，則∵△A1OC,△A1OC1,△A∴1+x2+∴A考點(diǎn)三平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用［師生共研］典例3[2024·重慶?？糫如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PAB為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD,（1）求證：BP//平面ACM（2）在棱CD上是否存在點(diǎn)G，使得平面GAM⊥平面ABCD？若存在，請(qǐng)求出CG[解析]（1）如圖1，連接BD交AC于點(diǎn)O.連接MO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MO//又因?yàn)锽P?平面ACM,MO?平面ACM，所以BP//（2）因?yàn)椤鱌AB為正三角形，E是AB的中點(diǎn)，所以PE又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PE⊥平面ABCD如圖2，連接DE，取DE的中點(diǎn)K，連接MK，則MK是△PDE的中位線，所以MK//PE，所以MK連接AK，并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G，連接AG,又MK?平面AMG，所以平面AMG⊥平面因?yàn)锳E//GD，所以∠KAE又因?yàn)镋K=KD，所以△AEK故棱CD上存在點(diǎn)G，使得平面GAM⊥平面ABCD，CG平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用的兩點(diǎn)注意1.在求解垂直與平行的綜合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意平行、垂直性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用；2.三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.[2024·贛州模擬]如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是矩形，側(cè)面BB1C（1）求證：AF//平面A[解析]如圖，取A1C1的中點(diǎn)M，連接AM,EM因?yàn)锳A1//BB1且AA因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以AD//A1因?yàn)镸，E分別為A1C1，B1C1的中點(diǎn)，所以EM//A1B1因?yàn)锳M?平面A1DE，DE?平面A1因?yàn)镸，F(xiàn)分別為A1C1，C因?yàn)镕M?平面A1DE，A1E?平面因?yàn)锳M∩FM=M，AM?平面AFM，F(xiàn)M?平面因?yàn)锳F?平面AFM，所以AF//平面（2）在棱BB1上是否存在一點(diǎn)G，使平面ACG⊥平面B[解析]當(dāng)G為BB1的中點(diǎn)時(shí)，平面ACG⊥平面B因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C為矩形，所以AC因?yàn)樗倪呅蜝B1C因?yàn)椤螧1BC因?yàn)镚為BB1的中點(diǎn)，所以因?yàn)锳C∩CG=C，AC?平面ACG，CG?平面因?yàn)锽B1?平面BB1因此，當(dāng)G為BB1的中點(diǎn)時(shí)，平面ACG⊥三余弦定理和三正弦定理1.三余弦定理：如圖1，設(shè)A為平面α上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的斜線AV在平面α上的射影為AO，AB為平面α上的一條直線，則cosθ【說(shuō)明】線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線的所成角的最小值，即線面角是線線角的最小值.2.三正弦定理：如圖2，設(shè)二面角m?AB?n的大小為α，在平面m上有一條射線AC，它和棱AB所成角為β，和平面n所成角為【說(shuō)明】二面角是半平面內(nèi)的一條直線與另一半平面所成線面角的最大值，即二面角是線面角的最大值.典例1如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=π2，PA是與平面ABC相交的斜線，∠PAB=∠[解析]依題意，斜線PA在平面ABC上的射影必在∠BAC的平分線上，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接AO，并延長(zhǎng)與BC交于點(diǎn)D，如圖，設(shè)∠PAO=θ，則θ為斜線PA與平面ABC所成角，所以由三余弦定理可得典例2在三棱錐P?ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=4，AB⊥BC[解析]因?yàn)锳B⊥BC，AB=BC=22，所以AC=4，所以∠CPA=60°深度訓(xùn)練1已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB的兩邊AC，BC的距離均為3A.2 B.1 C.