2024年江蘇省南京市玄武區(qū)中考數(shù)學二模試卷

第1頁（共1頁）2024年江蘇省南京市玄武區(qū)中考數(shù)學二模試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）計算（a2）3?a﹣3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)5 D．a(chǎn)92．（2分）下列各數(shù)中，與的積為有理數(shù)的是（）A． B． C． D．3．（2分）一個幾何體的表面展開圖如圖所示，則該幾何體是（）A．五棱錐 B．五棱柱 C．六棱錐 D．六棱柱4．（2分）數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是5、﹣3，它們之間的距離可以表示為（）A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|5．（2分）關于x的方程x2+kx＝2（k為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根6．（2分）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點P，且∠APC＝45°2+PD2＝8，則⊙O的半徑為（）A． B．2 C．2 D．4二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上）7．（2分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．8．（2分）我國航空工業(yè)“沈飛”有一個年輕的鉗工班組，他們創(chuàng)造0.00068毫米的加工公差，引領我國國產(chǎn)航空器零部件加工的極限精度．用科學記數(shù)法表示0.00068是．9．（2分）計算（﹣）×的結(jié)果為．10．（2分）分解因式4a2b﹣8ab+4b的結(jié)果是．11．（2分）設x1，x2是關于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的兩個根，且x1＝2x2，則k＝．12．（2分）已知圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為120°，則圓錐的底面圓的半徑為．13．（2分）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣1，2），作點A關于y軸的對稱點，再將點A'向下平移4個單位，得到點A″，）．14．（2分）如圖，在圓內(nèi)接六邊形ABCDEF中，∠A+∠E＝230°°．15．（2分）如圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖象上，若B是AC的中點，△OAC的面積為3．16．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，M、N分別是BC、AB邊上的動點，則線段MN的最小值為．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）（1）計算：；（2）解方程：3x2﹣4x+1＝0．18．（7分）計算：．19．（7分）臨近端午，某學校采購甲、乙兩種粽子共260個，其中，乙種粽子花費400元，且甲種粽子的單價比乙種粽子高20%20．（8分）在某檔歌唱比賽中，由10位專業(yè)評審和10位大眾評審對甲、乙兩位參賽歌手進行評分（單位：分），10位專業(yè)評審的評分條形統(tǒng)計圖如圖①所示（1）填空：歌手專業(yè)評分大眾評分平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分平均數(shù)/分方差/分2甲88.96.83.36乙7.987s乙2（2）計算乙的大眾評分的方差s乙2；（3）若將專業(yè)評分的平均分和大眾評分的平均分按7：3的比例計算參賽歌手的最終得分，哪位選手的得分更高？21．（7分）游樂場有3個游玩項目A、B、C，甲、乙各自在這3個項目中隨機選取2個項目游玩．（1）求甲選擇到項目A的概率；（2）甲、乙都選擇到項目A的概率為．22．（7分）如圖，在?ABCD中，AG⊥BC，垂足分別為G、H，E、F分別是AB、CD的中點（1）求證：△AEH≌△CFG；（2）連接AC，若AB＝6，AC＝BC＝5．23．（7分）如圖，C處的一艘貨輪位于A處的一艘護衛(wèi)艦的北偏東22.6°方向，此時兩船之間的距離AC為26海里．兩船同時沿著正北方向航行，此時貨輪到達D處，測得貨輪位于護衛(wèi)艦的北偏東53°方向．求貨輪航行的路程．（參考數(shù)據(jù)：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）24．（8分）某平臺提供同城配送服務，每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費．其中，基礎配送費為8元：路程附加費的收費標準：當配送路程不超過3千米時，若超過3千米，則超過部分每千米2元（元）與物品重量x（kg）之間的函數(shù)關系如圖中折線所示．（1）當物品重量為3kg，配送路程為16km時，則配送的費用為元；（2）當5≤x≤15時，求y與x的函數(shù)表達式；（3）某客戶需將重量為22kg的物品送到相距10km處的某地，由于平臺規(guī)定每單配送物品的重量不得超過20kg，現(xiàn)需要分兩單配送（物品可任意拆分）元．25．（9分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+4﹣m2（m為常數(shù)）．（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）設該函數(shù)圖象的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，求m的值．26．（9分）如圖，在菱形ABCD中，點E在BC上，⊙O經(jīng)過點A、B、E，點F恰好在⊙O上．（1）求證：AF＝DF；（2）求證：AD是⊙O的切線；（3）若，AF＝4，則BE的長為．27．（11分）重心的思考在△ABC中，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線（1）求證：點O在BC邊的中線上．如圖①，連接AO并延長，與BC交于點F，與AF交于點M．證明途徑可以用下面的框圖表示，請補充完整；（2）當BD⊥CE時，①如圖②，連接AO，求證：AO＝BC；②若BC＝4，則△ABC面積的最大值為．（3）如圖③，已知線段a、b，求作△ABC，AC＝b，且BD⊥CE．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要說明．）

2024年江蘇省南京市玄武區(qū)中考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）計算（a2）3?a﹣3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)5 D．a(chǎn)9【解答】解：（a2）3?a﹣8＝a6?a﹣3＝a7﹣3＝a3．故選：B．2．（2分）下列各數(shù)中，與的積為有理數(shù)的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴與的積為有理數(shù)的是，故選：C．3．（2分）一個幾何體的表面展開圖如圖所示，則該幾何體是（）A．五棱錐 B．五棱柱 C．六棱錐 D．六棱柱【解答】解：由幾何體的表面展開圖由五個三角形和一個五邊形組成，可知該幾何體是五棱錐．故選：A．4．（2分）數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是5、﹣3，它們之間的距離可以表示為（）A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|【解答】解：∵點A、B表示的數(shù)分別是5，∴它們之間的距離＝|﹣3﹣7|＝8，故選：D．5．（2分）關于x的方程x2+kx＝2（k為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根【解答】解：整理關于x的方程x2+kx＝2為：x6+kx﹣2＝0，∵Δ＝k7﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∵兩根之積為﹣7，∴方程有一個正根，一個負根．故選：C．6．（2分）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點P，且∠APC＝45°2+PD2＝8，則⊙O的半徑為（）A． B．2 C．2 D．4【解答】解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN與Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM3，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN4，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM6+PN2+DN2+PM3＝PC2+PD2＝5∴OC2＝4，∴OC＝5，故選：B．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上）7．（2分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≤5．【解答】解：由題意得5﹣x≥0，解得：x≤3，故答案為：x≤5．8．（2分）我國航空工業(yè)“沈飛”有一個年輕的鉗工班組，他們創(chuàng)造0.00068毫米的加工公差，引領我國國產(chǎn)航空器零部件加工的極限精度．用科學記數(shù)法表示0.00068是6.8×10﹣4．【解答】解：0.00068＝6.7×10﹣4，故答案為：6.2×10﹣4．9．（2分）計算（﹣）×的結(jié)果為3．【解答】解：（﹣）×＝×﹣×＝4﹣＝3．故答案為：5．10．（2分）分解因式4a2b﹣8ab+4b的結(jié)果是4b（a﹣1）2．【解答】解：原式＝4b（a2﹣5a+1）＝4b（a﹣3）2，故答案為：4b（a﹣5）2．11．（2分）設x1，x2是關于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的兩個根，且x1＝2x2，則k＝﹣2．【解答】解：根據(jù)題意知x1+x2＝5x2＝3，則x6＝1，將其代入關于x的方程x2﹣2x﹣k＝0，得16﹣3×1﹣k＝4．解得k＝﹣2．故答案為：﹣2．12．（2分）已知圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為120°，則圓錐的底面圓的半徑為2．【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr＝，解得：r＝7，即圓錐的底面圓的半徑為2，故答案為：2．13．（2分）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣1，2），作點A關于y軸的對稱點，再將點A'向下平移4個單位，得到點A″1，﹣2）．【解答】解：∵點A的坐標是（﹣1，2），得到點A'，∴A′（7，2），∵將點A'向下平移4個單位，得到點A″，∴點A″的坐標是：（2，﹣2）．故答案為：1，﹣4．14．（2分）如圖，在圓內(nèi)接六邊形ABCDEF中，∠A+∠E＝230°130°．【解答】解：連接BF，BD，∵∠A+∠E＝230°，∴的度數(shù)+，∴的度數(shù)＝460°﹣360°＝100°，∴∠BFD＝50°，∴∠C＝180°﹣∠BFD＝130°．故答案為：130．15．（2分）如圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖象上，若B是AC的中點，△OAC的面積為32．【解答】解：如圖，作AE⊥x軸，設A（a，），∵B是AC的中點，∴B（2a，），C（2a，∵S△AOC＝＝5，，解得k＝2．故答案為：7．16．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，M、N分別是BC、AB邊上的動點，則線段MN的最小值為．【解答】解：過點N作ND⊥BC于點D，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴BC＝1，設CM＝BN＝x，∴BD＝，ND＝，∴MD＝8﹣x﹣＝4﹣，∵MN2＝ND2+MD2，∴＝＝3x2﹣5x+1＝，∴當x＝時，MN2取得最小值，∴MN的最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）（1）計算：；（2）解方程：3x2﹣4x+1＝0．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣+3﹣1＝8﹣；（2）∵3x7﹣4x+1＝5，∴（3x﹣1）（x﹣7）＝0，則3x﹣8＝0或x﹣1＝2，解得x1＝，x2＝1．18．（7分）計算：．【解答】解：＝÷＝?＝．19．（7分）臨近端午，某學校采購甲、乙兩種粽子共260個，其中，乙種粽子花費400元，且甲種粽子的單價比乙種粽子高20%【解答】解：設乙種粽子的單價為x元/個，則甲種粽子的單價為（1+20%）x＝1.4x（元/個），根據(jù)題意得：+＝260，解得x＝8.5，經(jīng)檢驗，x＝2.6是原方程的解，∴x＝2.5，答：乙種粽子的單價為7.5元/個．20．（8分）在某檔歌唱比賽中，由10位專業(yè)評審和10位大眾評審對甲、乙兩位參賽歌手進行評分（單位：分），10位專業(yè)評審的評分條形統(tǒng)計圖如圖①所示（1）填空：歌手專業(yè)評分大眾評分平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分平均數(shù)/分方差/分2甲888.96.83.36乙7.9887s乙2（2）計算乙的大眾評分的方差s乙2；（3）若將專業(yè)評分的平均分和大眾評分的平均分按7：3的比例計算參賽歌手的最終得分，哪位選手的得分更高？【解答】解：（1）把歌手甲的專業(yè)評分從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是8、8＝4；歌手乙的專業(yè)評分中8出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為8．故答案為：3，8；（2）乙的大眾評分的方差s乙2＝[4×（8﹣8）2+3×（7﹣7）2+6×（6﹣7）5+（5﹣7）7]＝1；（3）歌手甲的最終得分為：＝5.64（分），歌手乙的最終得分為：＝7.63（分），∵5.64＞7.63，∴甲的得分更高．21．（7分）游樂場有3個游玩項目A、B、C，甲、乙各自在這3個項目中隨機選取2個項目游玩．（1）求甲選擇到項目A的概率；（2）甲、乙都選擇到項目A的概率為．【解答】解：（1）列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有6種等可能的結(jié)果，其中甲選擇到項目A的結(jié)果有：（A，（A，（B，（C，共4種，∴甲選擇到項目A的概率為＝．（2）列表如下：ABACBCAB（AB，AB）（AB，AC）（AB，BC）AC（AC，AB）（AC，AC）（AC，BC）BC（BC，AB）（BC，AC）（BC，BC）共有9種等可能的結(jié)果，其中甲，AB），AC），AB），AC），∴甲、乙都選擇到項目A的概率為．故答案為：．22．（7分）如圖，在?ABCD中，AG⊥BC，垂足分別為G、H，E、F分別是AB、CD的中點（1）求證：△AEH≌△CFG；（2）連接AC，若AB＝6，AC＝BC＝512．【解答】（1）證明：在?ABCD中，∠B＝∠D，∠EAH＝∠FCG，∵AG⊥BC，CH⊥AD，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴△ABG≌△CDH（AAS），∴BG＝DH，∵BC＝AD，∴AH＝CG，∵AB＝CD，E、F分別是AB，∴AE＝，CF＝，∴AE＝CF，在△AEH與△CFG中，，∴△AEH≌△CFG；（2）解：由（1）知，△AEH≌△CFG，∴EH＝FG，∵E、F分別是AB，∴EG＝，HF＝，∴EG＝FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，連接EF，AC，∵AH＝CG，AH∥CG，∴四邊形AGCH是矩形，∴AC＝GH，∵BE＝＝CF＝，∵BE∥CF，∴四邊形BCFG是平行四邊形，∴EF＝BC，∵AC＝BC，∴EF＝HG，∴四邊形EGFH是矩形，∵AB＝6，AC＝BC＝5，∴EG＝，EF＝AC＝5，∴FG＝＝＝4，∴四邊形EGFH的面積為2×4＝12，故答案為：12．23．（7分）如圖，C處的一艘貨輪位于A處的一艘護衛(wèi)艦的北偏東22.6°方向，此時兩船之間的距離AC為26海里．兩船同時沿著正北方向航行，此時貨輪到達D處，測得貨輪位于護衛(wèi)艦的北偏東53°方向．求貨輪航行的路程．（參考數(shù)據(jù)：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【解答】解：過點C作CE⊥AB，垂足為E，交AB的延長線于點F，由題意得：CE＝DF，EF＝CD，在Rt△ACE中，AC＝26海里，∴CE＝AC?sin22.6°≈26×＝10（海里），AE＝AC?cos22.7°≈26×＝24（海里），∴CE＝DF＝10海里，在Rt△BFD中，∠DBF＝53°，∴BF＝≈＝7.5（海里），∵AB＝40海里，∴CD＝EF＝AB+BF﹣AE＝40+7.7﹣24＝23.5（海里），∴貨輪航行的路程約為23.5海里．24．（8分）某平臺提供同城配送服務，每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費．其中，基礎配送費為8元：路程附加費的收費標準：當配送路程不超過3千米時，若超過3千米，則超過部分每千米2元（元）與物品重量x（kg）之間的函數(shù)關系如圖中折線所示．（1）當物品重量為3kg，配送路程為16km時，則配送的費用為37元；（2）當5≤x≤15時，求y與x的函數(shù)表達式；（3）某客戶需將重量為22kg的物品送到相距10km處的某地，由于平臺規(guī)定每單配送物品的重量不得超過20kg，現(xiàn)需要分兩單配送（物品可任意拆分）62元．【解答】解：（1）當物品重量為3kg時，基礎配送費為8元，重量附加費為4元，根據(jù)“每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費”，得8+29+0＝37（元），∴配送的費用為37元．故答案為：37．（2）當8≤x≤15時，設y與x的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k，且k≠0）．將坐標（5，2）和（15，得，解得，∴當5≤x≤15時，y與x的函數(shù)表達式為y＝x﹣4（5≤x≤15）．（3）當x＞15時，設y與x的函數(shù)表達式為y＝k1x+b2（k1、b1為常數(shù)，且k2≠0）．將坐標（15，10）和（201x+b8，得，解得，∴y＝2x﹣20，∴y與x的函數(shù)表達式為y＝．根據(jù)題意，得每單的基礎配送費為6元．設第一單配送物品的重量為mkg，則第二單配送物品的重量為（22﹣m）kg．①當0＜m＜5時，17＜（22﹣m）＜22，∴第一單的重量附加費為6元，第二單的重量附加費為2（22﹣m）﹣20＝24﹣2m（元），根據(jù)“每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費”，得W＝6×2+17×2+5+24﹣2m＝﹣2m+74，∵﹣5＜0，∴W隨m的增大而減小，∵0＜m＜6，∴當m＝5時，W值最小，W最小＝﹣2×4+74＝64．②當5≤m＜7時，15≤（22﹣m）≤17，∴第一單的重量附加費為（m﹣4）元，第二單的重量附加費為2（22﹣m）﹣20＝24﹣2m（元），根據(jù)“每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費”，得W＝7×2+17×2+m﹣4+24﹣2m＝﹣m+69，∵﹣1＜7，∴W隨m的增大而減小，∵5≤m＜7，∴當m＝3時，W值最小，W最?。僵?+69＝62．③當7≤m≤15時，8≤（22﹣m）≤15，∴第一單的重量附加費為（m﹣5）元，第二單的重量附加費為（22﹣m）﹣5＝17﹣m（元），根據(jù)“每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費”，得W＝4×2+17×2+m﹣2+17﹣m＝62．④當15＜m≤17時，5≤（22﹣m）＜7，∴第一單的重量附加費為（8m﹣20）元，第二單的重量附加費為（22﹣m）﹣5＝17﹣m（元），根據(jù)“每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費”，得W＝8×7+17×2+2m﹣20+17﹣m＝m+47，∵6＞0，∴W隨m的減小而減小，∵15＜m≤17，∴當m＝15時，W值最小，W最?。?5+47＝62．⑤17＜m＜22時，0＜（22﹣m）＜8，∴第一單的重量附加費為（2m﹣20）元，第二單的重量附加費為0元，根據(jù)“每單費用＝基礎配送費+路程附加費+重量附加費”，得W＝3×2+17×2+4m﹣20+0＝2m+30，∵3＞0，∴W隨m的減小而減小，∵17＜m＜22，∴當m＝17時，W值最?。C上，62＜64，∴兩單費用之和的最小值為62元．故答案為：62．25．（9分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+4﹣m2（m為常數(shù)）．（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）設該函數(shù)圖象的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，求m的值．【解答】解：（1）∵Δ＝（2m）2+8（4﹣m2）＝5m2+16﹣4m6＝16，∴二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）y＝﹣x2+2mx+2﹣m2＝﹣（x﹣m）2+4∴C（m，4），4﹣m5），∵△ABC的面積與△ABD的面積相等，∴4﹣m2＝﹣6，∴m＝．26．（9分）如圖，在菱形ABCD中，點E在BC上，⊙O經(jīng)過點A、B、E，點F恰好在⊙O上．（1）求證：AF＝DF；（2）求證：AD是⊙O的切線；（3）若，AF＝4，則BE的長為．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CEF，∵∠CEF＝∠BAC，∴∠FAD＝∠FDA，∴AF＝DF；（2）證明：如圖，連接AO并延長交BE于H，OE，AE，∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，∴△AFB≌△AFD（SAS