人教版高中數(shù)學(xué)必修4第二章《平面向量》導(dǎo)學(xué)案匯編

新人教版高中數(shù)學(xué)必修四

《平面向量》

教案學(xué)案

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、通過(guò)對(duì)向量的學(xué).習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.

2、通過(guò)學(xué)生對(duì)向量.與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.

二、學(xué)習(xí)過(guò)程

1、數(shù)量與向量的區(qū)別？

2.向量的表示方法？AA由（共曷總）

①

②

③

④向量方的大小一一長(zhǎng)度稱(chēng)為向量的模，記作O

3.有向線(xiàn)段：具有方向的線(xiàn)段就叫做有向線(xiàn)段，三個(gè)要素：o

4、零向量、單位向量概念：

①叫零向量，記作0.0的方向是任意的.注意0與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.

②叫單位向，量.

說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.

5,平行向量定義：

①叫平行向量；②我們規(guī)定。與平行.

說(shuō)明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a〃方

//c.

6、相等向量定義：叫相等向量。

說(shuō)明：（1）向量a與6相等，記作a=6：（2）零向量與零向量相等；

（3）任.意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線(xiàn)段來(lái)表示，并且與尊網(wǎng)繾

段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)..一

7、共線(xiàn)向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線(xiàn)向量，這是因?yàn)椋ㄅc有向線(xiàn)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.

說(shuō)明：（1）平行向量可以在同一直線(xiàn)上，要區(qū)別于兩平行線(xiàn)的位置關(guān)系；

（2）共線(xiàn)向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段的位置關(guān)系.

三、理解和鞏固：

例1判斷：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若兩個(gè)向量在同一直線(xiàn)上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？

（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？

（7）共線(xiàn)向量一定在同一直線(xiàn)上嗎？

例2下列命題正確的是（）

A.a與6共線(xiàn)，6與c共線(xiàn)，則a與c也共線(xiàn)

B.任意兩個(gè)相等的非零晌量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C.向量a與b不共線(xiàn)，則a與b都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

例.3如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中與向量°”、°B、℃相等的

向量.

變式一：與04向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？

變式二：是否存在與向量04長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？0

變式三：與向量共線(xiàn)的向量有哪些？

課堂練習(xí)：

1.判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

①向量方與無(wú)是共線(xiàn)向量，則/、B、C、。四點(diǎn)必在一直線(xiàn)上;

②單位向量都相等；

③任一向量與它的相反向量不相等；

④四邊形/BCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)=DC

⑤一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；

⑥共線(xiàn)的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

課后練習(xí)與提高

1.下列各量中不是向量的.是（）

L浮力B.風(fēng)速C.位移D.密度

2.下列說(shuō)法中管送的是（.）

A.零向量是沒(méi)有方向的B.零向量的長(zhǎng)度為0

C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是.任意的

3.把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）

A.--條線(xiàn)段B.?段圓弧C.圓上一群孤立點(diǎn)D.一個(gè)單位圓

4.一知非零向量。〃石，若非零向量,則。與3必定.

5.已知7、3是兩.非零向量，且［與］不共線(xiàn)，若非零向量限與；共線(xiàn)，則1與3必定.

6.設(shè)在平面上給定了一個(gè)四邊形ABCD,點(diǎn)、K、/、，伙/V分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則

|~KL|=,KL=

2.2向量加減法運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.通過(guò)物理學(xué)中的位移合成、力的合成等實(shí)例，認(rèn)識(shí)理解向量加法的意義，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)

發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程.

2.理解和掌握向量加法的運(yùn)算”熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量.

3.理解和掌握向量加法的運(yùn)算律，能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算.

4.了解相反向量的意義；

5.掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其兒何意義.

6.通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物間可以相互轉(zhuǎn)化

的辯證思想.

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1理解和掌握向量加法的運(yùn)算，熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量；

2向量減法的概念和向量減法的作圖法

自主學(xué)習(xí)案

【知識(shí)梳理】

1.長(zhǎng)度且方向的向量叫做相等向量

2.求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做

3.已知向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)Z,作==則向量叫做向量2]

的和.記作.即萬(wàn)+很=方+前=12,這種求向量和的方法，稱(chēng)

為。

4.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作a=仇麗=很,以為,為,為邊作，連結(jié)無(wú)，則

OC^a+b.這種求向量和的方法，叫做向量加法的。

5.向量加法的運(yùn)算律

(1)交換律：a+b=b+；(2)結(jié)合律：(a+Z>)+c=a+-a+b+c

6.相反向量：(1)“相反向量”的定義：與5、的向量.記作—(2)規(guī)定：

零向量的相反向量仍是；(3)-(-5)=ua+(-5)=—；(4)如果石、b

互為相反向量，則5=B=-2,a+b=0

7.向量的減法：向量石加上的5的向量，叫做石與B的差.

即：石-B=3+(-3)，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

8.兩個(gè)向量差的作法：若向量G和B有相同的起點(diǎn)，貝可以表示為從向量B的—指

向向量萬(wàn)的—的向量.⑴三角形法則：如圖1,作5=無(wú)礪=5,則加=石一瓦即

把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)

為終點(diǎn)的向量。

(2)平行四邊形法則：如圖2,作萬(wàn)攔乙否=4以O(shè)A,OB為邊作平行四邊形OACB,連接

BA,貝后)=萬(wàn)一&從圖中可以看出，一個(gè)向量減去另外一個(gè)向量，等于此向量加上另一個(gè)

向量的u

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1.如圖，已知￡、b,分別用三角形法則和四邊形法則作出￡+bo

2.設(shè)非零向量石和B互為相反向量，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.aIIbB.a^bC.|石國(guó)D.a^-b

3.在平行四邊形ABCD中，覺(jué)—就'=()

A.DB；B.就；C.麗；D.CA

4.化簡(jiǎn)：(1)而-而=(2)OD-CD=

【我的疑問(wèn)】

合作探究案

例1.如圖所示，已知不共線(xiàn)的向量5,B和3,求作向量萬(wàn)-B+c

b

例2.如圖，0寸正六邊形AiA2A3A4A5A6的中心,作出下列向量:

(1)0A,+0A[(2)04+A2A3

()

A：%

(3)A,1LXJ+AJXA,H+A.*A?e〉+〉4AO

推廣：44+44+44+……+4,-14,+44=

例3.化筒：AB-CB-AC

【當(dāng)堂檢測(cè)】

i.如圖，已知方,求作和5+B.

2.填空：

AB-AD^BA-BC^

BC-BA=OD-OA=

OA-OB=________

3.化簡(jiǎn)向量(1)為+無(wú)一礪+歷=(2)AB—CB—DC+DE+EA=

4.如圖所示的四邊形ABCD中，設(shè)

AB=3,AD=b,BC=乙則用扇B忑表示而=AC=

覺(jué)=_________________

課后練習(xí)案

1.四邊形ABCD中，化簡(jiǎn)標(biāo)—皮—誣=()

A.AC；B.就；C.BD；D.石

■,—?

2.在三角形ABC中，則荏等于（）

A.a+bB.-(a+b)C.a-b

3.已知0為平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若

OA=a,OB=b,OC=c,OD=2.貝舊+b+c+d=

4.如圖，在四邊形中，根據(jù)圖示填空：

a+b=.b+c=c-d=

b+c-d=_____________

2.2.3向量數(shù)積學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理?解實(shí)數(shù)與向量數(shù)積的幾何意義；

2.讓學(xué)生能由實(shí)數(shù)運(yùn)算律類(lèi)比向量數(shù)乘運(yùn)算律，并且驗(yàn)證強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的形成過(guò)程的認(rèn)識(shí)，

正確表示結(jié)果，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；

3.能熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)與向量積的定義，運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】實(shí)數(shù)向量積的兒何意義，用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算。

自主學(xué)習(xí)案

【知識(shí)梳理】

1.向量的數(shù)乘

我們.規(guī).定實(shí)數(shù)幾與向量力的積是一個(gè)向量，這種.運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘，記作.

它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

（1）|X?|=_；____；（2）入>0時(shí)入萬(wàn)與石方向；入<0時(shí)入）與不方向；

由（3）知入=0或萬(wàn)=6時(shí)，X?=,方向；

2.實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義

當(dāng)門(mén)|>1時(shí)，表示向量）的有向線(xiàn)段在原方向（2>0）或反方向（4<0）上伸長(zhǎng)到原來(lái)

的倍，當(dāng)0<|X|<1時(shí)，表示向量）的有向線(xiàn)段在原方向（力〉0）或反方向（力<0）

上到縮短到原來(lái)的倍.

3.實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律

（1）結(jié)合律：入（口石）=；

⑵分配律：（入+u））=,A（萬(wàn)+B）=；

4.如果5（a^O）與了共線(xiàn)，那么有且只有.一個(gè)實(shí)數(shù)力，使

5.若存在AGR使得，則三點(diǎn)A,B,C共線(xiàn)..

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1、設(shè)eR,則下列敘述不正確的是（）

A.2（a-b）=Aa-AbB.（幾一〃）萬(wàn)=而一曲

C.五二〃（而）D.而（％。0）的方向與向量方的方向相同

2.已知同=5,忖=10,若5=花，且向量分的方向與向量）的方向相反，則人的值為

（）

A.2B.—2C.---D.—

22

3.設(shè)是任意的兩個(gè)向量，2e/?,給出下面四個(gè)結(jié)論：

（1）若G與X共線(xiàn)，則1=41（2）若X=則3與Z共線(xiàn)；

(3)若。=丸6,則。與方共線(xiàn)，(4)若。〃a,且I。0,則有aeR使得》=4a

其中，正確的結(jié)論有()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

【我的疑問(wèn)】

合作探究案

【課內(nèi)探究】

例1.化簡(jiǎn)(1)5(3云-26)+4(26-35)(2)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)

例2.如圖,已知任意兩個(gè)非零向量a5,試作a=石+友麗=a+2瓦瓦=3+3冗你能

判斷A,B,C三點(diǎn)之間的關(guān)系嗎？為什么？

a

b

變式：設(shè)兩個(gè)非零向量e1和02不共線(xiàn)，如果48=2q+3.02,BC=6et+23e2,

CD=4ex-8e2,求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn).

i—?]—?—?].

例3.設(shè)M,N,.P是三邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足前=—部，CN=/A,AP、AB^

333

酢=2就=很,試用扇B,5表示而,NP,PM.A

N

B

變式：平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)M,且而=￡,屈=］，你能用表示

MA,MB,MC嗎？

【當(dāng)堂檢測(cè)】

-1-1_1_

1化簡(jiǎn)：⑴5(3a-2b)+4(2b-5a)(2)-(a-2b)--(3a-2b)--(a-b)

2.3、右為非零向量，且IZ+1I=I1I+I9I則()

A.a〃1且a、3方向相同B.a=bC.a--bD.以上都不對(duì)

3.在aABC中，設(shè)刀=?,就=B,D、E是BC邊上的三等分點(diǎn)，則而=

AE—(用b、c表示).

課后練習(xí)案

1.化簡(jiǎn)48—NC—3BC=.

2.已知4c=±48,AC=XBC,則人的值為（）

5

3.已知梯形ABCD,中，且凝=2皮，M、N分別為CD、AB的中點(diǎn)，若荔=5,~AD=b,

用萬(wàn)、X表示加.

―????-?—?■?——#—??-e?

4.已知任意兩個(gè)非零向量a,方，設(shè)43=2?1+1（防,3。=一加+助,。。=30-3力，求

證：A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn)。

5.ZXABC中，/E=,N8,EF〃BC交AC于F點(diǎn)，設(shè)N8=。，4(7=3,試用a,3表示向量

5

BF。

2.3.1平面向量基本定理學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.平面向量基本定理；

2.理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線(xiàn)的向量來(lái)表示;能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)?/p>

選取基底，使其他向量都能夠用基底來(lái)表示.

3.掌握兩個(gè)向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義.

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.

自主學(xué)習(xí)案

【知識(shí)梳理】

1.平面向量.基本定理：

（1）我們把不共線(xiàn)向量［,晟叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

（2）基底不惟一，關(guān)鍵是不共線(xiàn)；

（3）基底給定時(shí)，分解形式惟一.儲(chǔ)，刖是被石，［，］唯一確定的數(shù).

2.向量的夾角

（1）已知非零向量石與b,作0A—a，OB—b,則/（0W史乃）叫）與X

的.

（2）當(dāng)0=0時(shí)，d與B；當(dāng)〃時(shí)，五與B；

n-

（3）當(dāng)，=5時(shí)，5與6垂直，記；

（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)，夾角的范圍.

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1.設(shè)1是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有（）

A.,,e2?—定平行B.6,e2的模相馨

C.同一*平面內(nèi)的任一向量）都有石=46+〃/（"、〃￡R）

D.若最不共線(xiàn)，則同一平面內(nèi)的任一向量）都有2=41+（4、〃￡R）

2.已知非零不共線(xiàn)向量石與bR,且〃疝+>=0,則()

A.a=A=6B.m=n=0C.〃=0,5=0D.m=0,6=0

3.已知不共線(xiàn)向量石與彼長(zhǎng)度分別為4和3,除+3|=5,

則5和很的夾角為.

【我的疑問(wèn)】

合作探究案

【課內(nèi)探究】

例1.已知向量弓，e2求作向量-Ze1+3e2.

例2.已知向量,，e2不共線(xiàn)，實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足(3六4歷,+(2x-3y)e2=6^+3e2,求產(chǎn)y的

值.

變式：已知向量1=，-2々，3=2,+e2,c=2,+362,且N=/wb-〃c,則

例3.如圖，平行四邊形OADB的對(duì)角線(xiàn)OD,AB相交于點(diǎn)C,線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)M滿(mǎn)足

BC=3BM,線(xiàn)段CD上有一點(diǎn)N滿(mǎn)足CZ>3CN,設(shè)方=瓦麗=試用瓦B表示萬(wàn)口麗.

變式：如圖所示，在平行四邊形OADB中，M,N分別為DC,BC的中點(diǎn)，已知

AM=c,AN=d,試用表示刀,75.

【當(dāng)堂檢測(cè)】

a,

1.已知向量萬(wàn)=,一26，5=21+晟其中［,最不共線(xiàn)，則3與

—>?>

C二66一202,的關(guān)系（）

A.不共線(xiàn)后共線(xiàn)C.相等D.無(wú)法確定

2.已知石，很不共線(xiàn)，S.c=^a+A2b（兒，A2eR）,若巨與3共線(xiàn)，則，=.

-?

-*—*—?

3.已知入1>0,入2>0，C］，。2是一，組基底，且5=4耳+則石與，_____.?G與

--?

02（填共線(xiàn)或不共線(xiàn)）.

4.等邊aABC中，AB與BC的夾角是

課后練習(xí)案

1.下面三種說(shuō)法正確的是（）

①--個(gè)平面內(nèi)只有?對(duì)不共線(xiàn)向量可作為表示該平面所有向量的基底；

②一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線(xiàn)向量可作為表示該平面所有向量的基底；

③零向量不可為基底中的向量.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

■*—*,,—?*

2.已知向量,62。0,〃￡火,石二6+〃6，6=26，若石，石共線(xiàn)，則

下列關(guān)系中一定成立的是（）

A.//=05.e2=0C.q〃e2D.q〃6或4=0

3.設(shè)O是平行四邊形288兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，下列向量組：

①75,荏②方面③反比@OD,OB

其中可以作為這個(gè)平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底是。

―?—?—?―?——?—?——*,—*,

4.已知向量ei,e2不共線(xiàn)，向量萬(wàn)=3%—262,b=-2ex+e2,c=7q-de2,試用3,

b表■示3.

5.AABC,D、E、產(chǎn)分別是48、BC、C/上的中點(diǎn)，已知AC=b,用5,B表

示DE,EF,AE.

2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)運(yùn)算和共線(xiàn)的坐標(biāo)表示學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解向量的正交分解及其意義。

2.理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則，能熟練進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

3.理解并掌握用坐標(biāo)表示平面向量共線(xiàn)的條件,能應(yīng)用平面向量共線(xiàn)的條件解決向量共線(xiàn)的

有關(guān)問(wèn)題.

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則，能熟練進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算

難點(diǎn)：能靈活應(yīng)用平面向量共線(xiàn)的條件解決向量共線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題.

自主學(xué)習(xí)案

【知識(shí)梳理】

2.平面向量的正交分解

由平面向量的基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的任向量)均可以分解為不共線(xiàn)的兩個(gè)向量力[和

X2a2,使之=為由+42a2，若________________,______，則稱(chēng)為)的正交分解，它是平面向

量基本定理的特殊形式，是向量坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ)。

3.平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量;、，作為基底，由

平面向量基本定理知，對(duì)于平面內(nèi)任一向量5,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得5=x7+0,

即a=________

從原點(diǎn)出發(fā)的向量宓＜.對(duì)應(yīng)〉向量的坐標(biāo)(x,y)

3.已知a=(X/,%),b=(后/2)，則：

(1)a+h^____________

(2)a-b=____________

(3)Aa-____________

4.若/(X],y]),8(》2,%)，則AB=.

—?―?-?

5.設(shè)2=(%1，%)，b=(x2,y2),其中bW0,.當(dāng)且僅當(dāng)——時(shí)，a//b.

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1、已知7、7分別是與x軸、夕軸方向相同的兩個(gè)單位向量，若G=(3,4),則石可以用7、

7表示為()

A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j

2.已知向量石=(1,3),向量B=(-2,1),求以下向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

a+b=a—b=3a=2a+3b-

3.已知4(—l,2),8(3,-4),則向量方的坐標(biāo)是。

4.下面各組的日個(gè)向量，共“線(xiàn)的是()

A、5=(-2,3),=(4,6)B、c=(l,-2),J=(4,6)

C、e=(2,3),/=(3,2)D、g=(-3,2),A=(6,-4)

【我的疑問(wèn)】

合作探究案

【課內(nèi)探究】

例1、已知不=(2,1),3=(一3,4),求)+B,5-B,3G+4B的坐標(biāo)。

變式：已知方=(1,-2),B=(—3」)4=(11,-7),且7=x方+歹3,求x,y.

例2、已知UBCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A、B、C的坐標(biāo)分別是

(-2,1)、(-1,3)、(3、4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

例3.已知石=(1,2),3=(-3,2),若而+6與3—3很平行，求3

變式：已知4(一1,一1),3(1,3),。(2,5),試判斷A、B、C三點(diǎn)是否共線(xiàn)。

例4：設(shè)點(diǎn)尸是線(xiàn)段片B上的一點(diǎn)，片,鳥(niǎo)的坐標(biāo)分別是(X，乂)，(％2，%)。

(1)當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段片鳥(niǎo)的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段86的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)。

總結(jié)提升：

向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種特殊形式；向量的坐標(biāo)表示也是向量

的代數(shù)表示，向量的坐標(biāo)表示體現(xiàn)了數(shù)形的緊密聯(lián)系，從而可用“數(shù)”來(lái)解決“形”的問(wèn)題。

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.下列說(shuō)法正確的是()

A..平面內(nèi)由單位向量組成的正交基底有只有一對(duì)，

B.相等向量的坐標(biāo)相同，并且它們起點(diǎn)的坐標(biāo)，終點(diǎn)的坐標(biāo)都要相同

C.平面內(nèi)任,何兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量都能作為基底向最。

D.平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量都能作為正交基底向量

2.在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,5),則

0A=,0B=,AB=

3.若石=(2,3)/=(4,相—1),且3〃5，則相等于()

A、5B、6C、7D、8

4.已知點(diǎn)0(0,0),向量為=(2,3),為=(6,-3),點(diǎn)P是線(xiàn)段48的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)。

課后練習(xí)案

I—]——*.

1.0是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量次的坐標(biāo)是(4,0),向量03=彳04,則向量麗的坐標(biāo)是—

2.已知旭=(2,7),n=(x+2,7),若加二〃，貝ijx二

t_—]f

3.已.知向量a=(x+y,xy),b=(-10,-12),若。=一小,求x,y.

4.已知表示向量)的有向線(xiàn)段始點(diǎn)A的坐標(biāo)，求它的終點(diǎn)B的坐標(biāo)：

(1)5=(-2,1),^=(0,0)(2)a=(5,-4),4=(3,-6)

5.已知OBCD的頂點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

6.已知點(diǎn)A(1,1),B(T,5)及AC=、AB,AD=2AB,AE=,求點(diǎn)C、D、

E的坐標(biāo).。

3—-

7.已知A(2,3),B(4,-3),點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且力尸=-PB,求點(diǎn)p的坐

標(biāo)。

2.3.3《平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)

算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；

2.通過(guò)學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識(shí)事物之間的相互

聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的理解.

【教學(xué)過(guò)程】

一、k創(chuàng)設(shè)情境》

以前，我們所講的向量都是用有向線(xiàn)段表示，即幾何的方法表示。向量是否可以用代數(shù)

的方法，比如用坐標(biāo)來(lái)表示呢？如果可能的話(huà)，向量的運(yùn)算就可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)完成，那

么問(wèn)題的解決肯定要方便的多。因此，我們有必要探究一下這個(gè)問(wèn)題：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

二、R新知探究》

思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)3=(xi,yi)h=(x2,Y2)

則g=X|i+yjb=x2i+y2j,根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)，向量石+分，a-b,Xa(X

GR)如何分別用基底i、j表示？

5+3.=(xi+x2)i+(yi+y2)/，

a-b=(x1-x2)i+(yi-y2V-

入石=入X]i+入yj.

思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量萬(wàn)+B,a~b,入石的坐標(biāo)分別如何？

a+h=(x!+x2,yi+y2)；

石―B=(xi—X2，yi—y2)；

入G=(入X],A.y,).

兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)運(yùn)算法則：

兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原-來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).

思考3：已知點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,y2)，那么向量方的坐標(biāo)如何？

結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

思考4：?個(gè)向量平移后坐標(biāo)不變，但起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了變化，這是否矛盾呢？

結(jié)論：

1：任意向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)系，只與其

相對(duì)位置有關(guān)。

2：當(dāng)把坐標(biāo)原點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)，這時(shí)向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).

三、K典型例題2

例1已知G=(2,1),3=(—3,4),求a+b,a—b,33+4B的坐標(biāo).

解：5+6—(2,1)+(-3,4)=(—1,5),

a—b—(2,1)-(-3,4)=(5,-3),

33+4各=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).

點(diǎn)評(píng)：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解。

變式訓(xùn)練1：已知2=(3,2),6=(0,-1),求一2Z+4B,41+31的坐標(biāo);

例2、已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-2,1)、(-1,3)(3,

4),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),

?.?屈=(-1,3)-(-2,1)=(1,2)

5c=(3,4)-(x,^)=(3-x,4-y)

且在=皮

.-.(l,2)=(3-x,4-^)

即3?x=l,4?y=2

解得x=2,產(chǎn)2

所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).

另解：山平行四邊形法則可得

BD^BA+BC

=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)

=(3,-1)

OD^OB+BD

所如名星曲D((2,2)

點(diǎn)評(píng)：考查了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.

變式訓(xùn)練2：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使

這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。

四、K課堂小結(jié)』

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：

(1)兩向量和的坐標(biāo)等于各向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和；

(2)兩向量差的坐標(biāo)等于各向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的差；

(3)實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于原向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘以該實(shí)數(shù)；

五、工反饋測(cè)評(píng)】

1.下列說(shuō)法正確的有()個(gè)

(1)向量的坐標(biāo)即此向量終點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)位置不同的向量其坐標(biāo)可能相同

(3)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于它的始點(diǎn)坐標(biāo)減去它的終點(diǎn)坐標(biāo)

(4)相等的向量坐標(biāo)一定相同

A.1B.2C.3D.4

2.已知A(-1,5)和向量石=(2,3),若=3G,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為。

A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)

3.已知點(diǎn)4(1,1),8(-1,5)及工=；在，AD=2AB,AE=-^AB,求點(diǎn)C、D、

E的坐標(biāo)。

2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：通過(guò)預(yù)習(xí)會(huì)初步的進(jìn)行向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的枳的坐標(biāo)運(yùn)

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：

1、知識(shí)回顧：平面向量坐標(biāo)表示

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：

若a=(xbyD,b=(x2,y2)貝Ua+b=,

a—b=,Xa=..

三、提出疑惑

同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中

疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)

運(yùn)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；

2.通過(guò)學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識(shí)事物之間的相聯(lián)

系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.

二、學(xué)習(xí)內(nèi)容

1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：

思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若5=(X|,yi)，b=(x2,y2)＞則

a=xii+yij.B=X2i+y2j，根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)，向量3+B，a—b,入5(人

GR)如何分別用基底i、j表示？

思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量5+B,a-b,入萬(wàn)的坐標(biāo)分別如何？

思考3：已知點(diǎn)A(xby)B(X2,y2)，那么向量的坐標(biāo)如何？

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：

(1)兩向量和的坐標(biāo)等于;

(2)兩向量差的坐標(biāo)等于;

(3)實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于;

思考4：一個(gè)向量平移后坐標(biāo)不變，但起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了變化，這是否矛盾呢？

2.典型例題

例1：已知3=(2,1),5=(—3,4),求a+b,a—b,35+4分的坐標(biāo).

例2：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo).分別為(-2,1)、(-1,3)、

(3,4),求頂點(diǎn)D的坐一標(biāo)。

三、反思總結(jié)

(1)引進(jìn)向量的坐標(biāo)后，向量的基本運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算，可以解方程，可以解不等式,

總之問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域之中。

(2)要把點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)來(lái)，兩者不是一個(gè)概念。

四、當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列說(shuō)法正確的有()個(gè)

(1)向量的坐標(biāo)即此向量終點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)位置不同的向量其坐標(biāo)可能相同

(3)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于它的始點(diǎn)坐標(biāo)減去它的終點(diǎn).坐標(biāo)

(4)相等的向量坐標(biāo)一定相同

A.1B.2C.3D.4

2.已知A(-l,5)和向量為=(2,3),若凝=35,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為。

A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)

3.已知點(diǎn)4(1,1),8(-1,5)及撫=；在，AD=2AB,AE=-jAB,求點(diǎn)C、D、E

的坐標(biāo)。

課后練習(xí)與提高

1.已知工=(3,2),1=(0,-1),則-2Z+4/等于()

A.(-6,—8)B.(―3,—6)

C.(6,8)D.(6,-8)

2.已知平面向量)=(1,2),%=,且2)=九則2)-33等于(.)

A.(-2,-4)B.(-3,-6)

C.(-5,-10)D.(-4,-8)

3已知￡=(2,3),B=(—1,2),若左Z—石與Z—女鼠平行，貝U左等于().

A.1B..-1C.1或-1D.2

4.已知a=(5,2),a=(-7,-2),則4a+3b的坐標(biāo)為.

5.已知：點(diǎn)A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB+入AC(入GR),則人為

時(shí)，點(diǎn)P在一、三象限角平分線(xiàn)上.

6.已知a=(2,-4),b-(-1,3),c-(6,5),p-a+2b-c,則以a,B為基底,

求p.

參考答案:

VlW.WA'2.D3.C4.(-1，,2)5.-3

6.解：令2=總+施,則(6,5)=4(2,-4)+皿-1,3).

.2兄一〃=6

(6,5)=(24-區(qū)一4；1+3以),」-44+3〃=5'

23

=T，：.p=a+^-—a-\lb=--a-\^>.

"=1722

2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用坐標(biāo).表示平面向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算；能用兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，求所構(gòu)造向量的坐標(biāo)；

2.體會(huì)向量是處理幾何問(wèn)題的工具.培養(yǎng)細(xì)心、耐心的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高分析問(wèn)題的能力。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、自主學(xué)習(xí)

（一）知識(shí)鏈接：復(fù)習(xí)：⑴向量是共線(xiàn)的兩個(gè)向量，則之間的關(guān)系可表示

為.

⑵向量親,最是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，［為這個(gè)平面內(nèi)任一向量，則向量￡可用］，瑟

表示.為0

（二）自主探究：（預(yù)習(xí)教材P96—P97）

探究：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

問(wèn)題1：已知＜7=（X］,%），b=（x2,y2）,能得出“+否，a-b,幾”的坐標(biāo)嗎？

1、已知：a=（為，/），5=（巧，巧），義為一實(shí)數(shù)

a+b=。a—b=。

這就是說(shuō)，兩個(gè)高量和（差）的坐標(biāo)分別等于

Aa=.這就是說(shuō),實(shí)數(shù)與向量的積的坐.標(biāo)等于:

問(wèn)題2：如圖，已知力后,乂），8（馬,必），則怎樣用坐標(biāo)表示向量拓呢？

2、若已知2（*1，匕），6（巧，/），

貝ijAB==

即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于此向量的有向線(xiàn)段

的。

問(wèn)題3:你能在上圖中標(biāo)出坐標(biāo)為（X2-司,％-必）的P點(diǎn)嗎？標(biāo)出尸點(diǎn)后，你能發(fā)現(xiàn)向量

的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系嗎?

二、合作探究

1、已知a+5=（2,-8）,a-否=（-8,16）,求。和5.

2、已知平行四邊形/BCO的頂點(diǎn)力（-1,-2）,5（3,-1）,C（5,6）,試求:

（1）頂點(diǎn)。的坐標(biāo).

（2）若/C與8。的交點(diǎn)為O,試求點(diǎn)。的坐標(biāo).

3、已知△ZBC中，3(7,8),3(3,5),C(4?3),M、N是AB、3c的中點(diǎn),3是5c的中點(diǎn),

MN與AD交于點(diǎn)、F,求亦

三、交流展示

1、已知向量的坐標(biāo)，求￡+加￡一5的坐標(biāo).

(l)o=(3,7),6=(-2,l)

⑵)=(-3,-4),1=(4,3)

⑶7=(2,-5)1=(3,-8)

(4)a=(O,-l),6=(-1,0)

2、已知力、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求方，成的坐標(biāo).

⑴/(1,3),8(-2,-5).

⑵/(0,-1),8(3,6)

⑶4(4,-7),3(2,1)

⑷/(0,0),8(4,-5)

3251—1-

3、已知以，-),M—,-)，且g=一MN,求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

2

4、已知向量a=(3,-2),b=(-2,1)(c=(7,-4),試用來(lái)表示c.

四、達(dá)標(biāo)檢測(cè)(A組必做，B組選做)

A組：L若向量〃=(x-2,3)與向量否=(l,y+2)相等，則()

A.x=l,y=3B.x=3,y=1C.x=l^y=—5D.x=5,y=-1

2.已知方=(x,y),點(diǎn)擊的坐標(biāo)為(-2,1),則行的坐標(biāo)為()

A.(x-2,y+l)B.(x+2,_y-1)C.2—x,y)D.(x+2,y+l)

3.已知￡=(3,-1),1=(一1,2),貝IJ-3Z-2否等于()

A.(7,l)B,(-7,-l)C.(-7,1)D.(7,-l)

4.設(shè)點(diǎn)/(—1,2),8(2,3),C(3,-l)且赤=2萬(wàn)一3及，求。點(diǎn)的坐標(biāo)。

B組：1、已知點(diǎn)4(—1,—5)和向量a=(2,3),若4B=3a,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為()

A.(6,9)B.(5,4)C.(7,14)D.(9,24)

2、已知圓C：(x—3)2+3—3)2=4及點(diǎn)M為圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)兒在線(xiàn)段M1

的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且該=2用/,求點(diǎn)N的軌跡方程.

2.3.4《平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.會(huì)推導(dǎo)并熟記兩向量共線(xiàn)時(shí)坐標(biāo)表示的充要條件；

2.能利用兩向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示解決有關(guān)綜合問(wèn)題。

3.通過(guò)學(xué)習(xí)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思

維能力.

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示及直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)的求解.

教學(xué)難點(diǎn)：定比分點(diǎn)的理解和應(yīng)用.

【教學(xué)過(guò)程】

一、K創(chuàng)設(shè)情境F

前面，我們學(xué)習(xí)了平面向量可以用坐標(biāo)來(lái)表示，并且向量之間可以進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算。這就為解

決問(wèn)題提供了方便。我們又知道共線(xiàn)向量的條件是當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù)人使得坂=入石，那

么這個(gè)條件是否也能用坐標(biāo)來(lái)表示呢？因此，我們有必要探究一下這個(gè)問(wèn)題：兩向量共線(xiàn)的

坐標(biāo)表.示。

二、K新知探究』

思考：共線(xiàn)向量的條件是當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù)人使得5=入B,那么這個(gè)條件是否也能

用坐標(biāo)來(lái)表示呢？

設(shè)2=(xi,y。3=(x2,丫2)(b*6)其中Bw石

_-[x\~?

由石=入/),(xi,yi)=X(x,y),消去入：X!y—xyi=0

22〔乂=機(jī)22

結(jié)論：a//b(b^0)<?x1y2-x2yi=0

注意：1。消去入時(shí)不能兩式相除，???力,丫2有可能為0，???Bw6,

；?X2,Y2中至少有一個(gè)不為0.

2。充要條件不能寫(xiě)成"=匹?；X],X2有可能為0.

再x2

-=亦

3。從而向量共線(xiàn)的充要條件有兩種形式：a//ba~

%%f必=o

三、R典型例題》

例L已知a=(4,2),b=(6,y),且?！ㄗI求

解：Vallb,:.4y—2x6=0.y=3.

點(diǎn)評(píng)：利用平面向量共線(xiàn)的充要條件直接求解.

變式訓(xùn)練1：已知平面向量1=(1,2),b=(-2,m)，且工〃幾則0+3否等于

例2:已知/(-1,7),3(1,3),C(2,5),求證:/、B、。三點(diǎn)共線(xiàn).

證明：刀=(1—(一1),3-(—1))=(2,4),^C=(2-(-l),5-(-l))=(3,6),

又2乂6-3乂4=0,；.在〃就.：直線(xiàn)48、直線(xiàn)4C有公共點(diǎn)Z,

：.A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)。

點(diǎn)評(píng):若從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線(xiàn)，則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線(xiàn).

變式訓(xùn)練2：若Z(x,-1),8(1,3),C(2,5)三點(diǎn)共線(xiàn)，則x的值為.

例3.:設(shè)點(diǎn)P是線(xiàn)段PR上的一點(diǎn),Pi、P2的坐標(biāo)分別是(X】,力)，(x2,y2).

(1)當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段PF2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：(1