第二章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理.ppt

1、第2章誤差的基本理論分析,本章主要內(nèi)容,1 測(cè)量誤差的基本概念 2 表達(dá)誤差的幾種形式 3 誤差的性質(zhì)和分類 4 有效數(shù)字 5 系統(tǒng)誤差的矯正,6 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理 7 粗大誤差的剔除 8 誤差的合成 9 數(shù)據(jù)的一元線性回歸分析 10 測(cè)量結(jié)果的表達(dá)形式,測(cè)量誤差的基本概念,基本名詞,真值（True Value） ：,被測(cè)量本身客觀存在的實(shí)際值。 真值是客觀存在，但是不能測(cè)量的。 計(jì)量和測(cè)量中，經(jīng)常使用“理論真值”、“約定真值”和“相對(duì)真值”的概念。,理論真值：,理論上存在、計(jì)算推導(dǎo)出來(lái)。如：三角形內(nèi)角和180,約定真值：,按照國(guó)際公認(rèn)的單位定義，利用科學(xué)技術(shù)發(fā)展的最高水平所復(fù)現(xiàn)的單位基準(zhǔn)

2、。一般以法律形式規(guī)定的。,如：國(guó)際千克基準(zhǔn),相對(duì)真值：,在滿足規(guī)定準(zhǔn)確度時(shí)用來(lái)代替真值使用的值。 利用高一等級(jí)精度的儀器或裝置的測(cè)量結(jié)果作為近似真值 標(biāo)準(zhǔn)儀器的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)誤差 1/3 測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)誤差,基本名詞,標(biāo)稱值 ：,計(jì)量和測(cè)量器具上標(biāo)注的量值（通常給出準(zhǔn)確度等級(jí)或誤差范圍）。,示值：,測(cè)量?jī)x器上給出的量值，也稱測(cè)量值。,測(cè)量結(jié)果與真值一致的程度。由于涉及到“不可知”的真值，只是定性的概念。 定量描述：準(zhǔn)確度等級(jí)、不確定度。,在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次連續(xù)測(cè)量所得結(jié)果的一致性。,準(zhǔn)確度：,重復(fù)性：,測(cè)量誤差：測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之差。,測(cè)量誤差及其表示方法,注意： 在實(shí)際測(cè)試中真值

3、無(wú)法準(zhǔn)確獲得，因此常用約定真值或相對(duì)真值代替真值來(lái)確定測(cè)量誤差。,誤差公理： 一切測(cè)量都有誤差，誤差自始至終存在于所有科學(xué)試驗(yàn)的過(guò)程中。,誤差,絕對(duì) 誤差,相對(duì) 誤差,粗大 誤差,系統(tǒng) 誤差,隨機(jī) 誤差,表示形式,性質(zhì)特點(diǎn),引用 誤差,容許 誤差,測(cè)量誤差分類,儀表 誤差,絕對(duì)誤差的負(fù)值稱之為修正值，也叫補(bǔ)值，一般用c表示，即c=-A=A0-Ax 。儀器的修正值一般是計(jì)量部門檢定給出。示值加上修正值可獲得真值，即實(shí)際值。,絕對(duì)誤差,絕對(duì)誤差（Absolute Error）定義：測(cè)量結(jié)果的測(cè)量值與被測(cè)量的真值之間的差值。,絕對(duì)誤差,測(cè)量值,被測(cè)量的真值，常用約定真值或相對(duì)真值代替,相對(duì)誤差（Re

4、lative Error）定義：絕對(duì)誤差與被測(cè)量真實(shí)值的比值。,相對(duì)誤差,真值相對(duì)誤差,絕對(duì)誤差,約定真值或相對(duì)真值,測(cè)量值,在實(shí)際測(cè)量中，相對(duì)誤差主要用來(lái)評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，相對(duì)誤差越小準(zhǔn)確度愈高。,示值相對(duì)誤差,引用誤差,相對(duì)誤差可以評(píng)價(jià)不同被測(cè)量的測(cè)量精度，卻不能用來(lái)評(píng)價(jià)不同儀表的質(zhì)量。因?yàn)橄鄬?duì)誤差與被測(cè)量大小或儀表的具體示值x有關(guān)。 為合理的評(píng)價(jià)儀表的測(cè)量質(zhì)量，引入引用誤差的概念。,引用誤差,引用誤差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）定義 ： 絕對(duì)誤差與測(cè)量?jī)x表的滿量程的百分比。,該標(biāo)稱范圍（或量程）上限,引用誤差,儀表示值的絕對(duì)誤差

5、,引用誤差是一種相對(duì)誤差，而且該相對(duì)誤差是引用了特定值，即標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對(duì)誤差、滿度誤差。 注意：引用誤差仍然與示值有關(guān)。,最大引用誤差,最大引用誤差： 在規(guī)定的工作條件下，當(dāng)被測(cè)量平穩(wěn)地增加和減少時(shí)，在儀表全量程所取得的諸示值的引用誤差（絕對(duì)值）的最大者。,該標(biāo)稱范圍（或量程）上限,引用誤差,儀器標(biāo)稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對(duì)誤差,最大引用誤差是儀表基本誤差的主要型式，故稱之為儀表的基本誤差。,儀表的準(zhǔn)確度等級(jí),我國(guó)電工測(cè)量?jī)x表的準(zhǔn)確度等級(jí)（Accuracy Class）就是按照最大引用誤差進(jìn)行分級(jí)的。通常用最大引用誤差去掉正負(fù)號(hào)和百分號(hào)后的數(shù)字來(lái)表示精度

6、等級(jí)，精度等級(jí)用符號(hào)G表示。 國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 77676電測(cè)量指示儀表通用技術(shù)條件規(guī)定，測(cè)量指示儀表的精度等級(jí)G分為： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七個(gè)等級(jí)。 對(duì)應(yīng)的引用誤差分別為： 0.1、0.2%、0.5%、1.0%、1.5%、2.5%、5.0% 檢測(cè)儀器的精度等級(jí)由生產(chǎn)廠商根據(jù)其最大引用誤差的大小并以“選大不選小”的原則就近套用上述精度等級(jí)得到。,一個(gè)電壓表，其滿量程為100V，若其最大誤差出現(xiàn)在50V處且為0.12V，則最大引用誤差：,則可以確定儀表等級(jí)為0.2級(jí)。,【例 】,當(dāng)一個(gè)儀表的等級(jí)選定后，用此表測(cè)量某一被測(cè)量時(shí)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為：,最大相對(duì)

7、誤差為：,絕對(duì)誤差的最大值與該儀表的標(biāo)稱范圍（或量程）上限Am成正比。,選定儀表后，被測(cè)量的值越接近于標(biāo)稱范圍（或量程）上限，測(cè)量的相對(duì)誤差越小，測(cè)量越準(zhǔn)確。,儀表的準(zhǔn)確度等級(jí),【例 】,某1.0級(jí)電壓表，滿度值（標(biāo)稱范圍上限）為300，求測(cè)量值分別為300，200和100時(shí)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。,根據(jù)題意得,最大絕對(duì)誤差為,他們的相對(duì)誤差分別為：,可見(jiàn)，在同一標(biāo)稱范圍內(nèi)，測(cè)量值越小，其相對(duì)誤差越大。,【解】,儀表的準(zhǔn)確度等級(jí),注意2：由于對(duì)于同一等級(jí)的檢測(cè)儀器，其絕對(duì)誤差隨滿量程值的增大而增大，為提高測(cè)量的精確度，需要被測(cè)量與儀表的量程相適應(yīng)，被測(cè)量一般應(yīng)在滿量程的2/3以上（相對(duì)誤差小于1

8、.5%）。,注意1：測(cè)量?jī)x表產(chǎn)生的測(cè)量誤差不但與儀表準(zhǔn)確度等級(jí)有關(guān)，而且還與量程有關(guān)。,容許誤差,容許誤差： 測(cè)量?jī)x器在規(guī)定的條件下，測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)程允許產(chǎn)生的最大誤差,工作誤差：額定工作范圍內(nèi)儀器誤差的極限值。（一般偏大） 固有誤差：所有影響量處于基準(zhǔn)條件下儀器所具有的誤差。 影響誤差：某一影響量處于額定范圍，其它影響量處于基準(zhǔn)條件下儀器所具有的誤差。（如溫度誤差） 穩(wěn)定性誤差：影響量保持不變情況下，規(guī)定時(shí)間內(nèi)儀器輸出的偏差。,容許誤差描述方式(4種）：,容許誤差的表示方法,容許誤差通常用絕對(duì)誤差來(lái)表示 ：,與示值有關(guān)的誤差,與示值無(wú)關(guān)的固定項(xiàng)誤差,例如，某3位數(shù)字電壓表，當(dāng)n為5，在1V量限

9、時(shí)，“n個(gè)字”表示的電壓誤差是5mV，而在10V量限時(shí),“n個(gè)字”表示的電壓誤差是50mV。,一般用于模擬儀表，當(dāng)5 項(xiàng)可忽略,用于數(shù)字儀表，n個(gè)字表示儀表末位數(shù)字代表測(cè)量值的n倍（分辨力的n倍）,某四位半數(shù)字電壓表，量程為2V，工作誤差為= 0.025%UX 1個(gè)字，用該表測(cè)量時(shí)，讀數(shù)分別為0.0012V和1.9888V，試求兩種情況下的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。 解：四位半表 分辨率為0.0001V,【例】,測(cè)量誤差的分類,1 系統(tǒng)誤差(Systematic Error) 2 隨機(jī)誤差( random error ) 3 粗大誤差(Gloss Error),根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)，測(cè)量誤差可分為3類

10、：,系統(tǒng)誤差,在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變，或在測(cè)量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。,定義：,來(lái)源：,在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差，簡(jiǎn)稱系差。,定量定義：,基本誤差:測(cè)量設(shè)備不準(zhǔn)確或準(zhǔn)確度等級(jí)不高。 附加誤差:超過(guò)正常工作范圍帶來(lái)的誤差。 理論誤差（方法誤差）:測(cè)量方法、理論不完善所帶來(lái)的誤差。 人員誤差：試驗(yàn)人員疏忽大意、測(cè)量素質(zhì)不高產(chǎn)生的人員誤 差。,系統(tǒng)誤差特征,系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測(cè)量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測(cè)量就越準(zhǔn)確。 大小、方向恒定不變或按一定規(guī)律變化

11、 可再現(xiàn)，可以預(yù)測(cè) 用理論分析、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證查找原因 可修正,測(cè)量值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。,定義,定量定義：,在相同測(cè)量條件下,多次測(cè)量同一量值時(shí)（等精度測(cè)量），絕對(duì)值大小和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差，又稱為偶然誤差，簡(jiǎn)稱隨差。,來(lái)源：,測(cè)量裝置本身因素；信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等 實(shí)驗(yàn)環(huán)境的偶然性微小變化：溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)，熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震等 人為因素：人員測(cè)量人員感官等 （對(duì)測(cè)量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素）,隨機(jī)誤差,例：對(duì)一不變的電壓在相同情況下，多次測(cè)量得到 1.235V，1.237V，1.

12、234V，1.236V，1.235V，1.237V。 在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。 單次測(cè)量的隨差沒(méi)有規(guī)律，隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見(jiàn)，不可修正; 多次測(cè)量，測(cè)量值和隨機(jī)誤差的總體服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律; 可用概率統(tǒng)計(jì)的方法處理測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)隨機(jī)誤差的總體大小及分布做出估計(jì)，并采取適當(dāng)措施減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。,隨機(jī)誤差特征,隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差特性,系統(tǒng)誤差越小，則測(cè)量值與實(shí)際值符合的程度越高。 隨機(jī)因素使測(cè)量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在某一常數(shù)（平均值）附近。 測(cè)量準(zhǔn)確度高意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。,射擊誤差示意圖,粗大誤差,指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏

13、忽誤差、過(guò)失誤差或簡(jiǎn)稱粗差。,定義：,來(lái)源：,某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。,測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，測(cè)量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯(cuò)讀數(shù)或單位、記錄或計(jì)算錯(cuò)誤等）,測(cè)量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動(dòng)等）。,注意：由于該誤差很大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。,有效數(shù)字,有效數(shù)字基本概念,定義1：考慮了誤差以后有意義的數(shù)字稱為有效數(shù)字。 定義2：由數(shù)字組成的一個(gè)數(shù)，除最末一位數(shù)字是不確切或可疑值外，其它數(shù)字均為確切值，則該數(shù)的所有數(shù)字稱為有效數(shù)字,測(cè)量結(jié)果保留有效位數(shù)的原則：

14、最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。,數(shù)字舍入規(guī)則,計(jì)算和測(cè)量過(guò)程中，需要對(duì)多位的近似數(shù)進(jìn)行取舍，應(yīng)按照下述原則進(jìn)行舍入處理： 大于5進(jìn)一：若舍去部分的數(shù)值大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)加1。 小于5舍去：若舍去部分的數(shù)值小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)減1。 等于5應(yīng)用偶數(shù)法則：若舍去部分的數(shù)值等于保留部分末位的半個(gè)單位，當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變，當(dāng)末位是奇數(shù)時(shí)則末位加1。,數(shù)據(jù)記錄、運(yùn)算的準(zhǔn)確性要和測(cè)量的準(zhǔn)確性相適應(yīng)！,誤差一般只取一位有效數(shù)字（特殊情況下最多取兩位有效數(shù)字），測(cè)量結(jié)果的末位數(shù)應(yīng)與誤差的末位數(shù)對(duì)齊,有效數(shù)字:所有準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)確數(shù)字,數(shù)學(xué)：,有效

15、數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量精度越高,系統(tǒng)誤差的削弱和消除,系統(tǒng)誤差的特征和分類,在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。,1）消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 2）引入修正值進(jìn)行校正(最適合測(cè)量?jī)x表使用者) 3）利用特殊的測(cè)量方法消除,系統(tǒng)誤差的削弱或消除的方法,最理想最基本的方法,1)從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來(lái)源上消除,基本誤差：選擇準(zhǔn)確度等級(jí)高的儀器設(shè)備；所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過(guò)檢定，檢定證書是否在有效期內(nèi)； 附加誤差：使儀器設(shè)備工作在其規(guī)定的工作條件下，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；使用前正確調(diào)零、預(yù)熱以消除儀器設(shè)備的附加誤差； 方法誤

16、差和理論誤差：所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差；選擇合理的測(cè)量方法，設(shè)計(jì)正確的測(cè)量步驟； 人員誤差：提高測(cè)量人員的測(cè)量素質(zhì)，改善測(cè)量條件(選用智能化、數(shù)字化儀器儀表等)。注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等,方法：預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。,修正值誤差=（測(cè)量值真值） 實(shí)際值（A）測(cè)量值（Ax）修正值（C）,2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差,注意：在某些自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)中，預(yù)先將更正值儲(chǔ)存于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存中，這樣可對(duì)測(cè)量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差自動(dòng)進(jìn)行修

17、正。,修正值C 由計(jì)量部門檢定時(shí)給出,修正值的獲取方法,1）儀表的檢定證書給出。 2）通過(guò)理論推導(dǎo)求取。,【例】電流表測(cè)電流,不計(jì)電流表內(nèi)阻：,計(jì)及電流表內(nèi)阻：,則：,修正值：,修正值的獲取方法,3）通過(guò)試驗(yàn)求取。,通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得修正表格、修正曲線、修正公式 - 按規(guī)律校正,對(duì)不斷變化的系統(tǒng)誤差：,對(duì)有規(guī)律的系統(tǒng)誤差：,現(xiàn)測(cè)現(xiàn)修 （如零點(diǎn)誤差、增益誤差等）,（如溫度、濕度、頻率修正等）,注意1： 由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。 注意2：由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對(duì)隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來(lái)處理。,消除

18、系統(tǒng)誤差的幾種主要測(cè)量方法： 替代法 交換法 差值法 對(duì)稱測(cè)量法 正負(fù)誤差補(bǔ)償法 迭代自校法,3）采用特殊的測(cè)量方法,替代法,替代法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差， 操作方法：在測(cè)量條件不變的情況下，用一已知的標(biāo)準(zhǔn)量去替代未知的被測(cè)量，通過(guò)調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而保持替代前后儀器的示值不變，結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量值。,測(cè)量某未知電阻R，要求誤差小于0.1%。 1）首先將它接入一個(gè)電橋中(如圖)，該電橋的誤差為1%。調(diào)整橋臂電阻R1、R2 使電橋平衡； 2）取下 Rx ，換上標(biāo)準(zhǔn)電阻箱 R5 (電阻箱為0.1級(jí))。 3）保持R1 、R2 不動(dòng)，調(diào)節(jié) R5 的大小，使電橋再次平衡，此時(shí)被測(cè)電阻 Rx=R5 。 只

19、要測(cè)量靈敏度足夠，根據(jù)這種方法測(cè)量Rx 的準(zhǔn)確度與標(biāo)準(zhǔn)電阻箱的準(zhǔn)確度相當(dāng)，而與檢流計(jì)G和電阻R1 、R2的恒值誤差無(wú)關(guān)，因此可以滿足測(cè)量要求,【例】電橋法測(cè)電阻,通過(guò)交換被測(cè)量和標(biāo)準(zhǔn)量的位置，從前后兩次換位測(cè)量結(jié)果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。 特別適用于平衡對(duì)稱結(jié)構(gòu)的測(cè)量裝置中，并通過(guò)交換法可檢查其對(duì)稱性是否良好。,第一次平衡 第二次平衡 上兩式相乘、開方得：,交換法,例：在電橋中采用交換法測(cè)電阻,交換法,隨機(jī)誤差的處理,測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)表達(dá),根據(jù)誤差理論，任何一次測(cè)量中，一般都含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，即 A=+=Ax-A0 在一般工程測(cè)量中，系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，即，相對(duì)來(lái)講隨機(jī)誤差可以忽

20、略不計(jì)，此時(shí)只需處理和估計(jì)系統(tǒng)誤差即可。 在精密測(cè)量中，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或小得可以忽略不計(jì)時(shí)，即0。只需處理隨機(jī)誤差。 無(wú)系差等精度測(cè)量：不考慮系統(tǒng)誤差，各種測(cè)量因素都相同的測(cè)量。,隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)特性,隨機(jī)誤差就個(gè)體而言并無(wú)規(guī)律可循，但其總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，總的來(lái)說(shuō)隨機(jī)誤差具有下列特性：,有界性 (2)單峰性 (3)對(duì)稱性 (4) 抵償性,概率分布密度函數(shù),設(shè)隨機(jī)變量x的值位于-與x之間的概率是x的函數(shù)F(x)：,則稱F(x)為x的概率分布函數(shù)； 稱f(x)為x的概率分布密度函數(shù) ；,為x在x1,x2之間的概率。,式中 和2隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差和方差,隨機(jī)誤差的正態(tài)分布,實(shí)踐和理論證明，大量的隨機(jī)誤

21、差服從正態(tài)分布規(guī)律，其概率密度函數(shù)為：,測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。 中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。,為什么測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？,隨機(jī)誤差的非正態(tài)分布,常見(jiàn)的非正態(tài)分布： 均勻分布 t分布 三角分布 反正弦分布,特點(diǎn)：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在 該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零。 均勻分布的概率密度函數(shù)()為： 式中 a隨機(jī)誤差的極限值。,儀器度盤刻度差引起的誤差； 儀器最小分辨率限制引起的誤差 數(shù)字儀表的量化(

22、1)誤差 數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差 對(duì)于一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知其分布規(guī)律的誤差，在處理時(shí)經(jīng)常按均勻分布的誤差對(duì)待。,均勻分布,特點(diǎn)：主要用來(lái)處理小樣本(即測(cè)量數(shù)據(jù)比較少)的測(cè)量數(shù)據(jù)。(正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)) t分布的概率密度函數(shù)(t)為 ：,和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似； 特點(diǎn)是分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無(wú)關(guān)，但與自由度(n-1)有關(guān)； 當(dāng)n較大(n30)時(shí)，t分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當(dāng)n時(shí)，兩者就完全相同了。,t分布（學(xué)生分布）,（自由度）,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,測(cè)量次數(shù),隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望:,測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望,被測(cè)量的真值,無(wú)數(shù)多次測(cè)量的平均值,隨機(jī)誤差補(bǔ)償特性:,由,

23、得,被測(cè)量量值,數(shù)學(xué)期望: 體現(xiàn)隨機(jī)變量的分布中心，反映其平均特性。,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。 設(shè)隨機(jī)變量A的數(shù)學(xué)期望為M(A)，則A的方差定義為：,物理意義： 數(shù)據(jù)信號(hào)偏離期望值的程度，也是信號(hào)能量的一種表示。,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：,標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。,標(biāo)準(zhǔn)偏差意義,標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散。,正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù),正態(tài)分布誤差的數(shù)學(xué)期望為： 方差為：

24、,數(shù)學(xué)期望：,標(biāo)準(zhǔn)差：,方差：,平均分布的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù),有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值,求被測(cè)量的數(shù)字特征，理論上需無(wú)窮多次測(cè)量，但在實(shí) 際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，怎么辦？,（1）有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值？,（2）有限次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值？,對(duì)某量進(jìn)行一系列無(wú)系差等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測(cè)量值不完全相同，該測(cè)量列的最佳估計(jì)值是測(cè)量列的算術(shù)平均值，并作為最后的測(cè)量結(jié)果。,算術(shù)平均值原理,設(shè)A1，A2,A3為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為:,算術(shù)平均值特性,若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即滿足無(wú)偏性、有效性、一

25、致性和充分性。,(1) 無(wú)偏性：估計(jì)值 圍繞被估計(jì)參數(shù)波動(dòng)，且M( )M（A）。,(2) 有效性： 的波動(dòng)幅度比單次測(cè)量小。,(3)一致性： 隨著測(cè)量次數(shù)增加， 趨近于被測(cè)量參數(shù)M(A) 。,(4)充分性： 包含了樣本的全部信息 。,有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值,標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差）：,貝塞爾公式,注意：因?yàn)?，所以n個(gè)剩余誤差不是獨(dú)立的， 而只有n-1個(gè)獨(dú)立變量。,一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按定義求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為剩余誤差（殘余誤差）：,方差的估計(jì)值：,有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值,方差的實(shí)用算法：,方

26、差的遞推算法：,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值,算術(shù)平均值的方差：,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：,測(cè)量列的方差估計(jì),測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì),平均值的方差估計(jì),在多次測(cè)量的測(cè)量列中，是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，算術(shù)平均值也是隨機(jī)變量，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。,結(jié)論2：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小 倍。 增加測(cè)量次數(shù)n，可減少標(biāo)準(zhǔn)偏差，提高測(cè)量準(zhǔn)確度。,證明,*,故：,結(jié)論1：用平均值估計(jì)被測(cè)量比測(cè)量列任何一個(gè)數(shù)據(jù)估計(jì)可信。,n10時(shí)測(cè)量準(zhǔn)確度增長(zhǎng)緩慢：增加測(cè)量次數(shù)花費(fèi)較大，效果較??；此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的誤差。 實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)一般

27、取1020次。若要進(jìn)一步提高測(cè)量準(zhǔn)確度，需從選擇更高準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器、更合理的測(cè)量方法、更好的控制測(cè)量條件等方面入手。,測(cè)量精度與測(cè)量次數(shù)的關(guān)系,【例】 用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測(cè)量值的序列（見(jiàn)下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值。,解：計(jì)算平均值,計(jì)算各測(cè)量值殘差：,標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)：,平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)：,置信度的概念表征測(cè)量數(shù)據(jù)或結(jié)果可信賴程度的一個(gè)參數(shù)。 置信區(qū)間 M(A)-K(A),M(A)+K(A)K置信因子 置信概率 在置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率P。 置信概率 可信度 置信度的物理意義： 1 測(cè)量數(shù)據(jù)處于數(shù)學(xué)期望（真值）附近一個(gè)置信區(qū)間內(nèi)的概率。 2 測(cè)量數(shù)據(jù)在一

28、個(gè)置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)數(shù)學(xué)期望（真值）的概率。,測(cè)量結(jié)果的置信度,置信區(qū)間下的置信概率可由置信區(qū)間對(duì)概率密度函數(shù)定積分求得：,置信限： k置信系數(shù)（或置信因子）,置信概率是圖中陰影部分面積,測(cè)量結(jié)果的置信度,分布和標(biāo)準(zhǔn)差一定，置信區(qū)間越寬，置信概率就越大。 置信區(qū)間一定，標(biāo)準(zhǔn)差越小，置信概率越大。 置信概率一定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差越小，置信區(qū)間越窄。,置信度問(wèn)題,（1）給定置信區(qū)間求置信概率。 （2）給定置信概率求計(jì)算置信區(qū)間 關(guān)鍵是確定置信因子,分布和置信因子確定后，則置信概率為：,正態(tài)分布的置信概率,正態(tài)分布：,置信概率P：,令：,正態(tài)分布的置信概率,當(dāng)k=3時(shí),區(qū)間越寬， 置信概率越大,注意：誤差的絕對(duì)

29、值大于3 的概率只有0.0027，可以認(rèn)為不可能發(fā)生的小概率隨機(jī)事件。因此常把標(biāo)準(zhǔn)差的3倍作為正態(tài)分布下測(cè)量數(shù)據(jù)的極限誤差。,置信因子K和置信概率P/(K)數(shù)值關(guān)系表格見(jiàn)表21。,對(duì)某電阻作無(wú)系差等精度獨(dú)立測(cè)量，已知測(cè)量數(shù)據(jù)R服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差是0.2 ，試求被測(cè)電阻落在Ri-0.5, Ri+0.5的概率。,解：已知 0.2 , K =0.5 ,所以：,由表21得：,【例1】,對(duì)某電壓作無(wú)系差等精度獨(dú)立測(cè)量，測(cè)量值服從正態(tài)分布，已知被測(cè)量真值U079.83V,且標(biāo)準(zhǔn)差(U)=0.02V ，試按99的可能性估計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)可能出現(xiàn)的范圍。,解：已知P99 0.99, （U）=0.02V，U079

30、.83V,所求置信區(qū)間：,由表21查得置信概率為0.99時(shí)對(duì)應(yīng)的置信因子，為：,【例2】,由此可得測(cè)量值Ui的出現(xiàn)范圍： 79.78Ui79.88,t分布的置信概率,t分布：,代入置信概率定義公式：,t分布與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)足夠大時(shí)，t分布趨于正態(tài)分布。 給定置信概率和測(cè)量次數(shù)n，查表22得置信因子Kt。,t分布的置信區(qū)間,【例】對(duì)某電容作8次無(wú)系差等精度獨(dú)立測(cè)量，測(cè)量值如下（單位uf），試求被測(cè)電容的估計(jì)值及其置信區(qū)間（P0.99 ）。,Ci（75.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.08）,解：根據(jù)平均值原理，被測(cè)電容的估計(jì)值：,測(cè)量列方差估

31、計(jì)值：,測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值：,平均值標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值：,當(dāng)P0.99, k=7時(shí)，由表22查得Kt3.5,于是可得被測(cè)電容置信區(qū)間為：,所以被測(cè)電容真值C0以0.99的概率處于75.01至75.09之間。,（2）均勻分布的置信概率,均勻分布：,代入置信概率定義公式：,標(biāo)準(zhǔn)差：,均勻分布的測(cè)量誤差不可能超過(guò)a，a為極限誤差。 通常取 ，此時(shí)誤差的置信概率為100。,（3）均勻分布的置信因子,時(shí),結(jié)論：,， P1,粗大誤差的剔除,粗大誤差的剔除,粗大誤差產(chǎn)生原因: 測(cè)量人員的主觀原因： 操作失誤或錯(cuò)誤記錄； 客觀外界條件的原因： 測(cè)量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測(cè)量?jī)x器偶然失效等。 粗大誤差出現(xiàn)

32、的概率很小，處理方法是列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的測(cè)量值剔除。,粗大誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)判別準(zhǔn)則,統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過(guò)置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。 在正態(tài)分布等精度測(cè)量中，隨機(jī)誤差大于3的概率僅為0.0027%，屬小概率事件。,拉依達(dá)（萊特）檢驗(yàn)法 ：設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)中，測(cè)量值A(chǔ)k的隨機(jī)誤差為k，當(dāng)：,測(cè)量值為粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。,粗大誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)判別準(zhǔn)則,在實(shí)際應(yīng)用中使用剩余誤差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值：,注意：當(dāng)測(cè)量次數(shù)你n10時(shí)，該準(zhǔn)則失效。,【證明】,因?yàn)?所以,即,當(dāng)n10時(shí)，,粗大誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)判別準(zhǔn)則,格拉

33、布斯(grubbs)檢驗(yàn)法：當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)Ak的剩余誤差k滿足：,式中，g0（n,）值由重復(fù)測(cè)量次數(shù)n及顯著性水平 （超差概率，1P）確定，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法推導(dǎo)。,則測(cè)量值為粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。,應(yīng)注意的問(wèn)題,所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無(wú)統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測(cè)量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。 若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過(guò)檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。 在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說(shuō)明系統(tǒng)工作不正常。,無(wú)系統(tǒng)誤差（準(zhǔn)確度較高的儀表）等精度多次測(cè)量得Ai , i=1,2,3n （1）求平均值： （2）求標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)

34、值： （3）剔除粗大誤差A(yù)K，若有重復(fù)（1）、（2）； （4）計(jì)算其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： （5）給出置信概率下結(jié)果： 單位,粗大誤差剔除小結(jié),用準(zhǔn)確度較高的測(cè)量?jī)x器對(duì)某電阻進(jìn)行16次等精度測(cè)量，測(cè)量結(jié)果：34.86, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 35.65, 35.70, 35.24, 35.36，求被測(cè)量電阻的測(cè)量結(jié)果。 解：a. 無(wú)系統(tǒng)誤差； b. c. d.第13次，36.65-35.30=1.35 該值應(yīng)剔除。 e.重新計(jì)算15次測(cè)量的 f.,【例】,測(cè)量誤差的

35、估計(jì)和測(cè)量結(jié)果的表示,直接測(cè)量的誤差估計(jì),已知儀表量程和準(zhǔn)確度等級(jí)，單次測(cè)量結(jié)果誤差表示為：,已知儀表的基本誤差或容許誤差（數(shù)字表） ，單次測(cè)量結(jié)果誤差表示為：,儀表基本誤差或容許誤差,儀表準(zhǔn)確度等級(jí),直接測(cè)量的誤差估計(jì),若進(jìn)行了多次測(cè)量，則還應(yīng)考慮隨機(jī)誤差的影響。若多次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值為，則測(cè)量誤差為：,置信因子,已知儀表量程和準(zhǔn)確度等級(jí),已知儀表的基本誤差或容許誤差,問(wèn)題：用間接法測(cè)量電阻消耗的功率時(shí)，需測(cè)量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來(lái)推算功率的誤差呢？ 誤差合成的一般公式： 設(shè)測(cè)量結(jié)果y是n個(gè)獨(dú)立變量A1,A2，An的函數(shù)，即,y=f(

36、A1,A2,An),與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測(cè)量值,y 為間接測(cè)量值,間接測(cè)量結(jié)果的誤差估計(jì)（誤差合成）,間接測(cè)量的誤差估計(jì),絕對(duì)誤差傳遞系數(shù),獨(dú)立變量Ai的絕對(duì)誤差,Ai產(chǎn)生的絕對(duì)誤差分量,絕對(duì)誤差合成一般公式,相對(duì)誤差傳遞系數(shù),獨(dú)立變量Ai的相對(duì)誤差,Ai產(chǎn)生的相對(duì)誤差分量,相對(duì)誤差合成一般公式,* 重點(diǎn)是要確定誤差傳遞系數(shù)C和C。,函數(shù)總誤差等于各誤差分量的代數(shù)和,確定誤差傳遞系數(shù)是誤差合成的關(guān)鍵。傳遞系數(shù)確定的常用方法有微分確定法、計(jì)算機(jī)仿真確定法和實(shí)驗(yàn)確定法。 (1)微分確定法 條件：適合于確切知道函數(shù)的關(guān)系式，已知y=f(A1,A2,An) 。 結(jié)論： （2）計(jì)算機(jī)仿真確定法（

37、函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，不易求導(dǎo)的場(chǎng)合,特別是多變量隱函數(shù)) （3）實(shí)驗(yàn)確定法（不必知道函數(shù)關(guān)系，但需要控制誤差量，難度較大）,誤差傳遞系數(shù)的確定,誤差傳遞系數(shù)典型公式,【例】,測(cè)量結(jié)果的表示,在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差 各次測(cè)得值的絕對(duì)誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和.,測(cè)量結(jié)果的表示,如含有已定系統(tǒng)誤差y ,測(cè)量結(jié)果可表示為：,若y0，即不含有可修正系統(tǒng)誤差y ,測(cè)量結(jié)果可表示為：,注意：m包括未定的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。,測(cè)量結(jié)果的表示,測(cè)量結(jié)果應(yīng)指明 置信因子K的大小 或測(cè)量結(jié)果的概率分布及置信概率P,(P0.68),(P0.99),K=1,K=2,K=3,測(cè)量結(jié)果置信概率P0.95時(shí)不必注明，其它概率均在結(jié)果以括號(hào)給出。,常見(jiàn)形式有：,測(cè)量單位只出現(xiàn)一次，且列于最后。,有效值位數(shù)與誤差大小相適應(yīng)。,注意：,測(cè)量結(jié)果的處理步驟,1對(duì)測(cè)量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格； 2求出算術(shù)平均值 3列出殘差 ，并驗(yàn)證 4按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值 5按拉伊達(dá)準(zhǔn)則或格拉布斯準(zhǔn)則檢查是否有粗大誤差； 6如有粗大誤差，