2022年甘肅省白銀市會(huì)寧一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件2．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸不可能為（）A． B． C． D．3．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．964．設(shè)函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（）A． B． C． D．5．已知雙曲線(xiàn)：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A．2 B． C． D．36．已知函數(shù)，若，則的最小值為（）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．7．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于M點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線(xiàn)C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A． B． C． D．9．已知，為兩條不同直線(xiàn)，，，為三個(gè)不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號(hào)為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③10．展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．11 C．-19 D．5111．已知為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則()A．1 B． C． D．12．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，點(diǎn)在邊所在直線(xiàn)上，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且在第一象限，若，則直線(xiàn)的斜率是_________．14．若存在直線(xiàn)l與函數(shù)及的圖象都相切，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________．15．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.16．設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，求的值.18．（12分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)，規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿(mǎn)400元的顧客，均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).（1）求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率；（2）記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，是正方形，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線(xiàn)段的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).21．（12分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設(shè)，此時(shí)復(fù)數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及單調(diào)性即可確定的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)可得，，即，，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由對(duì)稱(chēng)軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.5、A【解析】

由已知，圓心M到漸近線(xiàn)的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線(xiàn)方程為，因?yàn)閳A被雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心M到漸近線(xiàn)的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的問(wèn)題，涉及到直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.6、A【解析】

首先的單調(diào)性，由此判斷出，由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡(jiǎn)得，所以，構(gòu)造函數(shù)，.構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.而，所以在區(qū)間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.7、A【解析】

設(shè)，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，M所在直線(xiàn)為，不妨設(shè)，∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.8、D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線(xiàn)長(zhǎng)為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線(xiàn)長(zhǎng)為,因?yàn)閳A柱的表面積公式為，所以,解得,因?yàn)閳A柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握?qǐng)A柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)直線(xiàn)與平面，平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯(cuò)誤；若，，則可能平行，故③錯(cuò)誤；由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，④正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷直線(xiàn)與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.10、B【解析】

展開(kāi)式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，有3種情況：（1）5個(gè)括號(hào)都出1，即；（2）兩個(gè)括號(hào)出，兩個(gè)括號(hào)出，一個(gè)括號(hào)出1，即；（3）一個(gè)括號(hào)出，一個(gè)括號(hào)出，三個(gè)括號(hào)出1，即；所以展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過(guò)程，考查定理的本質(zhì)，即展開(kāi)式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.11、D【解析】，則故選D.12、A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線(xiàn)的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，設(shè)，解得，所在直線(xiàn)的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線(xiàn)上，故設(shè)當(dāng)時(shí)故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，利用拋物線(xiàn)的定義把拋物線(xiàn)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用平面幾何知識(shí)計(jì)算出直線(xiàn)的斜率．【詳解】設(shè)是準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線(xiàn)斜率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用拋物線(xiàn)的定義，把拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，用平面幾何方法求解．14、【解析】

設(shè)直線(xiàn)l與函數(shù)及的圖象分別相切于，，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，因?yàn)榇嬖谥本€(xiàn)l與函數(shù)及的圖象都相切，所以，所以，令，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為．15、80.【解析】

只需找到展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到展開(kāi)式中的特殊項(xiàng)系數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.16、1【解析】

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】作出實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足表示的平面區(qū)域，如圖所示：由可得，則表示直線(xiàn)在軸上的截距，截距越小，越大.由可得，此時(shí)最大為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線(xiàn)的參數(shù)方程是過(guò)定點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)形式，因此直接把參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的方程，利用參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（1），則，∴，所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，即（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，易知.設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為將與聯(lián)立得【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線(xiàn)參數(shù)方程，解題時(shí)可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離問(wèn)題．18、（1）；（2）20.【解析】

（1）1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止，說(shuō)明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．分別求出取各個(gè)值時(shí)的概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止，說(shuō)明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率．（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．,∴隨機(jī)變量X的分布列為：X01020301P數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得，由此證得平面.（2）判斷出三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫危云矫?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，所以.又，所以平面.（2）解：顯然，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，三棱錐的體積也最大.不妨設(shè)，記中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線(xiàn)面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）最小值為，此時(shí)【解析】

（1）消去曲線(xiàn)參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線(xiàn)的普通方程.利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化公式，求得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法，求得的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）消去得，曲線(xiàn)的普通方程是：；把，代入得，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是（2）設(shè)，的最小值就是點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離.設(shè)在時(shí)，，是最小值，此時(shí)，所以，所求最小值為，此時(shí)【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查利用圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)求最值，屬于中檔題.