2025屆山西省大同一中高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆山西省大同一中高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)相鄰面面積分別為，這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．5．某象棋俱樂部有隊(duì)員5人，其中女隊(duì)員2人，現(xiàn)隨機(jī)選派2人參加一個(gè)象棋比賽，則選出的2人中恰有1人是女隊(duì)員的概率為（）A． B． C． D．6．在正方體中，、分別是棱和的中點(diǎn)，為上底面的中心，則直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．已知非零向量、，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件8．設(shè)，是平面內(nèi)一組基底，若，，，則以下不正確的是（）A． B． C． D．9．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．高一某班男生36人，女生24人，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，若抽出的女生為12人，則的值為（）A．18 B．20 C．30 D．36二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．有下列四個(gè)說法：①已知向量，，若與的夾角為鈍角，則；②先將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的后，再將所得函數(shù)圖象整體向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象；③函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.其中正確的是__________.（填上所有正確說法的序號(hào)）12．已知求______________.13．_________________．14．如圖1，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，半徑為1米的圓周上運(yùn)動(dòng)，從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，用時(shí)4分鐘逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一圈后停止.設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)（米）關(guān)于時(shí)間（分）的函數(shù)為，則該函數(shù)的圖像大致為________.（請(qǐng)注明關(guān)鍵點(diǎn)）15．在等差數(shù)列中，若，則__________．16．函數(shù)的最大值為，最小值為，則的最小正周期為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，．（1）若，求證：數(shù)列為等比數(shù)列．（2）若，求．18．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，以及取到最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的集合；（2）在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．己知函數(shù)．（1）若，，求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值．20．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？21．已知時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用，化簡(jiǎn)，即可得到，令，所以，,令，所以原式為數(shù)列的前1000項(xiàng)和，求和即可得到答案?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，解得，由于為正項(xiàng)數(shù)列，故，由，所以，由，可得①，所以②②—①可得，化簡(jiǎn)可得由于，所以，即，故為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，令，所以，令所以原式故答案選A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系，以及利用裂項(xiàng)求數(shù)列的和，解題的關(guān)鍵是利用，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，有一定的綜合性。2、C【解析】

由題意首先求得m的值，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則恒成立，即恒成立，整理可得：，據(jù)此可得：，即恒成立，據(jù)此可得：.函數(shù)的解析式為：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故奇函數(shù)是定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，不等式即，據(jù)此有：，由函數(shù)的單調(diào)性可得：，求解不等式可得的取值范圍是.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】對(duì)于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．3、D【解析】

用正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)變形可得．【詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．4、A【解析】

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，根據(jù)題意有，再根據(jù)球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線求解.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，根據(jù)題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的組合體問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

直接利用概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.6、A【解析】

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【詳解】解：先畫出圖形，將平移到，為直線與所成的角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

根據(jù)，求出向量的關(guān)系，再利用必要條件和充分條件的定義，即可判定，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以，則，即，可得，所以，若，則，所以，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的充要條件．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)奇偶性的定義及其判定，以及充分條件和必要條件的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

由已知及平面向量基本定理可得：，問題得解.【詳解】因?yàn)?，是平面?nèi)一組基底，且，由平面向量基本定理可得：，所以，所以D不正確故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，還考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于較易題．9、A【解析】

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，根據(jù)斜率關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解，其中解答中熟記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)分層抽樣等比例抽樣的特點(diǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，可得，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的等比例抽取的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②③④【解析】

根據(jù)向量，函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)，對(duì)各個(gè)命題逐個(gè)判斷即可．【詳解】對(duì)①，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，即，解得且，所以①錯(cuò)誤；對(duì)②，先將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的后，得函數(shù)的圖象，再將圖象整體向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，②正確；對(duì)③，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即解的個(gè)數(shù)，亦即函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，③正確；對(duì)④，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及向量數(shù)量積，三角函數(shù)圖像變換，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷等知識(shí)的應(yīng)用，屬于中檔題．12、23【解析】

直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由題得.故答案為23【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、3【解析】

分式上下為的二次多項(xiàng)式,故上下同除以進(jìn)行分析.【詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了分式型多項(xiàng)式的極限問題，注意：當(dāng)時(shí),14、【解析】

根據(jù)題意先得出，再畫圖．【詳解】解：設(shè)，，，，，則當(dāng)時(shí)，處于最低點(diǎn)，則，，可畫圖為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角模型的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意建立函數(shù)模型，屬中檔題．15、【解析】

利用等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式，將轉(zhuǎn)化為，從而求出的值，再由廣義通項(xiàng)公式求得．【詳解】在等差數(shù)列中，由，，得，即．．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查基本量法求解數(shù)列問題，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

先換元，令，所以，利用一次函數(shù)的單調(diào)性，列出等式，求出，然后利用正切型函數(shù)的周期公式求出即可．【詳解】令，所以，由于，所以在上單調(diào)遞減，即有，解得，，故最小正周期為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正切型函數(shù)周期公式的應(yīng)用，以及換元法的應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】

（1）證明即可；（2）化簡(jiǎn)，討論，和即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以．又所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列．（2）因?yàn)?，所以，所以：?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明，極限的運(yùn)算，注意分類討論的應(yīng)用，是中檔題18、，，;（2）【解析】

（1）．此時(shí)，（2），，即，．，，且，，即的取值范圍是．19、（1）；（1），1.【解析】

（1）由題得，再求出x的值；（1）先化簡(jiǎn)得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值及此時(shí)x的值.【詳解】（1）令，則，因?yàn)椋裕?），當(dāng)，即時(shí)，的最大值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查解簡(jiǎn)單的三角方程，考查三角函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)，；(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【解析】

(1)利用等比數(shù)列求和公式可求出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入與n年內(nèi)的總投入；（2）設(shè)至少經(jīng)過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，可得－＞0，結(jié)合（1）可得，解得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)