2025屆山西省太原市第四十八中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2025屆山西省太原市第四十八中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．等比數(shù)列{an}中，a3=12A．3×10-5C．128 D．3×2-52．某學(xué)校高一、高二年級共有1800人，現(xiàn)按照分層抽樣的方法，抽取90人作為樣本進行某項調(diào)查.若樣本中高一年級學(xué)生有42人，則該校高一年級學(xué)生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人3．設(shè)，則有()A． B． C． D．4．已知數(shù)列{an}滿足a1=2A．2 B．-3 C．-125．已知向量，滿足，，且在方向上的投影是－1，則實數(shù)（）A．1 B．－1 C．2 D．－26．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量D．人的身高與體重7．如圖，這是某校高一年級一名學(xué)生七次月考數(shù)學(xué)成績（滿分100分）的莖葉圖去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．87,9.6 B．85,9.6 C．87,5,6 D．85,5.68．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進行體檢，則應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為（）A．3 B．5 C．2 D．19．函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．10．若，，且，則與的夾角是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項和為，則其通項公式__________．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______.13．已知數(shù)列滿足，若對任意都有，則實數(shù)的取值范圍是_________.14．對于下列數(shù)排成的數(shù)陣：它的第10行所有數(shù)的和為________15．方程的解集是______.16．已知向量，，且，點在圓上，則等于．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，，求.18．已知圓（1）求圓關(guān)于直線對稱的圓的標準方程；（2）過點的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程；（3）當取何值時，直線與圓相交的弦長最短，并求出最短弦長．19．已知向量,的夾角為,且,.(1)求；(2)求.20．已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)列中，，其前項和為，求的取值范圍.21．已知，.（1）計算及、；（2）設(shè)，，，若，試求此時和滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到公比，進而得到通項.【詳解】設(shè)公比為q，則12q+12q=30，∴∴q=2或q=12，∴a10即3×29或故選D.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于簡單題.2、C【解析】

先由樣本容量和總體容量確定抽樣比，用高一年級抽取的人數(shù)除以抽樣比即可求出結(jié)果.【詳解】由題意需要從1800人中抽取90人，所以抽樣比為，又樣本中高一年級學(xué)生有42人，所以該校高一年級學(xué)生共有人.故選C【點睛】本題主要考查分層抽樣，先確定抽樣比，即可確定每層的個體數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解析】

根據(jù)題意，利用輔助角公式得，對于，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式對進行處理，即可得到；對于，利用二倍角公式對變形處理可以得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由題意得因為正弦函數(shù)在上為增函數(shù)，所以,選A.【點睛】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)值大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)公式；二倍角公式、輔助角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等．屬于中等題．4、D【解析】

先通過列舉找到數(shù)列的周期，再利用數(shù)列的周期求值.【詳解】由題得a2所以數(shù)列的周期為4，所以a2020故選：D【點睛】本題主要考查遞推數(shù)列和數(shù)列的周期，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由投影的定義計算．【詳解】由題意，解得．故選：A．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵．6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的概念來進行判斷?！驹斀狻繉τ贏選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關(guān)系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關(guān)系；對于C選項，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函數(shù)關(guān)系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。故選：D?！军c睛】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學(xué)生對這些概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。7、D【解析】

去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為82，84，84，86，89，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【詳解】平均數(shù)，方差，選D.【點睛】本題考查所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】

先由題意確定抽樣比，進而可求出結(jié)果.【詳解】由題意該單位共有職工人，用分層抽樣的方法從中抽取10人進行體檢，抽樣比為，所以應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為.故選A【點睛】本題主要考查分層抽樣，會由題意求抽樣比即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

根據(jù)最小正周期為求解與解析式,再求解的對稱軸判斷即可.【詳解】因為最小正周期為,故.故,對稱軸方程為,解得.當時,.故選：B【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)最小正周期的應(yīng)用以及對稱軸的計算.屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)相互垂直的向量數(shù)量積為零，求出與的夾角.【詳解】由題有，即，故，因為，所以.故選：B.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算，向量夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】分析：先根據(jù)和項與通項關(guān)系得當時，，再檢驗，時，不滿足上述式子，所以結(jié)果用分段函數(shù)表示.詳解：∵已知數(shù)列的前項和，∴當時，，當時，，經(jīng)檢驗，時，不滿足上述式子，故數(shù)列的通項公式．點睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.12、【解析】

根據(jù)左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1求解即可.【詳解】因為左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點睛】項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.13、【解析】

由題若對于任意的都有，可得解出即可得出．【詳解】∵，若對任意都有，

∴．

∴，

解得．

故答案為．【點睛】本題考查了數(shù)列與函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解析】

由題意得第10行的第一個數(shù)的絕對值為，第10行的最后一個數(shù)的絕對值為，再根據(jù)奇數(shù)為負數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，得到第10行的各個數(shù)，由此能求出第10行所有數(shù)的和．【詳解】第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)，則第9行9個數(shù)，故第10行的第一個數(shù)的絕對值為，第10行的最后一個數(shù)的絕對值為，且奇數(shù)為負數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，故第10行所有數(shù)的和為，故答案為：．【點睛】本題以數(shù)陣為背景，觀察數(shù)列中項的特點，求數(shù)列通項和前項和，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運用．15、或【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】，如圖所示：則故答案為：或【點睛】本題考查由三角函數(shù)值求解對應(yīng)自變量取值范圍，結(jié)合圖形求解能夠避免錯解，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】試題分析：因為且在圓上，所以，解得，所以．考點：向量運算．【思路點晴】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、11【解析】

根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角數(shù)的基本關(guān)系式，分別求得，和，再利用兩角和的正切的公式，進行化簡、運算，即可求解.【詳解】由，由，可得又由，所以，由，得，可得，所以，即.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)的化簡、求值問題，其中解答中熟記兩角和與差的正切公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.18、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓心與關(guān)于直線對稱，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長公式，求得，根據(jù)斜率分類討論，求得直線的斜率，即可求解；（3）由直線，得直線過定點,根據(jù)時，弦長最短，即可求解．【詳解】（1）由題意，圓的圓心，半徑為，設(shè)，因為圓心與關(guān)于直線對稱，所以，解得，則，半徑，所以圓標準方程為：（2）設(shè)點到直線距離為，圓的弦長公式，得，解得，①當斜率不存在時，直線方程為，滿足題意②當斜率存在時，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線的方程為，綜上，直線方程為或（3）由直線，可化為，可得直線過定點,當時，弦長最短，又由，可得，此時最短弦長為．【點睛】本題主要考查了圓的對稱圓的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的弦長公式，合理、準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）1；（2）【解析】

（1）利用向量數(shù)量積的定義求解；（2）先求模長的平方，再進行開方可得.【詳解】（1）?=||||cos60°=2×1×=1；（2）|+|2=（+）2=+2?+=4+2×1+1=7.所以|+|=.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及向量模長的求解，一般地，求解向量模長時，先把模長平方，化為數(shù)量積運算進行求解.20、(1)．(2)【解析】

（1）根據(jù)已知的等式，再寫一個關(guān)于等式，利用求通項公式；（2）利用裂項相消法求解，再根據(jù)單調(diào)性以及求解的取值范圍.【詳解】解：（1）當時，，，兩式相減