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2025屆江蘇省鎮(zhèn)江市高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在上是單調(diào)遞減的是A. B. C. D.2.某班20名學(xué)生的期末考試成績用如圖莖葉圖表示,執(zhí)行如圖程序框圖,若輸入的()分別為這20名學(xué)生的考試成績,則輸出的結(jié)果為()A.11 B.10 C.9 D.83.如圖,B是AC上一點(diǎn),分別以AB,BC,AC為直徑作半圓,從B作BD⊥AC,與半圓相交于D,AC=6,BD=22A.29 B.13 C.44.圓與圓的位置關(guān)系是()A.外離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切5.某班現(xiàn)有60名學(xué)生,隨機(jī)編號為0,1,2,…,59.依編號順序平均分成10組,組號依次為1,2,3,…,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本,若在第1組中隨機(jī)抽取的號碼為5,則在第7組中隨機(jī)抽取的號碼為()A.41 B.42 C.43 D.446.角的終邊經(jīng)過點(diǎn),那么的值為()A. B. C. D.7.小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,A.815 B.18 C.18.的值()A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不小于09.經(jīng)過點(diǎn),和直線相切,且圓心在直線上的圓方程為()A. B.C. D.10.已知,且,則()A. B.7 C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,且是第一象限角,則的值為__________.12.已知數(shù)列滿足:,,則數(shù)列的前項(xiàng)的和_______.13.設(shè)a>0,角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(﹣3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于.14.把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小的原則寫成如下數(shù)表:第行有個(gè)數(shù),第行的第個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為,則________.15.?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和為,則________.16.382與1337的最大公約數(shù)是__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.研究正弦函數(shù)的性質(zhì)(1)寫出其單調(diào)增區(qū)間的表達(dá)式(2)利用五點(diǎn)法,畫出的大致圖像(3)用反證法證明的最小正周期是18.如圖1,在中,,,,分別是,,中點(diǎn),,.現(xiàn)將沿折起,如圖2所示,使二面角為,是的中點(diǎn).(1)求證:面面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.19.如圖,四面體中,,,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)已知是邊長為2正三角形.(Ⅰ)若為棱的中點(diǎn),求的大?。唬á颍┤魹榫€段上的點(diǎn),且,求四面體的體積的最大值.20.設(shè)函數(shù).(1)求;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.21.已知不共線的向量,,,.(1)求與的夾角的余弦值;(2)求.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】
可先確定奇偶性,再確定單調(diào)性.【詳解】由題意A、B、C三個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù),D不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù),排除D,A中在上不單調(diào),C中在是遞增,只有B中函數(shù)在上遞減.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,解題時(shí)可分別確定函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì).2、A【解析】
首先判斷程序框圖的功能,然后從莖葉圖數(shù)出相應(yīng)人數(shù),從而得到答案.【詳解】由算法流程圖可知,其統(tǒng)計(jì)的是成績大于等于120的人數(shù),所以由莖葉圖知:成績大于等于120的人數(shù)為11,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查算法框圖的輸出結(jié)果,意在考查學(xué)生的分析能力及計(jì)算能力,難度不大.3、C【解析】
求得陰影部分的面積和最大的半圓的面積,再根據(jù)面積型幾何概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】連接AD,CD,可知△ACD是直角三角形,又BD⊥AC,所以BDAB=x(0<x<6),則有8=x(6-x),得x=2,所以AB=2,?BC=4,由此可得圖中陰影部分的面積等于π×3【點(diǎn)睛】本題考查了與面積有關(guān)的幾何概型的概率的求法,當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用面積表示,用面積比計(jì)算概率.涉及了初中學(xué)習(xí)的射影定理,也可通過證明相似,求解各線段的長.4、D【解析】
根據(jù)圓的方程求得兩圓的圓心和半徑,根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可確定位置關(guān)系.【詳解】由圓的方程可知圓圓心為,半徑;圓圓心為,半徑圓心距為:兩圓的位置關(guān)系為:外切本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判定,關(guān)鍵是能夠通過圓的方程確定兩圓的圓心和半徑,從而根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系確定位置關(guān)系.5、A【解析】
由系統(tǒng)抽樣.先確定分組間隔,然后編號成等差數(shù)列來求所抽取號碼.【詳解】由題知分組間隔為以,又第1組中抽取的號碼為5,所以第7組中抽取的號碼為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣,掌握系統(tǒng)抽樣的概念與方法是解題基礎(chǔ).6、C【解析】,故選C。7、C【解析】試題分析:開機(jī)密碼的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種可能,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是115【考點(diǎn)】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點(diǎn):①對于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說,試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.只有在同時(shí)滿足①、②的條件下,運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式P(A)=m8、A【解析】
確定各個(gè)角的范圍,由三角函數(shù)定義可確定正負(fù).【詳解】∵,∴,,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查各象限角三角函數(shù)的符號,掌握三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵.9、B【解析】
設(shè)出圓心坐標(biāo),由圓心到切線的距離和它到點(diǎn)的距離都是半徑可求解.【詳解】由題意設(shè)圓心為,則,解得,即圓心為,半徑為.圓方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓的位置關(guān)系.求出圓心坐標(biāo)與半徑是求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法.10、D【解析】
由平方關(guān)系求得,再由商數(shù)關(guān)系求得,最后由兩角和的正切公式可計(jì)算.【詳解】,,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式,考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、;【解析】
利用兩角和的公式把題設(shè)展開后求得的值,進(jìn)而利用的范圍判斷的范圍,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值,最后利用誘導(dǎo)公式和對原式進(jìn)行化簡,把的值和題設(shè)條件代入求解即可.【詳解】,,即,,兩邊同時(shí)平方得到:,解得,是第一象限角,,得,,即為第一或第四象限,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的余弦公式、誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,需熟記三角函數(shù)中的公式,屬于中檔題.12、【解析】
通過令求出數(shù)列的前幾項(xiàng),猜測是以為周期的周期數(shù)列,且每個(gè)周期內(nèi)都是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.然后根據(jù)遞推式給予證明,最后由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算.【詳解】當(dāng)時(shí),,,,,,,當(dāng)時(shí),,,,,,,當(dāng)時(shí),,,,,,,猜測,是以為周期的周期數(shù)列,且每個(gè)周期內(nèi)都是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.設(shè)中,即,∴,由于都是正整數(shù),所以,所以數(shù)列中第項(xiàng)開始大于3,前項(xiàng)是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.,所以是以為周期的周期數(shù)列,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和,考查數(shù)列的周期性.解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的周期性.方法采取的是從特殊到一般,猜想與證明.13、﹣【解析】試題分析:利用任意角三角函數(shù)定義求解.解:∵a>0,角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(﹣3a,4a),∴x=﹣3a,y=4a,r==5a,∴sinα+2cosα==﹣.故答案為﹣.考點(diǎn):任意角的三角函數(shù)的定義.14、【解析】
第行有個(gè)數(shù)知每行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,要求,先要求出,就必須求出前行一共出現(xiàn)了多少個(gè)數(shù),根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求,而由可知,每一行數(shù)的分母成等差數(shù)列,可求出,令,即可求出.【詳解】由第行有個(gè)數(shù),可知每一行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,首項(xiàng)是,公比是,所以,前行共有個(gè)數(shù),所以,第行第一個(gè)數(shù)為,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意數(shù)陣的應(yīng)用,同時(shí)要找出數(shù)陣的規(guī)律,考查推理能力,屬于中等題.15、1【解析】
利用裂項(xiàng)求和法求出,取極限進(jìn)而即可求解.【詳解】,故,所以,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查了裂項(xiàng)求和法以及求極限值,屬于基礎(chǔ)題.16、191【解析】
利用輾轉(zhuǎn)相除法,求382與1337的最大公約數(shù).【詳解】因?yàn)?,,所?82與1337的最大公約數(shù)為191,故填:.【點(diǎn)睛】本題考查利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù),屬于容易題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析(3)見解析【解析】
(1)利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解;(2)利用五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象即可;(3)先證明,再假設(shè)存在,使得,令,可得,令,可得,得到矛盾,即可得證.【詳解】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,所以單調(diào)遞增區(qū)間的表達(dá)式為(2)列表:描點(diǎn),連線,可得函數(shù)圖象如下:(3)證明:,假設(shè)存在,使得,即,令,則,即;再令,可得,得到矛盾,綜上可知的最小正周期是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性,五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象,考查了反證法的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)證明面得到面面.(2)先判斷為直線與平面所成的角,再計(jì)算其正弦值.【詳解】(1)證明:法一:由已知得:且,,∴面.∵,∴面.∵面,∴,又∵,∴,∵,,∴面.面,∴.又∵且是中點(diǎn),∴,∴,∴面.∵面,∴面面.法二:同法一得面.又∵,面,面,∴面.同理面,,面,面.∴面面.∴面,面,∴.又∵且是中點(diǎn),∴,∴,∴面.∵面,∴面面.(2)由(1)知面,∴為直線在平面上的射影.∴為直線與平面所成的角,∵且,∴二面角的平面角是.∵,∴,∴.又∵面,∴.在中,.在中,.∴在中,.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.19、(1)證明見解析;(2)(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,通過證明,證得平面,由此證得.(2)(I)通過證明,證得平面,由此證得,利用“直斜邊的中線等于斜邊的一半”這個(gè)定理及其逆定理,證得.(II)利用求得四面體的體積的表達(dá)式,結(jié)合基本不等式求得四面體的體積的最大值.【詳解】(1)取的中點(diǎn),所以,所以.又因?yàn)?,所以,又,所以面,所?(2)(Ⅰ)由題意得,在正三角形中,,又因?yàn)?,且,所以面,所?∵為棱的中點(diǎn),∴,在中,為的中點(diǎn),.∴(Ⅱ),四面體的體積,又因?yàn)椋?,所以等號?dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,此時(shí).故所求的四面體的體積的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查線面垂直的證明,考查直角三角形的判定,考查三棱錐體積的最大值的求法,考查基本不等式的運(yùn)用,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【
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