寧夏銀川市寧夏大學(xué)附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

寧夏銀川市寧夏大學(xué)附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為A． B．π C．2π D．4π2．圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)的值是（）A．4 B．6 C．16 D．363．定義運(yùn)算為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的值，則式子的值是A．－1 B．C． D．4．下列敘述中，不能稱為算法的是（）A．植樹(shù)需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟B．按順序進(jìn)行下列運(yùn)算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100C．從濟(jì)南到北京旅游，先坐火車(chē)，再坐飛機(jī)抵達(dá)D．3x＞x+15．若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．不存在6．設(shè)向量＝（2，4）與向量＝（x，6）共線，則實(shí)數(shù)x＝（）A．2 B．3 C．4 D．67．已知向量，，若，則銳角α為()A．45° B．60° C．75° D．30°8．直線過(guò)且在軸與軸上的截距相等，則的方程為（）A． B．C．和 D．9．已知、是不重合的平面，a、b、c是兩兩互不重合的直線，則下列命題：①；②；③.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．010．已知，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列四個(gè)命題：①在中，若，則；②已知點(diǎn)，則函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)，使得；③函數(shù)是周期函數(shù)，且周期與有關(guān)，與無(wú)關(guān)；④設(shè)方程的解是，方程的解是，則.其中真命題的序號(hào)是______.（把你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上）12．在等比數(shù)列中，，公比，若，則的值為．13．已知與的夾角為求=_____．14．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______.15．已知是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則數(shù)列的最小項(xiàng)為第___項(xiàng)16．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）若，求直線的方程．（2）判斷是否為定值．若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．已知（且）是R上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)解，求m的取值集合；（3）設(shè)，記，是否存在正整數(shù)n，使不得式對(duì)一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，說(shuō)明理由.19．設(shè)有關(guān)于的一元二次方程．（Ⅰ）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．（Ⅱ）若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．20．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)N為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊AB上.（1）當(dāng)點(diǎn)M為AB中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面.21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（），且滿足，（）．（1）求證是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.【詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.2、C【解析】

兩圓外切時(shí)，有三條公切線．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，∴，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系．兩圓的公切線條數(shù)：兩圓外離時(shí)，有4條公切線，兩圓外切時(shí)，有3條公切線，兩圓相交時(shí)，有2條公切線，兩圓內(nèi)切時(shí)，有1條公切線，兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)無(wú)公切線．3、D【解析】

由已知的程序框圖可知，本程序的功能是:計(jì)算并輸出分段函數(shù)的值，由此計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】由已知的程序框圖可知:本程序的功能是:計(jì)算并輸出分段函數(shù)的值，可得，因?yàn)?，所以，，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查條件語(yǔ)句以及算法的應(yīng)用，屬于中檔題.算法是新課標(biāo)高考的一大熱點(diǎn)，其中算法的交匯性問(wèn)題已成為高考的一大亮，這類(lèi)問(wèn)題常常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等交匯自然，很好地考查考生的信息處理能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，解決算法的交匯性問(wèn)題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識(shí)，(2）根據(jù)給出問(wèn)題與程序框圖處理問(wèn)題即可.4、D【解析】

利用算法的定義來(lái)分析判斷各選項(xiàng)的正確與否，即可求解，得到答案.【詳解】由算法的定義可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步驟：可得A、B、C為算法，D沒(méi)有明確的規(guī)則和步驟，所以不是算法，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了算法的概念，其中解答的關(guān)鍵是理解算法的概念，由概念作出正確的判斷，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由三角函數(shù)的定義可得：，得解.【詳解】解：在單位圓中，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】由向量平行的性質(zhì)，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，選B考點(diǎn)：本題考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量共線的性質(zhì)，考查基本的運(yùn)算能力.7、D【解析】

根據(jù)向量的平行的坐標(biāo)表示，列出等式，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，又為銳角，因此，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示．8、B【解析】

對(duì)直線是否過(guò)原點(diǎn)分類(lèi)討論，若直線過(guò)原點(diǎn)滿足題意，求出方程；若直線不過(guò)原點(diǎn)，在軸與軸上的截距相等，且不為0，設(shè)直線方程為將點(diǎn)代入，即可求解.【詳解】若直線過(guò)原點(diǎn)方程為，在軸與軸上的截距均為0，滿足題意；若直線過(guò)原點(diǎn)，依題意設(shè)方程為，代入方程無(wú)解.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線在上的截距關(guān)系，要注意過(guò)原點(diǎn)的直線在軸上的截距是軸上的截距的任意倍，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由面面垂直的判定定理，可得①正確；利用列舉所有可能，即可判斷②③錯(cuò)誤．【詳解】①由面面垂直的判定定理，∵，a?β，∴α⊥β，故正確；

②，則平行，相交，異面都有可能，故不正確；

③，則與α平行，相交都有可能，故不正確．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面關(guān)系的判斷，考查的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.判斷線面關(guān)系問(wèn)題首先要熟練掌握有關(guān)定理、推論，其次可以利用特殊位置排除錯(cuò)誤結(jié)論.10、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì),一一分析選擇正誤即可.【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì),當(dāng)時(shí),對(duì)于A,若,則,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若,則,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),總有成立,故D正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③【解析】

①利用三角形的內(nèi)角和定理以及正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；②根據(jù)余弦函數(shù)的有界性可進(jìn)行判斷；③利用周期函數(shù)的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷；④根據(jù)互為反函數(shù)圖象的對(duì)稱性進(jìn)行判斷.【詳解】①在中，若，則，則，由于正弦函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，故命題①正確；②已知點(diǎn)，則函數(shù)，所以該函數(shù)圖象上不存在一點(diǎn)，使得，故命題②錯(cuò)誤；③函數(shù)的是周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的周期為.當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的周期為.所以，函數(shù)的周期與有關(guān)，與無(wú)關(guān)，命題③正確；④設(shè)方程的解是，方程的解是，由，可得，由，可得，則可視為函數(shù)與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可視為函數(shù)與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點(diǎn)，由于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則直線與函數(shù)和函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，命題④錯(cuò)誤.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期、正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、互為反函數(shù)圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用以及余弦函數(shù)有界性的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.12、1【解析】

因?yàn)?，，故答案?．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．13、【解析】

由題意可得：，結(jié)合向量的運(yùn)算法則和向量模的計(jì)算公式可得的值.【詳解】由題意可得：，則：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的求解，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】

利用三角函數(shù)的定義可計(jì)算出，然后利用誘導(dǎo)公式可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可【詳解】由題當(dāng)時(shí)最小故答案為8【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題16、【解析】

根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)式求出前項(xiàng)和，再極限的思想即可解決此題。【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，則答案．故為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了給出數(shù)列的通項(xiàng)式求前項(xiàng)和以及極限。求數(shù)列的前常用的方法有錯(cuò)位相減、分組求和、列項(xiàng)相消等。本題主要利用了分組求和的方法。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或．（2）是，定值．【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)出，再聯(lián)立直線方程和圓的方程，得到，，然后由列式，再將的值代入求解，即可求出；（2）先根據(jù)特殊情況，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求出，再說(shuō)明當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，是否成立，即可判斷．【詳解】（1）由已知得不與軸垂直，不妨設(shè)，，．聯(lián)立消去得，則有，又，，，解得或．所以，直線的方程為或．（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)（斜率不存在），，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，又由（1），，且，所以．綜上，為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理的應(yīng)用，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及和圓有關(guān)的定值問(wèn)題的解法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）m的取值集合或}（3）存在，【解析】

（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，解方程即可，注意驗(yàn)證所得的結(jié)果；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫去f的符號(hào)即可；（3）可得，即可得：即可.【詳解】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得：，解方程可得：.此時(shí)，滿足，即為奇函數(shù).的解析式為：；（2）函數(shù)的解析式為：，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)解.即：在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)解.（i）當(dāng)時(shí)，，符合題意.（ii）當(dāng)時(shí),只需且時(shí)，，此時(shí)，符合題意綜上，m的取值集合或}（3）函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以存在正整數(shù)n，使不得式對(duì)一切均成立.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合型指數(shù)函數(shù)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于難題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）本題是一個(gè)古典概型，可知基本事件共12個(gè)，方程當(dāng)時(shí)有實(shí)根的充要條件為，滿足條件的事件中包含9個(gè)基本事件，由古典概型公式得到事件發(fā)生的概率．（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋畼?gòu)成事件的區(qū)域?yàn)?，，．根?jù)幾何概型公式得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)事件為“方程有實(shí)數(shù)根”．當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根的充要條件為．（Ⅰ）基本事件共12個(gè)：．其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值．事件中包含9個(gè)基本事件，事件發(fā)生的概率為．（Ⅱ）實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋畼?gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋蟮母怕蕿椤军c(diǎn)睛】本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）推導(dǎo)出，由此能證明平面．（2）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而，推導(dǎo)出△，從而，由此能證明平面．【詳解】（1）在直三棱柱中，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，使得平面．證明如下：在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，平面，平面，，，，，△，，，，，平面．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面