《24.1.2 垂直于線的直徑》課中練

試卷第=page44頁，總=sectionpages44頁24.1.2垂直于線的直徑（課中練）知識點1垂徑定理例1．在⊙O中，弦AB＝16，點M為AB的中點，OM＝6，則⊙O的半徑為（）A．6 B．8 C．10 D．100變式2．如圖，將半徑為4cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）A．2 B．4 C．4 D．23．如圖，⊙O的半徑為5，AB為弦，OC⊥AB，交AB于點D，交⊙O于點C，CD=2，求弦AB的長．知識點2垂徑定理的推理例4．學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)后，小銘與小熹就討論起來，小銘說：“被直徑平分的弦也與直徑垂直”，小熹說：“用反例就能說明這是假命題”．下列判斷正確的是（）A．兩人說的都對B．小銘說的對，小燕說的反例不存在C．兩人說的都不對D．小銘說的不對，小熹說的反例存在變式5．下列命題中不正確的是（）A．平分弦的半徑垂直于弦；B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心；C．垂直與弦的直徑垂直平分這條弦對應(yīng)的?。籇．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦．6．下列說法正確的是（）A．長度相等的兩條弧是等弧 B．直徑是同一個圓中最長的弦C．平分弦的直徑垂直于弦 D．過三點能確定一個圓知識點3垂徑定理得實際應(yīng)用例7．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：如圖所示，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE為1寸，AB為10寸，求直徑CD的長.依題意，CD長為（）A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸變式8．石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯x為，橋拱半徑為，求水面寬的長度．9．上體育課時，老師在運動場上教同學(xué)們學(xué)習(xí)擲鉛球，訓(xùn)練時，李力同學(xué)擲出的鉛球在場地上砸出了一個坑口直徑約為10cm，深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為（）A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm課堂練習(xí)10．下列說法中，錯誤的有（）①長度相等的兩條孤是等弧；②對角線相等且平分的四邊形一定有外接圓；③平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑；④旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大??；⑤三點確定一個圓．A．1 B．2 C．3 D．411．如圖1是棒球，圖2是其示意圖．是直徑上一點，點和點關(guān)于弦對稱，若，則⊙O的半徑長為_______．

12．如圖是一種機械傳動裝置示意圖，⊙O的半徑為50cm，點A固定在⊙O上，連桿AP定長，點P隨著⊙O的轉(zhuǎn)動在射線OP上運動．在一個停止?fàn)顟B(tài)時，AP與⊙O交于點B，測得AB＝60cm，PB＝70cm，此時OP長為__________________．13．如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．14．如圖，為圓直徑，為圓上一點，連接，．（1）尺規(guī)作圖：作的中點；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若，，在（1）的條件下，求的長．15．如圖，是的直徑，弦于，連接，過點作于，若，，（1）求的半徑；（2）求到弦的距離．本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第=page1010頁，總=sectionpages1111頁參考答案1．C【分析】連接OA，如圖，根據(jù)垂徑定理的推論得到OM⊥AB，然后利用勾股定理計算OA的長．【詳解】解：連接OA，OM，如圖，∵點M為AB的中點，∴OM⊥AB，AM＝BM＝AB＝×16＝8，在Rt△OAM中，OA＝＝＝10，即⊙O的半徑為10．故選：C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，以及勾股定理，根據(jù)垂徑定理求得AM的長，證明△OAM是直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】作⊙O的半徑OC⊥AB于D，連接OA、AC，如圖，利用折疊的性質(zhì)得AB垂直平分OC，則AC＝AO，于是可判斷△AOC為等邊三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出AD，然后利用垂徑定理得到AD＝BD，從而得到AB的長．【詳解】解：作⊙O的半徑OC⊥AB于D，連接OA、AC，如圖，∵圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，∴AB垂直平分OC，∴AC＝AO，而OA＝OC，∴OA＝AC＝OC，∴△AOC為等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴OD＝OA＝2，∴AD＝OD＝2，∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝2AD＝4（cm）．故選：C．【點睛】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線（經(jīng)過兩個圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．也考查了折疊的性質(zhì)．3．8【分析】求出OD，根據(jù)垂徑定理得出AB=2AD，根據(jù)勾股定理求出AD，即可得出答案．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，∴OA=OC=5，∵CD=2，∴OD=5﹣2=3，∵OC⊥AB，∴AB=2AD，∠ODA=90°，在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，∴AB=2AD=8．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是求出弦心距，利用勾股定理求解．4．D【分析】根據(jù)垂徑定理可直接進行排除選項．【詳解】解：由垂徑定理的推論“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧”可知：小銘忽略了垂徑定理中的“弦不能是直徑”這一條件，因為一個圓中的任意兩條直徑都互相平分，但不垂直，所以小銘說法錯誤，小熹所說的反例即為兩條直徑的情況下；故選D．【點睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進行判斷．【詳解】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心，所以B選項為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧，所以C選項為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，所以D選項為真命題．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．6．B【分析】根據(jù)等弧的定義，弦的定義分別判斷即可；【詳解】在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧是等弧，長度相等的弧不一定是等弧，故A錯誤；直徑是同一個圓中最長的弦，故B正確；此弦不能是直徑，故C錯誤；三點不能共線，故D錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了垂徑定理及推論，準確理解相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點E為AB的中點，由AB=10可求出AE的長，再設(shè)出圓的半徑OA為R，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于R的方程，求出方程的解即可得到R的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【詳解】連結(jié)AO，∵CD為直徑，CD⊥AB，∴．設(shè)⊙O半徑為R，則OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴R2＝52+(R-1)2，∴R＝13，∴CD＝2R＝26(寸)．故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．8m【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理可知AD=BD=AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的長，進而可得出AB的長，此題得解．【詳解】解：連接OA，如圖所示．∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB，在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=CD-OC=3m，∠ADO=90°，∴AD==4m，∴AB=2AD=8m．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的長度是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，小坑的直徑就是圓中的弦長，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，即可求出鉛球的直徑．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出圖形如圖所示，由題意知，，，是半徑，且，，設(shè)鉛球的半徑為，則，在中，根據(jù)勾股定理，，即，解得：，所以鉛球的直徑為：cm，故選：C．【點睛】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為，弦長為，這條弦的弦心距為，則成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．10．C【分析】根據(jù)等弧、圓的定義，垂徑定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、確定圓的條件逐一分析即可．【詳解】①能夠重合的兩條孤是等弧，故錯誤；②對角線相等且平分的四邊形，即四邊形對角線的交點到四個頂點的距離相等，所以一定有外接圓，故正確；③平分一條直徑的弦（不是直徑）必垂直于這條直徑，故錯誤；④旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，故正確；⑤不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤．故選C．【點睛】本題考查了等弧的定義、圓的定義、垂徑定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、確定圓的條件，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．11．【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先利用軸對稱性質(zhì)及垂徑定理求出，，即可利用勾股定理求出OA．【詳解】解：如圖，連接OA，∵點和點關(guān)于弦對稱，∴，．∵是⊙O的直徑，，∴，．設(shè)⊙O的半徑為r，即，則．在Rt△AOF中，由勾股定理得：．即，解得．∴⊙O的半徑長為．故答案為：．【點睛】此題考查了垂徑定理的運用，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實際問題，做此類題時要多觀察，多分析，才能發(fā)現(xiàn)線段之間的聯(lián)系．12．20cm【分析】作OD⊥AB于D，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：作OD⊥AB于D，連接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），∴OP20（cm）；故答案為：20cm．．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線根據(jù)直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（1）20米；（2）4米【分析】（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可．【詳解】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）在圓弧型中設(shè)點F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，則OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF′中，HF′＝，∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），∴在離橋的一端4米處，圓弧型橋墩高4米．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，結(jié)合勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．14．（1）答案見解析；（2）【分析】（1）作BC的垂直平分線，與圓O的交點即為的中點；（2）在中根據(jù)勾股定理分別求出OE的長度，再在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）如圖，作BC的垂直平分線，