微專題10 玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球經(jīng)典問題（十四大題型）（原卷版）

微專題10玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球經(jīng)典問題【題型歸納目錄】題型一：正方體、長方體模型題型二：正四面體模型題型三：對棱相等模型題型四：直棱柱模型題型五：直棱錐模型題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型題型八：共斜邊拼接模型題型九：垂面模型題型十：最值模型題型十一：二面角模型題型十二：圓錐圓柱圓臺模型題型十三：錐體內(nèi)切球題型十四：棱切球【方法技巧與總結(jié)】技巧總結(jié)一：正方體、長方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3、補成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4技巧總結(jié)二：正四面體外接球如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．技巧總結(jié)三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．技巧總結(jié)四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出技巧總結(jié)五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．技巧總結(jié)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．技巧總結(jié)七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．技巧總結(jié)八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．技巧總結(jié)九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2技巧總結(jié)十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等技巧總結(jié)十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．技巧總結(jié)十二：圓錐圓柱圓臺模型1、球內(nèi)接圓錐如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當(dāng)時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內(nèi)接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．技巧總結(jié)十三：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即技巧總結(jié)十四：棱切球方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形【典型例題】題型一：正方體、長方體模型【典例1-1】（2024·天津市第一中學(xué)濱海學(xué)校高一階段練習(xí)）正方體外接球的體積是，那么外接球的直徑為___________，正方體的表面積為___________．【典例1-2】（2024·遼寧·東港市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在長方體中，；點分別為中點；那么長方體外接球表面積為__________；三棱錐的外接球的體積為__________．【變式1-1】（2024·湖南·高一階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在塹堵中，，，AB＝8，則鱉臑外接球的表面積為___，陽馬體積的最大值為___．題型二：正四面體模型【典例2-1】（江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）一個正四面體的四個頂點都在一個表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為_____．【典例2-2】（2024·天津南開·高二學(xué)業(yè)考試）表面積為的正四面體外接球的體積為__________．【變式2-1】（2024·遼寧鞍山·二模）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為______．題型三：對棱相等模型【典例3-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【典例3-2】（2024?永安市校級期中）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【變式3-1】（2024?五華區(qū)校級期中）如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內(nèi)實米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個點，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為A． B． C． D．題型四：直棱柱模型【典例4-1】（2024·遼寧·昌圖縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·廣西桂林·高二期末）直三棱柱的各個頂點都在同一個球面上，若則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（2024·河北·張北縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型五：直棱錐模型【典例5-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，，，則四棱錐的外接球O的表面積是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π【典例5-2】（2024·河南·濮陽一高高一期中）已知三棱錐中，底面，則此幾何體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2024·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高一期中）據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型【典例6-1】（2024·江蘇南通·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（

）A．16π B． C．8π D．【典例6-2】（2024·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上，且，若三棱錐體積為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式6-1】（2024·重慶市實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型【典例7-1】（2024?本溪月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且；則棱錐A． B． C． D．【典例7-2】（2024?云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【變式7-1】（2024?防城港模擬）體積為的三棱錐的所有頂點都在球的球面上，已知是邊長為1的正三角形，為球的直徑，則球的表面積為A． B． C． D．題型八：共斜邊拼接模型【典例8-1】（2024·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【典例8-2】（2024·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．【變式8-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．則三棱錐D-ABC外接球的表面積是（

）．A． B． C． D．題型九：垂面模型【典例9-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐的底面是矩形，側(cè)面平面，，，則該四棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【典例9-2】（2024·山西·祁縣中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知四棱錐的底面為矩形，平面平面，于，，，，，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式9-1】（2024·福建·廈門一中高三階段練習(xí)（理））三棱錐中，，，，，若平面平面ABC，則三棱錐外接球的表面積為________．題型十：最值模型【典例10-1】（2024·貴州遵義·高三開學(xué)考試）已知三棱錐的四個頂點均在體積為的球面上，，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【典例10-2】（2024·全國·三模）已知三棱錐的體積為，其外接球的體積為，若，，則線段SA的長度的最小值為（

）A．8 B． C．6 D．【變式10-1】（2024·遼寧撫順·一模）已知三棱柱的頂點都在球O的表面上，且，若三棱柱的側(cè)面積為，則球O的表面積的最小值是（

）A． B． C． D．題型十一：二面角模型【典例11-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【典例11-2】（2024·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）在三棱錐中，△是邊長為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為________．【變式11-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）四邊形ABDC是菱形，，，沿對角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_____.題型十二：圓錐圓柱圓臺模型【典例12-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，半徑為4的球中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．【典例12-2】（2024·云南昆明·高三開學(xué)考試）“云南十八怪”描述的是由云南獨特的地理位置、民風(fēng)民俗所產(chǎn)生的一些特有的現(xiàn)象或生活方式，是云南多元民族文化的寫照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽當(dāng)鍋蓋”所指的鍋蓋是用秸稈或山茅草編織成的，因其形狀酷似草帽而傳為佳話.一種草帽鍋蓋呈圓錐形，其母線長為6dm，側(cè)面積為，若此圓錐的頂點和底面圓都在同一個球面上，則該球體的表面積等于______.【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．題型十三：錐體內(nèi)切球【典例13-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，，，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為____________．【典例13-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，，以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式13-1】（2024·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）三棱錐中，平面，，且，，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．題型十四：棱切球【典例14-1】（2024·江西·進賢縣第一中學(xué)高二期中）球與棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【典例14-2】（2024·山東·德州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）邊長為2的正四面體內(nèi)有一個球，當(dāng)球與正四面體的棱均相切時，球的體積為_____．【變式14-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是_______．【過關(guān)測試】1．（2024·高一·廣東·期末）把一個球放在一個圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上