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四川省瀘州市瀘縣第二中學(xué)高三下4月聯(lián)考新高考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為,則()A.1 B.2 C. D.32.若復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.3.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.4.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)5.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.6.在滿足,的實(shí)數(shù)對(duì)中,使得成立的正整數(shù)的最大值為()A.5 B.6 C.7 D.97.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.8.已知四棱錐中,平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.點(diǎn)在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.10.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué),物理,化學(xué),生物四科競(jìng)賽,其中甲不能參加生物競(jìng)賽,則不同的參賽方案種數(shù)為A.48 B.72 C.90 D.9611.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題中錯(cuò)誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則12.若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)全集,,,則______.14.已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______.15.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,若,,則__________.16.已知,分別是橢圓:()的左、右焦點(diǎn),過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函數(shù)f(x)的最大值m;(2)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=m,求證:18.(12分)已知圓M:及定點(diǎn),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B在上,點(diǎn)G在上,且滿足,,點(diǎn)G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),求(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中點(diǎn).證明:;設(shè),點(diǎn)M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對(duì)所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.21.(12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.22.(10分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€與圓相交所得弦長(zhǎng)為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
先化簡(jiǎn)得再求得解.【詳解】所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3、D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對(duì)稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。5、C【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由題可知:,且可得,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性,結(jié)合圖像得出,即得出,從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)?,則,即整理得,令,設(shè),則,令,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?,,由題可知:時(shí),則,所以,所以,當(dāng)無限接近時(shí),滿足條件,所以,所以要使得故當(dāng)時(shí),可有,故,即,所以:最大值為5.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值,以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.7、A【解析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對(duì)稱軸方程為,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對(duì)稱軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點(diǎn),.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
確定點(diǎn)為外心,代入化簡(jiǎn)得到,,再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知,點(diǎn)為外心,則,,又,所以①因?yàn)椋诼?lián)立方程①②可得,,,因?yàn)椋?,即.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【解析】因甲不參加生物競(jìng)賽,則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí),共有?=72種選擇方案;②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí),共有=24種選擇方案.綜上所述,所有參賽方案有72+24=96種故答案為:96點(diǎn)睛:本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體,考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項(xiàng)A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項(xiàng)B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項(xiàng)C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項(xiàng)D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.12、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號(hào)零點(diǎn),令,則,令,則問題即在上有零點(diǎn),由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點(diǎn)問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出集合,,然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
令可得各項(xiàng)系數(shù)和為,得出,根據(jù)第一個(gè)因式展開式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開式含一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開式中含項(xiàng),可得解.【詳解】令,則得,解得,所以展開式中含項(xiàng)為:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開式的系數(shù)和,二項(xiàng)展開式特定項(xiàng),賦值法,屬于中檔題.15、【解析】
先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查兩角和的正弦公式,考查三角形的內(nèi)角和定理,屬于中檔題.16、【解析】
設(shè),則,,由知,,,作,垂足為C,則C為的中點(diǎn),在和中分別求出,進(jìn)而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè),則,,由橢圓定義知,,因?yàn)?所以,,作,垂足為C,則C為的中點(diǎn),在中,因?yàn)?所以,在中,由余弦定理可得,,即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】
(1)利用絕對(duì)值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式證得不等式成立;方法二,利用“的代換”的方法,結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】(1)由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即,所以.法2:由得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線,從而為定值,根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,即可求出曲線C的方程;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求范圍.【詳解】(1)為的中點(diǎn),且是線段的中垂線,,又,∴點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)橢圓方程為(),則,,,所以曲線C的方程為.(2)設(shè)直線l:(),由消去y,可得.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以,.①又由可得;同理可得.由原點(diǎn)O到直線的距離為和,可得.②將①代入②得,當(dāng)時(shí),,綜上,面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題,軌跡通過已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡,直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可,屬于一般性題目.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由平面平面的性質(zhì)定理得平面,.在中,由勾股定理得,平面,即可得;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為,得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而求出二面角的余弦值.【詳解】(1)平面平面,平面平面=,,所以.由面面垂直的性質(zhì)定理得平面,,在中,,,由正弦定理可得:,,即,平面,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則,,得,,而,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,取平面的法向量,則,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用,屬于中檔題.20、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),,當(dāng)時(shí),f′(x)<2,當(dāng)時(shí),f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因?yàn)閤≥2,故,(ⅰ)當(dāng)a≥1時(shí),1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時(shí),2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時(shí),g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時(shí),1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時(shí),,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因?yàn)?,所以,故.法二?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí),令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),不等式成立,即,則n=k+1時(shí),,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對(duì)任何n∈N*都成立.故.考點(diǎn):1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項(xiàng)公式;4、數(shù)列的前項(xiàng)和;5、不等式的證明.21、(1).(2).【解析】
(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),計(jì)算夾角得到答案.(2)設(shè),0≤λ≤1,計(jì)算P(0,2λ,2﹣2λ),計(jì)算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為矩形,∴以A為原點(diǎn),AB為
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