2025屆陜西省漢中市漢臺區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆陜西省漢中市漢臺區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，，則B為（）A． B．或 C． D．或2．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．不確定3．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天4．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．圖像的對稱中心是B．在定義域內(nèi)是增函數(shù)C．是奇函數(shù)D．圖像的對稱軸是5．三角函數(shù)是刻畫客觀世界周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，單位圓定義法是任意角的三角函數(shù)常用的定義方法，是以角度（數(shù)學(xué)上最常用弧度制）為自變量，任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)為因變量的函數(shù).平面直角坐標(biāo)系中的單位圓指的是平面直角坐標(biāo)系上，以原點(diǎn)為圓心，半徑為單位長度的圓.問題：已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．6．已知，，那么等于（）A． B． C． D．7．為比較甲、乙兩名籃球運(yùn)動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場比賽的得分制成如圖所示的莖葉圖，有以下結(jié)論：①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù)；②甲最近五場比賽得分平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù)；③從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；④從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定．其中所有正確結(jié)論的編號為：（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．過點(diǎn)（1，0）且與直線垂直的直線方程是（）A． B． C． D．9．已知三棱柱的底面為直角三角形，側(cè)棱長為2，體積為1，若此三棱柱的頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球半徑的最小值為（）A．1 B．2 C． D．10．已知扇形的半徑為，面積為，則這個扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C．2 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，已知M是AB邊所在直線上一點(diǎn)，滿足，則________.12．的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為__________.13．函數(shù)f(x)＝coscos的最小正周期為________．14．方程在區(qū)間上的解為___________．15．直線的傾斜角為__________．16．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）若,求的取值范圍.18．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的值域．19．如圖，在三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為的正方形，為線段的中點(diǎn).(1)求證:直線平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值；(3)設(shè)為線段上任意一點(diǎn)，在內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)是否存在點(diǎn)，使，并說明理由.20．已知向量，，函數(shù).（1）若，，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍.21．求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，，且，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)知，得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理：，即，根據(jù)知，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求角度，多解是容易發(fā)生的錯誤.2、C【解析】

通過正弦定理可得可得三角形為等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故的形狀是等腰直角三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力，難度中等.3、A【解析】

設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．．【詳解】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計2.3日蒲、莞長度相等，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】．，由得，，的對稱中心為，，故正確；．在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故錯誤；．為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；．的圖象不是軸對稱圖形，故錯誤．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了整體思想，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬基礎(chǔ)題．5、A【解析】

先求出和的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，所以，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)值的求法，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題,6、B【解析】

首先求出題中，，之間的關(guān)系，然后利用正切的和角公式求解即可.【詳解】由題知，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正切的和角公式，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，方差的概念計算比較可得．【詳解】甲的中位數(shù)為29，乙的中位數(shù)為30，故①不正確；甲的平均數(shù)為29，乙的平均數(shù)為30，故②正確；從比分來看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正確，④不正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，屬基礎(chǔ)題．平均數(shù)即為幾個數(shù)加到一起除以數(shù)據(jù)的個數(shù)得到的結(jié)果.8、D【解析】

設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)求得直線方程.【詳解】依題意設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)得，故所求直線方程為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩條直線垂直的知識，考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

先證明棱柱為直棱柱，再求出棱柱外接球的半徑，利用基本不等式求出其最小值.【詳解】∵三棱柱內(nèi)接于球，∴棱柱各側(cè)面均為平行四邊形且內(nèi)接于圓，所以棱柱的側(cè)棱都垂直底面，所以該三棱柱為直三棱柱.設(shè)底面三角形的兩條直角邊長為，，∵三棱柱的高為2，體積是1，∴，即，將直三棱柱補(bǔ)成一個長方體，則直三棱柱與長方體有同一個外接球，所以球的半徑為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的半徑的計算和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用扇形面積，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于圓心角的弧度數(shù)的方程，即可解得.【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，因?yàn)樯刃嗡趫A的半徑為，且該扇形的面積為，則扇形的面積為，解得：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題在已知扇形面積和半徑的情況下，求扇形圓心角的弧度數(shù)，著重考查了弧度制的定義和扇形面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

由M在AB邊所在直線上，則，又，然后將，都化為，即可解出答案.【詳解】因?yàn)镸在直線AB上，所以可設(shè)，

可得，即，又，則由與不共線，所以，解得.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查向量的減法和向量共線的利用，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【點(diǎn)睛】本題涉及正數(shù)開平方運(yùn)算，易錯點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤．解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計算．13、2【解析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期為T＝＝214、【解析】試題分析：化簡得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考點(diǎn)】二倍角公式及三角函數(shù)求值【名師點(diǎn)睛】已知三角函數(shù)值求角，基本思路是通過化簡，得到角的某種三角函數(shù)值，結(jié)合角的范圍求解.本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計算能力等.15、【解析】試題分析：由直線方程可知斜率考點(diǎn)：直線傾斜角與斜率16、【解析】

聯(lián)立直線的方程和圓的方程，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程，進(jìn)而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得的長.【詳解】由解得，直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以，令，得，所以.故答案為4【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查相互垂直的兩條直線斜率的關(guān)系，考查直線的點(diǎn)斜式方程，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（Ⅰ）由條件利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c關(guān)于A的三角函數(shù)，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出a+c的最值．【詳解】解（Ⅰ）銳角又，，由正弦定理得，∴．

∴的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)；(2)【解析】

（1）利用兩角差的余弦和誘導(dǎo)公式化簡f(x),再求單調(diào)區(qū)間即可；（2）由結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求值域即可【詳解】（1）令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由得，故而．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性及值域問題，熟記公式準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19、(1)見解析(2)（3）存在點(diǎn)，使，詳見解析【解析】

(1)設(shè)與的交點(diǎn)為，證明進(jìn)而證明直線平面.(2)先證明直線與平面所成角的為，再利用長度關(guān)系計算.(3)過點(diǎn)作，證明平面，即，所以存在.【詳解】(1)設(shè)與的交點(diǎn)為，顯然為中點(diǎn)，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，平面，平面，平面.(2)平面，平面,，，平面，平面，平面，點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，直線與平面所成角的為，，，，.(3)過點(diǎn)作，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，平面，平面，，所以存在點(diǎn)，使.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何線面平行，線面夾角，動點(diǎn)問題，將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直是解題的關(guān)鍵.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用數(shù)量積公式結(jié)合二倍角公式，輔助角公式化簡函數(shù)解析式，由，結(jié)合的范圍以及平方關(guān)系得出的值，由結(jié)合兩角差的余弦公式求解即可；（2）由整體法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，則區(qū)間應(yīng)該包含在的一個增區(qū)間內(nèi)，根據(jù)包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出正數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因