安徽省淮北市2024屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

安徽省淮北市2024屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

L已知集合U={1,2,3,4,5},4={1,2},5={1,3,5},則加。8=

A.{2}B,{1,2,4}C.{1,2,3,5)D.{1,3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合結(jié)合的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由集合。={L23,4,5},A={1,2},3={1,3,5）,

可得屯3={2,4},所以4_電5={1,2,4}.

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z=cos」+isin」（i為虛數(shù)單位），則z2=（）

33

A1A/3.-1石.r173.D[+爭(zhēng)

222222

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,然后在進(jìn)行平方運(yùn)算.

【詳解】因?yàn)?=cos&+isin0=—L+3i，

3322

[13、2

所以z2—?—1

2242422

7

故選：A.

3.已知a,beR,下列命題正確的是(

A若a)=1,則a+/??2

B.若貝！

ab

C.若a>b,則ln(a—〃)>0

D.若a>b>0,則an—>b-\—

ba

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可推出A,B,C錯(cuò)誤，D利用反比例函數(shù)單調(diào)性和不等式可加性即可證得.

【詳解】當(dāng)a=—11=—1時(shí)，a+b=-2,所以A錯(cuò).

當(dāng)。<0,。>0時(shí)，a<b,所以B錯(cuò).

當(dāng)a=2力=1時(shí)，ln(a—/?)=0,所以C錯(cuò).

若a>6>0,則工>,〉0,則4+工>人+工成立，所以D正確.

baba

故選：D

xsin%

4.函數(shù)=j-［的大致圖像為()

cosx

【解析】

37c

【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除B,D兩項(xiàng)，再根據(jù)圖象取特殊值》=二，排除A項(xiàng)即得.

4

sinx7T

【詳解】由/(x)=可知,cosxwO,即XH—+E,左eZ,顯然該函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

COSX2

sin(-x)sinx

由〃r)==-/(%)可知，函數(shù)為奇函數(shù)，排除B,D兩項(xiàng),

|cos(-x)||cosx|

,3兀

3兀sin~T

X/(—)=——A=l〉0,排除A項(xiàng)，故C項(xiàng)正確.

4?劃?

cos——

4

故選：c.

5.某次考試一共5道判斷題，有三名考生參加考試，每人均答對(duì)4道題，答錯(cuò)一道題，三人回答具體情況

記錄如下:

題號(hào)12345

考生甲TFFFT

考生乙TTFTT

考試丙FFFTT

則這5道題的正確答案依次為()

A.FFFTT

B.FTFTT

C.TFFTF

D.TFFTT

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)答題情況，對(duì)第1題的答錯(cuò)情況進(jìn)行判斷，可得全部正確答案.

【詳解】每個(gè)考生都均答對(duì)4道題，答錯(cuò)一道題，

第1題，若甲乙答錯(cuò)，則甲乙的后四題答案應(yīng)相同，不成立，故丙答錯(cuò)了第1題；

丙答錯(cuò)了第1題，則丙的后四題全部正確，對(duì)比可知，甲答錯(cuò)了第4題，乙答錯(cuò)了第2題,

則這5道題的正確答案依次為TFFTT.

故選：D

6.若函數(shù)"x)=ta+ln(e￡+l)是偶函數(shù)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)”的值為()

11

A-—2B.一一C.-D.

ee

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，得出—ax+ln(ef+1)=依+ln(e，+l),利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理成

(2a+l)x=0,分析即得.

詳解】依題意，/(—%)=/(%)，即一6+ln(eT+l)=?x+ln(e*+l),

ex+1

整理得：2a%+ln--------=0,即2ax+lne*=0，則有(2a+l)x=。，

ell

因x不恒為0,故必有2〃+1=0,解得，a=—.

2

故選：B.

22

7.已知A為雙曲線E:二—斗=1(。〉0]〉0)的右頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，5,C為雙曲線E上兩點(diǎn)，且

ab

AB+AC=2AO^直線A&AC的斜率分別為4和則雙曲線E的離心率為()

A.73B.好C.—D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由AB+AC=2AO可得：。是的中點(diǎn)，即反C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后設(shè)點(diǎn)3(%”),

9a

TH——

C(-m,-〃)去表達(dá)直線ABAC的斜率，聯(lián)立方程組可解得,?，最后把這點(diǎn)3(四，漢)代入雙曲

8a77

n=——

[7

線方程E,就可以得到一個(gè)關(guān)于離心率的方程，并解得結(jié)果.

【詳解】由AB+AC=2AO可得：。是的中點(diǎn)，即5c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

不妨假設(shè)點(diǎn)B(m,ri),則C(-m,-ri),

由A(a,0)及直線AB,AC的斜率分別為4和g可得:

9a

m-——

m-a~n=4m-4tz7

=I聯(lián)立解得:

-n1\2n=m+a8。

n二——

、一m-a27

所以把點(diǎn)3(——,一)代入雙曲線方程E得：

77

%丫

T),8164/,

b24949(c2-a2)

6432

再由e=(代入得：4咐_］)=&，解得：e2=3，

e>1,.\e=y/3，

故選：A.

8.當(dāng)實(shí)數(shù)/變化時(shí)，函數(shù)/(%)=,+4,%?—4,4］最大值的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先對(duì)內(nèi)函數(shù)丁=必+/對(duì)應(yīng)的方程的根的情況分類討論，得出『20時(shí)，結(jié)果為16,對(duì)于/<0時(shí),

求出兩根，根據(jù)圖象，就內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的位置進(jìn)行分類考慮，利用函數(shù)單調(diào)性分析即得.

【詳解】若_=一4/<0,即tNO時(shí)，f(x)^x2+t,其對(duì)稱軸為x=o,/(x)max=r+16,

此時(shí)，因『20,故g?)=7+16的最小值為16；

圖1

(I)如圖1,當(dāng)C<4時(shí)，即—16口<0時(shí)，/(x)=|x2+r|［—4,—J二］上遞減,

在［-Q,0］上遞增，

在［0,、/匚7］上遞減，在4］上遞增,又K(±4)=|/+16|=/+16,/(0)=|止T,

①當(dāng)—16WM—8時(shí)，/+16WT,故/(￡)1mx=-，而g⑺=一在［—16,—8］上單調(diào)遞

減,則此時(shí)，g?)血n=g(-8)=8；

②當(dāng)一8V/<0時(shí),f+16>T,故/(x)111ax=/+16,而丸⑺=/+16在(-8,0)上單調(diào)

遞增，則此時(shí)，g?)>丸(―8)=8.

圖2

(II)如圖2,當(dāng)J：〉4,即/<—16時(shí)，/(力=,+力在［-4,0］上單調(diào)遞增，在［0,4］上單調(diào)遞減，

則此時(shí)/(%)1mx=/(0)=W=T,而(p3=T在(f,—16)上單調(diào)遞減，則9⑺〉奴—16)=16.

綜上，函數(shù)/(%)=,+/|,%e［-4,4］最大值的最小值為8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主考查絕對(duì)值函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于難題.

解決絕對(duì)值函數(shù)的方法，主要是根據(jù)其內(nèi)部函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合圖象，就參數(shù)分類討論去掉絕對(duì)值，再利用

函數(shù)的單調(diào)性，即可求其最值.

二、多項(xiàng)選擇題:木題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列｛%｝,也｝的前幾項(xiàng)和分別為5“工，若4=2“-l,1=2"+i—2,則()

A.兀=100B,仇0=1024

1191】……1023

C.\------卜的前10項(xiàng)和為一D.〈二卜的前10項(xiàng)和為----

〔44+1J19bn1024

【答案】ABD

【解析】

【分析】本題首先根據(jù)題意判斷出數(shù)列｛%｝、他“｝分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求出等比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)

公式，進(jìn)而分析!也是等比數(shù)列并求出其通項(xiàng)公式，可解決選項(xiàng)A、B、D的問(wèn)題，再依據(jù)裂項(xiàng)法,

1111、

-------=—(z--------)可解決選項(xiàng)C的問(wèn)題.

danan+l

【詳解】q=2〃—1,所以｛%｝是首項(xiàng)4=1,公差d=2的等差數(shù)歹!J,

10x10

■?■S10=10xl+^-^x2=100,故選項(xiàng)A正確.

1z111111111、

C1+C2++。10=5(------+------++--------不,-------)，

乙ci-yci?ci?ci-yody?乙ay?

又q=1,a”=21,

Cj+c2+?+c10=—(1---)=—,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

121022121

又(=2._2,.?.a=,_,_]=2向_2_2〃+2=2"(“>l,“eN*),

又1瓦=4=2i+i—2=2,4=2]=2,.?.2=2"(“eN*),

也｝是首項(xiàng)為4=2,公比q=2的等比數(shù)列，

1O

.../?IO=2=1O24,故選項(xiàng)B正確.

是首項(xiàng)為:，公比為;的等比數(shù)歹！J,

也J-

1111023

—+—+—+，故選項(xiàng)D正確.

偽打b31024

故選：ABD.

10.已知正方體ABC。-AACA的棱長(zhǎng)為2,M,N分別是棱AB,CG的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是

)

A.MN//AQ

B.MN1CDl

C.棱5c的中點(diǎn)在平面內(nèi)

D.四面體腦網(wǎng)。1的體積為1

【答案】BD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線線關(guān)系可判定A、B,利用空間向量研究點(diǎn)面距離結(jié)合

錐體體積公式可判定D,補(bǔ)全平面D、MN截正方體的截面可判定C.

【詳解】

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則"（2,1,0）,N（0,2,1）,A（2,0,0）6（0,2,2）,C（0,2,0）,0（0,0,2）,

所以初V=（—2,1,1）,AQ=（-2,2,2）,0）1=（0,-2,2）,

f-2=-22

由空間向量共線的充要條件知若MN//AG，則有=

[1=24

顯然上述方程無(wú)解，故A錯(cuò)誤；

又初V.CD]=_2x0+lx（-2）+lx2=0,所以B正確；

延長(zhǎng)D]N,DC交于H點(diǎn)，連接Affir交于G點(diǎn)，

由平行線分線段成比例可知G為靠近B點(diǎn)的線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

設(shè)平面AQ"的一個(gè)法向量為〃=（X,y,z）,

易知RA=（2,0,0）,A"=（0,L-2）,AN=（-2,2,-1）,

n-D,A=2x=0

則〈，令y=2=x=0,z=l,即〃=（0,2,l）,

n-A^M=y—2z=0

孔?ANQ

則N到平面ARM的距離為d=I1二二，

|〃|非

而S杷幽=；*2><萬(wàn)萬(wàn)=火，

所以Kv-AA”=§xdxS&D幽=1,故D正確.

故選：BD

11.如圖所示的鐘表中，時(shí)針初始指向“12”，每次擲一枚均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面則時(shí)針按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

150，若出現(xiàn)反面則時(shí)針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150，用X“表示九次后時(shí)針指向的數(shù)字，則（）

（）

A.E（Xj=6B.PX2=12=1

?！福▉V7=7）=冷D.E（X8）＞6

IZO

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，X］的可能取值為5,7,求出相應(yīng)的概率，得到期望；B選項(xiàng)，2次旋轉(zhuǎn)中，1次順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)，1次逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到概率；C選項(xiàng)，設(shè)硬幣正面朝上的次數(shù)為x,列出方程，求出

35

X=3,求出尸（X7=7）=—；D選項(xiàng)，求出Xg的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到數(shù)學(xué)期望，得到答案.

128

【詳解】A選項(xiàng)，X1的可能取值為5,7,

且尸（X]=7）=P（X]=5）=（,故E（X]）=5xg+7xg=6,A正確;

B選項(xiàng)，X2=12,即2次旋轉(zhuǎn)中，1次順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，1次逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),

故P（X2=12）=C；；x；=g,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，X1=7,即順時(shí)針走了210。或逆時(shí)針走了150。,

設(shè)硬幣正面朝上的次數(shù)為X,則反面朝上的次數(shù)為(7-%),

150°（7-x）-150°x=150°,解得％=3,

34

故P"7=7）=G,C正確;

D選項(xiàng)，若硬幣8次均正面朝上，此時(shí)Xg=4,

故p（4=4）=m*

JJ2JO

若硬幣7次正面朝上，1次反面朝上,此時(shí)Xg=6,

故尸(4=6)=嗯

若硬幣6次正面朝上，2次反面朝上,此時(shí)X&=8,

故尸(X8=8)Y(9S系

若硬幣5次正面朝上，3次反面朝上,此時(shí)Xg=10,

故0區(qū)=1°)=程出5出31

若硬幣4次正面朝上，4次反面朝上,止匕時(shí)Xg=12,

若硬幣3次正面朝上，5次反面朝上,此時(shí)Xg=2,

尸(X—)Y/V，

若硬幣2次正面朝上，6次反面朝上,此時(shí)Xg=4,

若硬幣1次正面朝上，7次反面朝上,此時(shí)Xg=6,

P（"6）d1

32

若硬幣8次均反面朝上，此時(shí)*8=8,

1177357711

故￡(X?)=4義一+6x——+8x—+10x——+12x—+2x——+4x——+6x—+8義—

v87256326432128326432256

489

=—>6,D正確.

64

故選：ACD

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量若2a+匕與a+2b共線，則實(shí)數(shù)/

【答案】2

【解析】

【分析】利用平面向量共線坐標(biāo)式列出方程，求解即得.

【詳解】由a=(1,2),Z?=(1/)可得，2a+b=(3,/+4),a+2b=(3,2?+2),

因2a+b與a+2人共線，則有3?+4)=3(2f+2),解得r=2.

故答案為：2.

13.在3x3的方格中，每個(gè)方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個(gè)2x2的方格中的四個(gè)小方格的

顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為

【答案】72

【解析】

【分析】根據(jù)題意，第一個(gè)2x2的方格有A：種涂法，假設(shè)第一個(gè)2x2的方格，涂如圖所示ABCD四種顏

色，分類求得不同的涂色方法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】設(shè)四種顏色分別為A3CD，對(duì)于第一個(gè)2x2的方格，共有川=24種不同的涂法,

假設(shè)第一個(gè)2x2的方格，涂如圖所示ABCD四種顏色,

①若第三列的一個(gè)方格涂A,第三列的第二方格涂C,則第三列的第三方格涂A或8,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緼時(shí)，則第三行的第一、二方格，分別涂A,3；

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緽時(shí)，則第三行的第一、二方格，分別涂5,A；

②若第三列的一個(gè)方格涂C,第三列的第二方格涂A,則第三列的第三方格涂C或8,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢?。時(shí)，則第三行的第一、二方格，分別涂A,3；

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢?時(shí)，則第三行的第一、二方格，分別涂氏A；

所以，共有3類涂法，則共有24x3=72種不同的涂色方法

故答案為：72.

14.在等腰梯形ABCD中，AB//CD,DA±DB,若AB=z則梯形周長(zhǎng)的最大值為______,梯形面積的

最大值為______.

DC

AB

【答案】0.10②.3上

【解析】

【分析】過(guò)。作￡)石工鉆，E為垂足，設(shè)=ZDAB=a,把梯形周長(zhǎng)和面積表示為關(guān)于x的函數(shù)，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求最大值.

DAx.716-%2

【詳解】設(shè)=ZDAB=a,則RtZMB中，costz二-T二二二'SH1。=--------，

AB44

2

V、口-XV16-X2

過(guò)。作E為垂足，則AE=D4cosa=—，1JE=DAsma---------，

44

DC

AEB

—Lx=-—+2x+8=-t^+10,

等腰梯形ABCD周長(zhǎng)為A3+3C+CO+D4=4+x+4-

2)22

所以當(dāng)ZM=2時(shí)，梯形周長(zhǎng)的最大值為10.

2

a_xxy/16-xI-------------

梯形面積_(A3+CD>DE[一4_,06—x?)-3必

S~22—16金

=牛=3萬(wàn)

16V316V3

當(dāng)且僅當(dāng)16-f=3f,即x=2時(shí)等號(hào)成立,

所以梯形面積的最大值為3省.

故答案為：10；3K.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)ZM=x,利用圖形特征，把梯形周長(zhǎng)和面積表示為關(guān)于％的函數(shù)，借助函數(shù)的思

想，利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，或不等式的性質(zhì)，求最大值.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

,A

15.記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為"c,已知c一b=2csirr—

2

（1）試判斷ABC的形狀；

（2）若c=l,求）LBC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】（1）A5C是直角三角形

（2）72+1

【解析】

b

【分析】（1）根據(jù)題意，求得cosA=—,利用余弦定理列出方程，得至!]/+/=02,即可求解；

c

（2）由（1）和c=l,得到a=sinA,Z?=cosA,貝!]ABC周長(zhǎng)為1+sinA+cosA,結(jié)合三角函數(shù)的性

質(zhì)，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

._,,c?。A—r/口-2Ac—b,1—cosAc—b

解：由c—b=2csm"一,可得sin2—=----,所以--------=-----

222c22c

,所以COSA=2,

嗎嚀22cc

序2_2右-

又由余弦定理得可得a2+b2=c2,所以C=—,

2bcc2

所以_A5C是直角三角形

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）知，ABC是直角三角形，且c=l,可得a=sinA,Z?=cosA,

所以一ABC周長(zhǎng)為1+sinA+cosA=l+J^sin[A+-1j,

因?yàn)榭纱鼳+

JT

所以，當(dāng)A=a時(shí)，即ABC為等腰直角三角形，周長(zhǎng)有最大值為亞+1.

16.如圖，在長(zhǎng)方體ABC?！?4Goi中，點(diǎn)、E、P分別在8片，上，且AEL/B,AFLA.D.

（1）求證：平面AEF；

（2）當(dāng)AB=4，AD=3,A4=5時(shí)，求平面AE尸與平面2片3。的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）I2正

25

【解析】

【分析】（1）以線面垂直判定定理去證明即可解決；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面AM與平面。片的夾角的余弦值即可解決.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?C1平面AB與A，AEu平面43與4,所以AEL3c.

又\BIBC^B,所以AE,平面ABC

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AE^AC

同理：因?yàn)镃D,平面AD，A，A戶u平面AD，A，所以AELCD.

又AF，A。，\DCD=D,所以AF,平面AC。

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以AB，AC

又因?yàn)锳EL/C,AEr>AF=A，所以A。，平面AM

【小問(wèn)2詳解】

以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD，A4所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

則4(0,0,0),A(0,0,5)，8(4,0,0),4(4,0,5),￡>(0,3,0),C(4,3,0).

所以4^=(4,3,—5),且4。是平面AEF的一個(gè)法向量.

BBi=(0,0,5),BD=(-4,3,0)

設(shè)平面D^BD的法向量為n=(x,y,z)

n-BB=0f5z=0

則}即《

n-BD=0-4x+3y=0

所以z=0,令x=3,得y=4.

則平面2與的一個(gè)法向量為〃=(3,4,0).

所以”-AC=12+12=24.

|止行+42=5,|4。|=52+32+(-5)2=5后

/人n-AjC241272

所以cos伊，aq=

l?|-|Acl5x5加25

所以平面AE尸與平面〃的夾角的余弦值為上也.

25

17.塔山石榴，產(chǎn)自安徽省淮北市烈山區(qū)塔山，種植迄今已有千年歷史.為了進(jìn)一步發(fā)展高效農(nóng)業(yè)，豐富石

榴品種，壯大石榴產(chǎn)業(yè)，當(dāng)?shù)卣心撤N業(yè)科研公司培育了A3兩種新品石榴，將它們分別種植在兩塊

土質(zhì)和大小相同的試驗(yàn)田內(nèi)，并從收獲的果實(shí)中各隨機(jī)抽取300個(gè)，按質(zhì)量（單位:g）將它們分成4組：

[50,70）,[70,90）,[90,110）,[110,130）,得到如下頻率分布直方圖：

（1）分別估計(jì)A3品種石榴單個(gè)果實(shí)的質(zhì)量；

（2）經(jīng)篩選檢測(cè)，除去壞果和瑕疵果，兩種石榴的合格率如下表:

[50,70)[70,90)[90,110)[110,130]

A品種合格

0.70.80.70.8

率

8品種合格

0.70.80.80.9

率

已知A品種混放在一個(gè)庫(kù)房，3品種混放在另一個(gè)庫(kù)房，現(xiàn)分別從兩個(gè)庫(kù)房中隨機(jī)各抽取2個(gè)石榴，其中

合格石榴的總個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）94g,90g

（2）分布列見(jiàn)解析，期望為3.1

【解析】

【分析】（1）分別根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)估計(jì)即可；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖及合格率表先得出兩個(gè)品種取得合格品的概率，再分別計(jì)算隨機(jī)抽取到合格品個(gè)

數(shù)的概率，列出其分布列并計(jì)算期望即可.

【小問(wèn)1詳解】

由頻率分布直方圖得樣本中A品種石榴單個(gè)果實(shí)質(zhì)量的估計(jì)值為：

兀=0.005x20x60+0.015x20x80+0.020x20xlOO+O.OlOx20x120=94g,

樣本中B品種石榴單個(gè)果實(shí)質(zhì)量的估計(jì)值為：

^=0.005x20x60+0.020x20x80+0.020x20x100+0.005x20x120=90g.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)A從A品種石榴中任取1個(gè)為合格品；8：從3品種石榴中任取1個(gè)為合格品；貝上

P(A)=0.005x20x0.7+0.015x20x0.8+0.020x20x0.7+0.010x20x0.8=0.75;

P(B)=0.005x20x0.7+0.020x20x0.8+0.020x20x0.8+0.005x20x0.9=0.8.

由題意得x=0,1,2,3,4,

則尸(X=0)=(1—0.75)2x(l-0.8)2=0.0025,

P(X=1)=C；x0.75x(l-0.75)x(l-0.8)2+(1-0.75)2xC；x(1—0.8)x0.8=0,035,

尸(X=2)=C；x0.752x(l-0.8)2+C；x0.75x(l-0.75)xC；x0.8x(1—0.8)

+(1-0.75)2XC|X0.82=0.1825,

P(X=3)=C；x0.752xC；x0.8x(1—0.8)+C；x0.75x(l-0.75)xC^x0.82=0.42,

P(X=4)=0.752x0.82=0.36.

所以X的分布列為

X01234

P0.00250.0350.18250.420.36

所以E(X)=0x0.0025+1x0.035+2x0.1825+3x0.42+4x0.36=3.1.

18.如圖，已知橢圓r：鼻+左=l,（a〉6〉o）的左右焦點(diǎn)為耳,工，短軸長(zhǎng)為6,A為r上一點(diǎn),

G1,；為△4月工的重心.

(1)求橢圓「的方程;

⑵橢圓「上不同三點(diǎn)3C，滿足5，。心，且忸閭,|。閭,|。閭成等差數(shù)列，線段30中垂線交

y軸于E點(diǎn)，求點(diǎn)七縱坐標(biāo)的取值范圍；

(3)直線/:y=Ax-2與「交于M,N點(diǎn)，交y軸于p點(diǎn)，若PM=2PN，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

22

【答案】(1)—+^=1

129

(2)9

(3)-5<2<--

5

【分析】(1)利用三角形重心坐標(biāo)公式先求A坐標(biāo)，再代入橢圓方程結(jié)合其性質(zhì)計(jì)算即可；

(2)設(shè)瓦D、E坐標(biāo)，并根據(jù)焦半徑公式得3工,。工，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出/=；(%+%2)=6,

4%_4%

,表示中垂線方程，結(jié)合點(diǎn)在橢圓內(nèi)計(jì)算范圍即可;

再根據(jù)點(diǎn)差法得出中垂線的斜率3/一373

(3)設(shè)N坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得出其橫坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示

,1064k2

%+力+2=_5(止+3)，利用函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算范圍即可.

【小問(wèn)1詳解】

不妨設(shè)耳(―c,0),瑞(G。)，

因G&為ZXAE8的重心，所以A3，m

9

所以9,4」，

------........-1

?2b2

又短軸長(zhǎng)為6,所以6=3,代入解得片=12,

所以橢圓方程為:工+工=1；

129

【小問(wèn)2詳解】

由上可知8（小,0）,設(shè)中點(diǎn)后（1，%），

則忸閭=J（%—+,

22i

Xn+9=1,消去一并整理得忸用=2痛-

同理I。用=26一3工2，

又叫=浮，

由題意得2百—gxI+26—g/=2x

因8,。在「上，易得五二考■+工一貢=0,化簡(jiǎn)得絲1%9%+/_3%

129再一九212%+%4%

4%_分。

所以線段5。中垂線的斜率

3x036

線段BD中垂線方程:V-%=

41

令x=o得

又線段中點(diǎn)在橢圓內(nèi)所以2+宜＜1=一地＜為＜述,

129202

出莖

所以為e

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)M（毛,%）,"（4,丁4），由PM=2PN得%=九%4,2＜0,

|22

土+丁-1

聯(lián)立《129?肖丁整理得(4左2+3)尤2-16辰-20=0,

y=kx-2

16人-20

得%3+%=z,XQXA—z

4左2+3344左2+3

所以2+4+2=巴+巴+2=fe±^=^m，

2%4尤3%3%4—5(4上~+3)

當(dāng)左=0時(shí)，2=—1,

6481648

當(dāng)左w0時(shí),2+-+2=1~G

2-5(442+3)48+3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)焦半徑公式及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可確定中點(diǎn)橫坐

標(biāo)，再由中垂線方程得出E與中點(diǎn)的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)在橢圓內(nèi)計(jì)算范圍即可解決第二問(wèn)；利用平面向量共

線的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算河、N橫坐標(biāo)關(guān)系，分類討論斜率是否為零，再含參表示2+5+2結(jié)合

函數(shù)的性質(zhì)求范圍解不等式即可.

19.已知函數(shù)/'(x)=acos2x+x2-。，其中aeR

⑴若a=l,記g(x)=/'(x)，試判斷g(x)在(0喜上的單調(diào)性；

(2)求證:當(dāng)時(shí)，f(x)>0;

2

(3)若對(duì)MxeR,不等式cos(2sinx)wg/(x)+?！猤f恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

(2)證明見(jiàn)解析(3)[1,+co)

【解析】

【分析】(1)直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算g'(x),利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可判定單調(diào)區(qū)間;

⑵根據(jù)“力為偶函數(shù)，則只判定xe[0,+oo)時(shí)，/(x)20即可；法一、分區(qū)間討論aWO顯然成立，

0<a<g時(shí)，多次求導(dǎo)結(jié)合三角函數(shù)有界性判定即可；法二，在0<a<g時(shí)，放縮證明W—|sinx|2O即

可，構(gòu)造函數(shù)。(x)=x-sinx,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性證明即可；

(3)將題設(shè)通過(guò)換元法化簡(jiǎn)為有cos/〈a1-L恒成立，當(dāng)時(shí)，放縮得

I4J

'/\i1產(chǎn)

1---ci—cost>1——--cost,構(gòu)造函數(shù)"%)=1------cos(—2因?yàn)槠錇榕己瘮?shù)，只判定正

\4J44

4cost

區(qū)間即可；法一、多次求導(dǎo)結(jié)合隱零點(diǎn)判定其單調(diào)性即可；法二、分離參數(shù)a2——丁，多次求導(dǎo)判定函數(shù)

4-r

4cost

rn(r)=-的單調(diào)性并求其最值即可.

')4-rr

【小問(wèn)1詳解】

由a=1,可知/(x)=cos2x+x2-l,g(%)=/(x)=-2sin2x+2x=2(x-sin2x),

則g'(%)=2(1—2cos2)),

在X￡[0,51寸,

令g'(x)>0=>cos2x<g,解之得XC

令g〈xX0ncos2x)g,解之得