安徽省江南十校2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)聯(lián)考試卷含答案

姓名座位號(hào)

(在此卷上答題無(wú)效)

絕密★啟用前

2024年“江南十?！备叨昙?jí)聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試

卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求

1.等差數(shù)列｛<?”｝中，a｝+a2+a3=18,a5=3,則4=

A.-2B.-1C.0D.2

2.安徽省某市石斛企業(yè)2024年加入網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)直播后，每天石斛的銷售量X?N(200Q2500)(單

位：盒)，估計(jì)300天內(nèi)石斛的銷售量約在1950到2050盒的天數(shù)大約為

(附：若隨機(jī)變量X?N(〃,/)，則P(〃-b?XW〃+b)=0.6827,

P(〃-2cr4X4〃+2cr)?0.9545,-3。<X<〃+3a)?0.9973)

A.205B.246C.270D.286

3.已知〃(4,0),6(1,JJ),圓/經(jīng)過(guò)48兩點(diǎn)，且圓的周長(zhǎng)被x軸平分，則圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程為

A.(x-j)2+(y-y^)2=3B.(X-2)2+/=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+/=4

4.“一帶一路”2024國(guó)際冰雪大會(huì)中國(guó)青少年冰球國(guó)際邀請(qǐng)賽在江蘇無(wú)錫舉行，現(xiàn)將4名志

愿者分成3組，每組至少一人，分赴3個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，則不同的分配方案種數(shù)是

A.18B.36C.54D.72

5.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱Z8C-481cl中，E為棱45的中點(diǎn)，則直線

用E與平面BB￡C所成角的正弦值為

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

AV15B1c&D扃

103317

6.已知｛。,J是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若q=3,53=39,b“招,則數(shù)列也｝的最小

n

項(xiàng)為

A.h2B.瓦C.h5D.b］

7.已知拋物線/=4少的焦點(diǎn)為尸，直線/過(guò)點(diǎn)/且與拋物線交于P,。兩點(diǎn)，若而=2萬(wàn)，

則直線/傾斜角的正弦值為

A.-B.-C.2D.3

32

8.已知函數(shù)/(x)=asinx+xcosx,若/(x)在［-樂(lè)乃］上單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

A.[0,1]B.[―1,+8)C.(一8,-1]D.{-1}

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=(x-1)/，下列關(guān)于/(x)的說(shuō)法正確的是

A./(x)在(0,1)上單調(diào)遞減B./(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增

C./(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D./(x)存在極大值點(diǎn)

10.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，各裝有若干個(gè)大小相同的小球(如圖)，則下列說(shuō)法正確的是

6個(gè)白球5個(gè)白球

3個(gè)紅球5個(gè)紅球

甲盒乙盒

A.甲盒中一次取出3個(gè)球，至少取到一個(gè)紅球的概率是一

21

3

B.乙盒有放回的取3次球，每次取一個(gè)，取到2個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率是一

8

C.甲盒不放回的取2次球，每次取一個(gè)，第二次取到紅球的概率是！

3

D.甲盒不放回的多次取球，每次取一個(gè)，則在第一、二次都取到白球的條件下，第三次也

3

取到白球的概率是3

7

11.達(dá)?芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，如圖1,把三片這樣的達(dá)?芬奇

方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)化為圖3所示的幾何體，圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

G

瓦R為棱的中點(diǎn)，則

A.點(diǎn)P到直線C。的距離為2電

直線平面。

B./G，48圖1圖2圖3

C.平面48。和平面gC￡)1的距離為年

D.平面q砂截正方體/BCD-481Goi所得的截面的周長(zhǎng)為空士耳心叵

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(3x-J=)6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___________-

Vx

1、

13.已知函數(shù)/(x)=31nx—］如2+(34—l)x,其中a<0,若x=3是/(x)的極小值點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

14.過(guò)雙曲線=1(加>0)的左焦點(diǎn)尸作漸近線的垂線，與雙曲線及漸近線的交點(diǎn)分別

為48，點(diǎn)4,8均在第二象限，且4為線段用的中點(diǎn)，則加=.

四.解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且滿足=1-5?.

(1)求許及S.；

(2)若I+S2+S3+…+S“N〃2+5—7,求滿足條件的最大整數(shù)〃的值.

16.(15分)

如圖，某市有三條連接生活區(qū)與工作區(qū)的城市主干道I、】1、HI,在出行高峰期主干道I有

E，$2,S3三個(gè)易堵點(diǎn)，它們出現(xiàn)堵車的概率都是1；主干道n有幾與兩個(gè)易堵點(diǎn)，它們出現(xiàn)堵

131

車的概率分別為1和1；主干道HI有用，畋,嗎,陶四個(gè)易堵點(diǎn)，它們出現(xiàn)堵車的概率都是

某人在出行高峰期開(kāi)車從生活區(qū)到工作區(qū)，假設(shè)以上各路點(diǎn)是否被堵塞互不影響.

(1)若選擇了主干道I行駛，求三個(gè)易堵點(diǎn)5，$2,S3至少有一個(gè)出現(xiàn)堵塞的概率；

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

(2)已知主干道I的每個(gè)易堵點(diǎn)平均擁堵4分鐘，主干道I【的每個(gè)易堵點(diǎn)平均擁堵5分鐘，

主干道HI的每個(gè)易堵點(diǎn)平均擁堵3分鐘,若按照“平均擁堵時(shí)間短的路線是較優(yōu)出行路線”的標(biāo)準(zhǔn),

則從生活區(qū)到工作區(qū)最優(yōu)的出行路線是哪一條？

17.(15分)

在我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中，有一種名為“羨除”的幾何

體，它由古代的隧道形狀抽象而來(lái)，如圖，Z8C0FE為五面體，

AD//BC//EE,四邊形ABCD,AEFD,BEFC均為等腰梯形，平面

ABCD±平面AEFD,EF=l,BC=2,AD=4,EF到平面ABCD

的距離為3,8c和Z0的距離為2,點(diǎn)G在棱8c上且3G=J.

2

(1)證明：AD上EG：

(2)求平面48E與平面夾角的余弦值.

18.(17分)

已知直線/:y=與函數(shù)/(x)=(x+l)lnx.

(1)記g*)=/'(x),求函數(shù)V=g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若直線/與函數(shù)丁=/(x)的圖象相切，求實(shí)數(shù)上的值;

(3)若xe(O,l)時(shí)，直線/始終在函數(shù)y=/(x)圖象的上方，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

19.(17分)

22/T

已知橢圓二+二=l(a>6>0)的離心率為2,焦距為2,耳,B分別為橢圓的左、右

a2b22

焦點(diǎn)，〃為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線〃與，g與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為

尸,。.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)/在x軸上方，I"周=3|片目，求直線的方程；

$

(3)設(shè)\MPQ,\MF\F,的面積分別為，,S,求的取值范圍.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

2024年“江南十?！备叨昙?jí)聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案

1.【答案】c

【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)得3a2=18,即勾=6,又9+。2=2%，故&8=6

2.【答案】A

【解析】由0.6827x300=204.81可知大約有205天.

3.【答案】B

【解析】線段Z8的中垂線為y—曰=JJ(x—g)，令歹=0得"(2,0),所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程

為(彳-2)2+y2=4.

4.【答案】B

【解析】.另=36種.

5.【答案】A

【解析】過(guò)E作跖_(tái)L8C，/為垂足，連接名尸，則NEB/為直線用E與平面印。所成角，設(shè)

三棱柱的棱長(zhǎng)為2,則EF=—,B,E=sinZEB.F=—.

212110

6.【答案】B

【解析】由題意%=3"也=三，由得〃>2,故當(dāng)最小.

n

"/bn〃+1

7.【答案】A

【解析】過(guò)尸,。分別作小,。0垂直于準(zhǔn)線，垂足分別為尸,0,過(guò)。作。R_LPP,垂足為R,

設(shè)I/0t廠，則IFP\=2r,1QQ|=r,\PR\=r^sinZPQR=5=：.

I尸。I3r3

8.【答案】D

【解析】因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，要使函數(shù)/(x)在［-乃，句上單調(diào)，只要函數(shù)/(x)在［0,乃］上單

調(diào).又/'(x)=(a+1)cosx—xsinx,且(=-y<0,故函數(shù)/(x)在［0,句上只能單調(diào)遞減，

fr(0)=a+l<0

由二，二,,、C解得a=—1，經(jīng)檢驗(yàn)易知，a=—1時(shí)符合題意.

〔/(乃)=-伍+1)40

9.【答案】BC

【解析】由題意知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,令/”(x)=x/=0,得x=0為函數(shù)/(x)的極小值

點(diǎn)；令/(幻=0,得x=l為/(x)的唯一零點(diǎn)，綜上：BC正確.

10.【答案】ABC

。316

【解析】記記4="甲盒中取3球至少一個(gè)紅球”，則P(N)=1-一與=丁，故A正確；

Cl21

記8="乙盒有放回的取3次球，取到2個(gè)白球”，則P(8)=cj?)3=一，故B正確；

8

記4?二”甲盒不放回第，次取到紅球”，則

——I—32631

尸(/2)=P(/M2+/M2)=P(4)?P(42Hl)+P(4)?尸(N24)=AXd+xXd=>故c正確.

9o9o3

—I----4

又P(可4%)=—，故D不正確.

11.【答案】ABD

【解析】由余弦定理得cosNPCQ=與得NPCQ=45°,尸到。0的距離為尸Csin45°=2,

所以A正確；

選項(xiàng)B:如圖，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，則

￡)(0,0,0),J(l,0,0),q(0,1,1),A,(1,0,1),5(1,1,0)JC,=(-1,1,1)，設(shè)平面48。的法向量分別

DAcm=(1,0,1)-(x,y,z)=x+z=0-_

為加=(xj,z)----—二＞"7=(1,—1,—/.AQUm，所以B

DBm-(1,1,0)-(x,y,z)=x+y=0

正確;

A

選項(xiàng)C：易求4G=百，4到平面4/。的距離為先,

3

所以平面ABD與平面B/D'的距離為V3-^=—

X故C不正確;

選項(xiàng)D：連接CE并延長(zhǎng)交CD延長(zhǎng)線于U,連接UF交于交C8的延長(zhǎng)線于火,

AV=-江什=西I7X

AF=-6

2

FB=L

［用G=i

V55

DV3=GX=—

~4~B\x=-4

BX=—

4

所以截面周長(zhǎng)為日+/平+乎+：=*@瓦

所以D正確.

12.【答案】135

”3

【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+l=笳(3工產(chǎn).(一+),=6?(—1)，.x下,令6—y=0,得r=4故

常數(shù)項(xiàng)為4=C》x32x(-1六=135.

13.【答案】(—00,——)

【解析】由題意得f\x)=2_ax+(3a-1)=-叱+(3"T)"+3=(efCf，由。<。得

XXX

11

——<3,從而Q<——.

a3

14.【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為與，由|E8|=b，得|=g,|4月|=2a+g，

11/2.1

^AFFX中，(2a+92=?+4c2_2.1.2c.cosNAFF1，

又cosNAFF1=-,從而a=b=l,故加=1.

c

15.【解析】

(1)由4=1-S“得許T=1-S,T(〃N2),兩式相減得%=g%_i(〃N2),...........3分

又佝=1一耳得佝=；,故｛%｝是以;為首項(xiàng)、；為公比的等比數(shù)列，

從而%=二，......5分

..........7分

(2)由Si+Sz+S?"!-----^"之獷+于"-7,得“2_〃_6?0，...........11分

則滿足條件的最大整數(shù)"為3............13分

16?【解析】

(1)記/="三個(gè)路點(diǎn)中至少有一個(gè)被堵塞“，

_17

則P(4)=l—P(/)=l—(—甘=一.......5分

28

(2)記各路線平均擁堵時(shí)間為記選擇主干道I行駛遇到的堵塞次數(shù)為X]?8(3,；),

13

所以￡(^1)=3X-=-9E?=E(4X])=4E(Xi)=6...........8分

313

記選擇主干道n行駛遇到的堵塞次數(shù)為4,則由題可得，p(x=o)=-x-=—

2274416

11335133

^=D--x-+-x-=i，P(X2=2)=-x-=-

故平均擁堵時(shí)間J分布列為

0510

353

P

16816

53

所以￡(J)=5x己+10x3=5............11分

816

114

記選擇主干道m(xù)行駛遇到的堵塞次數(shù)為W，則X3?5(4,-),^(X3)=4X-=-,

￡(9=￡(3&)=3￡(工3)=4...........14分

綜上，選擇主干道III行駛最優(yōu).......15分

17?【解析】

(1)如圖，過(guò)點(diǎn)G作GO_L/。,垂足為O，連接OE，因?yàn)槠矫?BCDJ?平面NEED，

60<=平面/8。。,平面4880平面/￡")=/。,從而6。_1平面/￡/力，所以GO1AD,

在6。上取一點(diǎn)/使得/C=；，過(guò)/作出，NO,“為垂足，則O〃=G/=1,

因?yàn)?4,所以N。="D=3,又AEFD為等腰梯形，所以E0上AD,

又EOC|GO=。,所以ZDJ?平面EOG,............3分

又EGu平面EOG,所以ZD,EG；............6分

(2)

如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。瓦O2OG所在的直線分別為x軸，歹軸，z軸,

31

則/(0,-5,0),3(0,-5,2),片(3,0,0),尸(3,1,0),

設(shè)平面ABE,平面BEF的法向量分別為加=(x/,z),〃=(a,6,c),

—,■—11

BE-m=(3,—,-2)\x,y,z)=3x+-y-2z=0

—,,—*33

AE-m=(3,—,0)?(x,y,z)=3x+ay=0

令x=l,得加二(1,一2,1)，9分

——-*11

BE-n-(3,--2)-(a,h,c)=3a+-h-2c=0

EFn-(0,1,0)?(a,4c)=b=0

令a=2，得7=(2,0,3)，...........12分

m-n55

cos<m,n>=——―=l]—=.—14分

|w||n|J6Jl3V78,

故平面ABE與平面BEF夾角的余弦值包電.

15分

78

18.【解析】

(1)由題意得g(x)=lnx+l+’,x〉0,.，/、11X—1

則g(x七一TF

x

故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(L+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)..4分

(2)設(shè)直線/：y=:(x-l)與函數(shù)/*)=(x+l)lnx相切于點(diǎn)(X。J。)，

Inx(iH------1~1=左c,1c

貝“°x0,得21nx()-殉+—=0,

A

(x0+1)Inx0=k(x。-1)°

令Zz(x)=21nx-x+L則I*)=一40,故,(x)在(0,+℃)上單調(diào)遞減,

x°x2

從而/z(x)=O至多一根，

又人(1)=0,故與=1,^=lnx0+—+1=2.............10分

xo

(3)法一：由題意知，當(dāng)xe(O,l)時(shí)，Inx—處二D<0恒成立，

x+1

2

令9(x)=Inx-——,xe(O,l),則.'(X)=%+2(1_⑴=。,

x+1x(x+l)2

①當(dāng)上K2時(shí)，X2+2(1-^)X+1>X2+2X+1>0)則”(X)>0,e(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

故(p(x)<0.

②當(dāng)人>2時(shí)，令*'(x)=0得為=k-_l,x2=k-l+J(k-1)2-1，

由電>1且百巧=1得0<為<1，故當(dāng)xe(X[,l)時(shí)，(p'(x)<0,e(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

從而e(x)>0(1)=0，不符合題意；

綜上所述：左的取值范圍為(—8,2].......17分

法二：分離參數(shù)利用洛必達(dá)法則也可.

19?【解析】

2

(1)—+y2=1：......4分

2

（2）設(shè)加（%,坊）,。（項(xiàng),必）,町：x=my-l,聯(lián)立》2+21/=2，^（my-1）2+2y2-2=0>

2m

知+為