2023年廣東省普通高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試真題卷含答案

2023年第一次廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試真題卷(時間：90分鐘滿分：150分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合M＝{0，1，2}，N＝{－1，0，1}，則M∪N＝()A．{0，1} B．{0，1，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}2．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是()A．f(x)＝－x B．f(x)＝x2C．f(x)＝3x D．f(x)＝eq\f(1,x)3．已知x>0，y>0，且xy＝36，則x＋y的最小值是()A．10 B．12C．13 D．154．不等式(x－5)(x＋2)>0的解集是()A．{x|x<－2或x>5} B．{x|x<－5或x>2}C．{x|－2<x<5} D．{x|－5<x<2}5．已知向量a＝(2，0)，b＝(－1，2)，則a＋b＝()A．(1，2) B．(3，－2)C．(2，1) D．(－3，2)6．下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是()7．已知角α的頂點與坐標(biāo)點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過P(1，eq\r(3))，則tanα的值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)8．某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對立事件是()A．至多中一次 B．兩次都投中C．只投中一次 D．兩次都沒投中9．要使f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,6)))是正弦函數(shù)，則正弦圖像()A．向左平移eq\f(1,6)個單位 B．向右平移eq\f(1,6)個單位C．向左平移eq\f(π,6)個單位 D．向右平移eq\f(π,6)個單位10．已知α，β是兩個不同平面，A：α∥β，B：α與β沒有公共點，則A是B的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,2x，x≤0))，若a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))，則f(a)的值為()A．－2 B．－1C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,2)12．a(chǎn)2＋b2＝c2，則a、b和c三個數(shù)稱之為勾股數(shù)，3，4，12，13任取兩個，能和5組成勾股數(shù)的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．13．已知復(fù)數(shù)z＝－1＋(m－2)i，要讓z為實數(shù)，則m為________．14．f(x)＝cos2x的最小正周期為________．15．棱長為2的正方體的內(nèi)切球的直徑為________．16．已知向量a和b的夾角為90°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，則a·b＝________．17．已知某校高一、高二、高三的人數(shù)分別為400、450、500，選派該校學(xué)生參加志愿者活動，采用分層抽樣的方法選取27人，則高二抽取的人數(shù)為________．18．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝________．三、解答題：本大題共4個小題，第19～21題各10分，第22題12分，共42分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b＝2，c＝eq\f(2\r(3),3)，B＝60°.(1)求C；(2)求a.20．甲和乙射箭，兩人比賽的分?jǐn)?shù)結(jié)果如下：甲868659乙6778104求甲和乙分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和方差，說明甲和乙發(fā)揮的情況．21．某企業(yè)十年內(nèi)投資一個項目，2022年投資200萬元，之后每一年的投資數(shù)額比前一年增長10%.(1)求該企業(yè)2024年在該項目的投資金額；(2)該企業(yè)在哪一年的投資金額將達(dá)到400萬元？22．如圖，圓的直徑為4，直線PA垂直圓所在的平面，C是圓上的任意一點．(1)證明BC⊥面PAC.(2)若PA＝2eq\r(2)，AC＝2，求PB與面PAC的夾角．參考答案1．C由題得，求并集，得M∪N＝{－1，0，1，2}，故選C.2．C由題得，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，選項A為一次函數(shù)，為減函數(shù)，不符合題意；選項B為二次函數(shù)，開口向下，在(0，＋∞)為增函數(shù)，在(－∞，0)為減函數(shù)，不符合題意；選項C是指數(shù)函數(shù)，為增函數(shù)，符合題意；選項D是反比例函數(shù)，不符合題意，故選C.3．B由均值定理得，x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(36)＝2×6＝12，故選B.4．A令x－5＝0，所以x＝5，令x＋2＝0，所以x＝－2，大于號取兩邊，得{x|x<－2或x>5}，故選A.5．A由題得，a＋b＝(2，0)＋(－1，2)＝(2＋(－1)，0＋2)＝(1，2)，故選A.6．A由題得，對數(shù)函數(shù)恒過定點(1，0)，故選A.7．D由題得，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，故選D.8．D至少投中一次，可能是一次或者兩次，則他的對立事件是兩次都沒有投中，故選D.9．A由題得，左加右減，正弦函數(shù)y＝sinx向左平移eq\f(1,6)個單位，可得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,6)))，故選A.10．C因為α，β是兩個不同的平面，所以“α∥β”，可得到α，β沒有公共點，反之也成立，所以是充要條件，故選C.11．D由題得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝lgeq\f(1,10)＝lg10－1＝－1，所以a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝－1，則f(a)＝f(－1)＝2－1＝eq\f(1,2).故選D.12．B由題得，3，4，12，13四個數(shù)抽取2個數(shù)，總的事件有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2×1)＝6(件)，與5能組成勾股數(shù)的有(3，4)，(12，13)共2組，所以概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故選B.13．解析：由題得，Z為實數(shù)，即虛部為零，得m－2＝0，所以m＝2.答案：214．解析：由題得，函數(shù)最小正周期為T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π15．解析：正方體內(nèi)切球的直徑等于其棱長，所以棱長為2的正方體的內(nèi)切球的直徑為2.答案：216．解析：由題得，a·b＝a·bcos90°＝2×eq\r(3)×0＝0.答案：017．解析：設(shè)高二抽取人數(shù)為x，得eq\f(450,400＋450＋500)＝eq\f(x,27)，解得x＝9.答案：918．解析：由題得，x≥0時，f(1)＝1×(1＋1)＝2，因為該函數(shù)是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)＝2.答案：219．解：(1)由題得，由正弦定理得，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，代入得，eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(\f(2\r(3),3),sinC)，解得sinC＝eq\f(1,2)，因為0<C<π，所以C＝30°.(2)由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)得，eq\f(1,2)＝eq\f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2)－22,2a×\f(2\r(3),3))，解得a＝eq\f(4\r(3),3).20．解：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(8＋6＋8＋6＋5＋9,6)＝eq\f(42,6)＝7，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(6＋7＋7＋8＋10＋4,6)＝eq\f(42,6)＝7，Seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2]＝eq\f(1,6)(1＋1＋1＋1＋4＋4)＝eq\f(12,6)＝2，Seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2]＝eq\f(1,6)(1＋0＋0＋1＋9＋9)＝eq\f(20,6)＝eq\f(10,3)<2，因為Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙)，所以甲發(fā)揮的更穩(wěn)定．21．解：(1)設(shè)n為2022年后的第n年(n≥1)，xn為2022年后第n年的投資額．之后每一年的投資額比前一年增加10%.xn＝200(1＋10%)n，當(dāng)n＝2，x2＝200(1＋10%)2＝242萬，所以該企業(yè)2024年在該項目的投資金額是242萬元．(2)當(dāng)xn＝400時，200(1＋10%)n＝400，所以1.1n＝2，所以n＝log1.12，解得n＝7.4，所以2022＋7.4＝2029.4，所以在2030年的投資金額將達(dá)到400萬元．22．(1)證明：因為AB是圓的直徑，C是圓上一點，所以AC⊥BC，因為PA⊥面ABC，且BC?面ABC，所以PA⊥BC，由BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC?面PAC，PA?面PAC，所以BC⊥面PAC.(2)解：因為BC⊥面PAC，則PB與面PAC的夾角為∠BPC，在Rt△P