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文檔簡介
江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)、南京外國語學(xué)校2024屆高三三模數(shù)學(xué)
試題
注意事項:
1.本試卷滿分150分,考試時間120分鐘.
2.答題前,考生務(wù)必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置.
3.考生作答時,請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對
應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題
區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
口M=[x\2x>l\,N=[x\x<3]“2
1.已知全集TT。:11,集合L11則()
A.(-00,3]B.[0,1]C.[0,3]D,[1,3]
【答案】C
【解析】
【分析】
由指數(shù)不等式可得"={x|x?o},再由集合交集的定義即可得解.
【詳解】因為"=卜忙川={小NO},N={X|X<3},
所以McN={H0V尤<3}=[0,3].
故選:C.
【點睛】本題考查了指數(shù)不等式的求解及集合的交集運算,考查了運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=5+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z,即可判斷.
【詳解】因為z=R=(5+i)(l_i)=^j.=3_2i,
1+i22
所以點(3,-2)位于第四象限.
故選:D.
3.下列結(jié)論中正確是(
A,若直線a,6為異面直線,則過直線a與直線6平行的平面有無數(shù)多個
B.若平面a〃平面仇直線加ua,點則過點M有且只有一條直線與機平行
C,若直線機與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行,則直線機與平面a平行
D.若直線/I平面a,則過直線/與平面a垂直的平面有且只有一個
【答案】B
【解析】
【分析】A.由異面直線的定義判斷;B.由面面平行的性質(zhì)定理判斷;C.由直線與平面的位置關(guān)系判斷;D.
由面面垂直的判定定理判斷.
【詳解】A.若直線a,b為異面直線,則過直線。與直線b平行的平面只有一個,故錯誤;
B.因為平面a〃平面0,直線機ua,點所以由平面的基本性質(zhì)得,點M與直線機確定一個平面
/,且==",由面面平行的性質(zhì)定理得加〃“,Men,所以過點M有且只有一條直線
與機平行,故正確;
C.若直線加與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行,則直線機與平面a平行或在平面a內(nèi),故錯誤;
D.若直線/I平面a,則過直線/與平面a垂直的平面有無數(shù)個,故錯誤;
故選:B
a
4.拋物線J=6x上一點M到其焦點的距離為一,則點以到坐標(biāo)原點的距離為()
2
A.73B.273C.3A/3D.473
【答案】C
【解析】
【分析】先由拋物線的方程求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,再根據(jù)拋物線的定義求出點M的坐標(biāo),最后利用兩
點間距離公式即可求解.
【詳解】設(shè)點/(%,%).
由拋物線y2=6x可得:焦點坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為x=-1.
Q
因為拋物線V=6x上一點M到其焦點的距離為彳,
39
所以根據(jù)拋物線的定義可得:xM+-=-,解得:XM=3,則城=6%=18.
所以點Af到坐標(biāo)原點的距離為Jxj+=732+18=3A/3.
故選:c.
5.對于函數(shù)y=/(x),部分x與y的對應(yīng)關(guān)系如下表:
X123456789
y745813526
數(shù)列{%“}滿足西=2,且對任意〃eN*,點(七,%1)都在函數(shù)y=/(x)的圖象上,貝U
玉+%2+%3+…+%2016的值為()
A.9400B.9408C.9410D.9414
【答案】B
【解析】
【詳解】試題分析:???數(shù)列{易}滿足玉=2,且對任意〃eN*,點(%,4+1)都在函數(shù)y=/(元)的圖象上,
x"+]=f(X"),則X]=2,%2=4,%=8,x4—2,匕=4,—8,x7—2,夫=4…數(shù)列是周期
數(shù)列,且周期為3,一個周期內(nèi)的和為14,?,?玉+々+%+…+9016=672'(國+馬+退)=9408,故選
B.
考點:1、函數(shù)的表示方法;2、數(shù)列的性質(zhì);3、數(shù)列求和.
【易錯點睛】本題主要考查函數(shù)的表示方法、數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求和,屬難題.本題先根據(jù)函數(shù)>=/(尤),
部分X與y的對應(yīng)關(guān)系表求得石=2,々=4,%=8,%=2,%=4,4=8,七=2,/=4…,從而
得出數(shù)列為周期數(shù)列,且周期為3,一個周期內(nèi)的和為14,所求數(shù)列的和為672個周期的和,從而求得數(shù)
列的和.做題時注意①根據(jù)函數(shù)求得對應(yīng)的x,+i=/(%)的值;②根據(jù)數(shù)據(jù)觀察出數(shù)列為周期數(shù)列;③將
2016除以3是否有余數(shù),否則容易出錯.
<士”“如眉%竹管劣輸入該對的面帶厚度-輸出該對的面帶厚度人囪在一泊
輸入該對的面帶厚度
的示意圖,搟面機由若干對軋輯組成,面帶從一端輸入,經(jīng)過各對軋輻逐步減薄后輸出.已知搟面機沒對軋
輻的減薄率都為0.2(軋面的過程中,面帶寬度不變,且不考慮損耗).有一臺搟面機共有10對軋輯,所有
軋輻的橫截面積均為幽Wmm2,若第女對軋輻有缺陷,每滾動一周在面帶上壓出一個疵點,在搟面機
71
輸出的面帶上,疵點的間距為耳,則()
A.A=1600X0.21JmmB.4=1600x0.2i°mm
lo-/;
C.Lk=16OOxO.8mmD.4=1600x0.8i°mm
【答案】D
【解析】
【分析】據(jù)題意,第9對軋輻出口處疵點間距為軋輻周長,在此處出口的兩疵點間鋼帶體積與冷軋機出口
處兩疵點間鋼帶體積相等,因?qū)挾炔蛔?,可得?600=4<1-20%),由次求出4,進(jìn)而求出人.
【詳解】設(shè)軋輻的半徑為,,
由軋輻的橫截面積640°°°mm2可得:nr2=‘加。。mm2,
7171
解得:r=800,所以軋輻的周長為2Q=2兀
由圖易知,第9對軋輻出口處疵點間距為軋輻周長,
在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等,
因?qū)挾炔蛔?,?600=4<1—0.2),
所以4=^^=2000(mm),筑=1600
0.8
所以4==1600x0.8i°mm
故選:D.
7.已知函數(shù)/(丈)的大致圖象如圖所示,則其解析式可能為()
2e'+e
A./(%)=B./W=
C.f(x)=2D.=
el-e-x八/2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)圖象的對稱性排除CD;根據(jù)函數(shù)的最值排除B,從而可得答案.
【詳解】由圖象關(guān)于y軸對稱可知,函數(shù)〃無)為偶函數(shù),
2〃一尸
因為?。?1與?。?一為奇函數(shù)’所以排除CD;
因為/Q)=e,;ex"e,『=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,等號成立,
所以/Q)=e"[e'在)=o時取得最小值1,由圖可知/(x)在》=()時取得最大值,故排除B.
故選:A
【點睛】關(guān)鍵點點睛:根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)排除不正確的選項是解題關(guān)鍵.
8.已知雙曲線上—匕=1,。為坐標(biāo)原點,p,。為雙曲線上兩動點,且OPLOQ,則
36
11
-------7---------T=()
10Pl2\0Q\-
11
A.2B.1C.-D.-
36
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)0P直線方程為y=依,直線方程為y=-且設(shè)尸(斗%),。(X2,%),將直線分別與
雙曲線聯(lián)立,求出石2,%2,%2,%2,再利用兩點間的距離公式即可求解.
【詳解】由題意設(shè)0P直線方程為y=。。直線方程為丁=-
k
設(shè)P&,X),Q(孫%)
,-匚=1262_6k2
則,
36nxj2-k2,y'—2—廿
。=履
f_2_匕2=
同理,366k226
—o—,y?——o—
12k2—1722k2—1
y=——x
〔k
b,,12-k-12k2—1
n\以T=3,T=w
\OP|-6+6左2\OQ\26+6產(chǎn)
k2+l1
即-----7+----7
IOPI2\OQ\26+6k"~6
故選:D
【點睛】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系中的定值問題,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得。分.
9.已知平面a的一個法向量為%=[1,—2,—g],平面月的一個法向量為巧=(—1,0,—2),直線/的方向
向量為a=(l,0,2),直線機的方向向量為匕=(0,1,—2),貝U()
A.HIa
B.
C./與加為相交直線或異面直線
D.a在萬向量上的投影向量為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量之間的關(guān)系逐項判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.
【詳解】因為平面a的一個法向量為4=11,—2,—g),直線/的方向向量為a=(l,0,2),則
Y\-41=1+0-1=0,即則〃/a或/ua,故A不正確;
又平面月的一個法向量為%=(—1,0,—2),所以“?巧=—1+0+1=0,即勺_1_%
,所以。_1_尸,故B正確;
由直線加的方向向量為〃=(0,1,-2),所以不存在實數(shù)4使得a=26,故/與加為相交直線或異面直線,
故c正確;
a-bb0+0-4(o,l,2)-4刎,-2)=。,高|
a在萬向量上的投影向量為,故D不正確.
bbV55
故選:BC.
71111
10.已知函數(shù)/'(x)=sin尤?sin|尤+一-1的定義域為[加,"|(7〃<〃),值域為一5,五,則“一m的值不
344NT*
可能是()
5兀7兀37r1171
A.——B.—C.—D.——
1212412
【答案】CD
【解析】
由三角恒等變換得/(x)=;sin-高
【分析】,作出函數(shù)的圖象,在一個周期內(nèi)考慮,可得
71715兀
m=——<m<——
226,即可得解.
或V
5兀,7兀一7兀
——<n<——n-——
、666
711fl,也£
【詳解】由題意“x)=sinx-sin|x+一—=sinx-—smxH---COSX
34224
7
走sinxcos」」」8s2》+且心」
2244444
」8s251
sin2x=-sin2x--
4426
作出函數(shù)/(X)的圖象,如圖所示,
若要使函數(shù)/(X)的值域為一《:,
在一個周期內(nèi)考慮問題,
n2萬
所以〃一機的值可以為區(qū)間y,—內(nèi)的任意實數(shù),
所以A、B可能,C、D不可能.
故選:CD.
【點睛】本題考查了三角恒等變換及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查了運算求解能力與數(shù)形結(jié)合思
想,屬于中檔題.
11.鉆石是金剛石精加工而成的產(chǎn)品,是世界上最堅硬的、成分最簡單的寶石,它是由碳元素組成的、具
有立方結(jié)構(gòu)的天然晶體.如圖,已知某鉆石形狀的幾何體由上、下兩部分組成,上面為一個正六棱臺
ABCDEF—ABICREIK(上、下底面均為正六邊形,側(cè)面為等腰梯形),下面為一個正六棱錐P-
ABCDEF,其中正六棱臺的上底面邊長為°,下底面邊長為2a,且尸到平面4瓦£的距離為3a,則下列說
法正確的是()
(臺體的體積計算公式:丫=3(5]+邑+鄧瓦)/2,其中邑分別為臺體的上、下底面面積,力為臺
體的高)
A,若平面平面AWA,則正六棱錐P-ABCDEF的高為十#,
2
B.若PA=141a,則該幾何體的表面積為3舟21幣a2
2
C.該幾何體存在外接球,且外接球的體積為迎乃/
81
D.若該幾何體的上、下兩部分體積之比為7:8,則該幾何體的體積為身叵/
2
【答案】BD
【解析】
【分析】分別取AF,AH,G2,CD的中點。,R,S,T,連接RS,RQ,TS,TQ,得到。,R,S,T
四點共面,且點尸,M,N均在該平面上,連接PM,則N在上,進(jìn)而得到NPQR為二面角
P-AR-A的平面角,進(jìn)而判定A錯誤;連接PM,則尸M=3a,結(jié)合截面尸。RST,利用表面積公式可
判定B正確;連接設(shè)外接球半徑為R,連接OA,OD,OD,,求得外接球的半徑,可判定C
V,7
錯誤;設(shè)該幾何體上、下兩部分的體積分別為匕,匕,結(jié)合引=工,可得久=2/%利用丫=匕+匕,
V2o
可判定D正確.
【詳解】設(shè)M,N分別為正六棱臺上、下底面中心.
對于選項A,如圖1,分別取AF,4耳,G2,CD的中點。,R,S,T,
連接RS,RQ,TS,TQ,則RS=屈,QT=2瓜,
可得。,R,S,T四點共面,且點P,M,N均在該平面上,
連接尸跖則N在上,得如圖2所示的截面PQRST,四邊形QRST為等腰梯形,
且NPQR為二面角P—AE—4的平面角,即NPQR=90°,
過點R作RL_LQT交QT于點L則NRQL=NQPN,可得獸=要,
LQNP
即NP*RL=LQ.QN=^61.?!=#,而NP+RL=MP=3a,
故NP4a-NP)=)f,解得NP=W3a,故A錯誤;
22
圖1圖2
對于選項B,如圖3為截面PM,。,依題意得AA=2〃,AD=4a,
連接尸則尸A/=3Q,又24=2應(yīng)〃,所以ZW=2a,MN=3a-2a=a,
如圖4為截面尸。RST,從而RQ=J/+*&=5a,PQ=^(73a)2+(2tz)2=/la>故該幾何體
的表面積S—6x^-a2+6x—?(tz+2a)-a+6x--2a-A/7a=36+21S>2,故B正確;
42222
圖3圖4
對于選項C,如圖5所示的截面PAA.D.D,
連接依題意可知42=2。,AD=4a,PM=3a,
若該幾何體存在外接球,則外接球球心.在上,
22
設(shè)外接球半徑為R,連接04,0A},OD,ODX,得OA=OA=OP=R,3a-R=MO=yjR-a1
解得R=°a,又QA+OD=2R<4a=Q4,矛盾,
3
故該幾何體不存在外接球,C錯誤;
圖5
對于選項D,設(shè)該幾何體上、下兩部分的體積分別為匕,匕,MN=%,PN=k
2
則VJ+66/+%h1a2,V,=x6A/3?xh2=,由
7
V7
方二W,可得刈=2%,
結(jié)合4+4=3。,可知4=4,h2=2a,
因此該幾何體的體積▽=匕+匕=半/+46a3=,故D正確.
故選:BD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
5723567
12.己知(1-x)+(l+x)=a0-alx+a2x-a3x+-a5x+a6x-G7X,則%+%+%的值為
【答案】78
【解析】
【分析】令x=0求小,分別令x=l,X=—1代入已知關(guān)系式,然后兩式相加即可求解.
【詳解】令x=0,可得4=2,
令%=1,可得2,=a?!猶+%—/+?——%①
令X——1,則2,=%+q+%+..,+%②
所以②+①可得:2(%+%+/+/)=2,+2,=160,
所以2+a?+。4+“6=8。,即g+%+4=78
故答案為:78
13.已知^卜in°-c°s°=受’則=
【答案】9+46##46+9
【解析】
【分析】由條件sin6-cos6=三5兩邊平方結(jié)合平方關(guān)系可求sin26,再由平方關(guān)系可求cos2。,由
3
此可求Jsm2。
cos2。
【詳解】將sind—cos0=2出兩邊平方,得1—2sindcos:=9+4百,即$足2。=—逑,因為
399
1+聲
(與,所以26c(孚,2乃],所以cos28=L,故1Tm=——-2—=9+4A/5.
I4)\2)9cos20£
9
故答案為:9+4卮
14.己知〃x)是定義在R上的函數(shù),/(1)=10,且對于任意都有/(%+20)之/(幻+20,
f(x+l)<f(x)+l,若g(x)=/(x)—x+l,則g(10)=.
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)題目所給不等式恒成立,利用賦值法求得了(10)的值,由此求得g(io)的值.
【詳解】在/(x+20)V/(x)+20中,令1=—10,得"10""-10)+20.
又〃x+l)<〃x)+l,故〃10)=〃9+l)K〃9)+l"(8)+2M</(l)+9=19.
而10)2〃—10+1)—1=/(—9)—8)—2>>/(l)-ll=-l.
所以/(IO)2/(—10)+202—1+20=19.
綜上所述19W/(10)W19,即/■(10)=19,
所以g(10)=/(10)_10+l=10
故答案為:10
四、解答題:本題共5小題,第15小題13分,第16、17小題15分,第18、19小題17分,
共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.記Sn是等差數(shù)列{4}的前n項和,已知為=邑+2,$6=4%.
(1)求{4}的通項公式;
、(1Y1Y1)(1)、13
Is2){S3人sj〔S“+J24
【答案】(1)4=2〃-1
(2)證明見解析
【解析】
【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式得到關(guān)于4,d的方程組,解之即可得解;
(2)由(1)求得S〃,再利用累乘法求得7;,從而利用“cN*及北與〃的關(guān)系式的性質(zhì)即可得證.
【小問1詳解】
因為{&}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
CL+5d=3tz+3d+2—1
則由《i,解得4
6%+15d=4%+16Jd=2
所以數(shù)列{4}通項公式為=1+2("—1)=2〃—1.
【小問2詳解】
數(shù)列{a,}的前幾項和Sn=(1+2"T)"=島
則1—J-=l—1n2-l(n-l)(n+l)
S"n2n2n2
///
1、1、1、(1)
所以I=1--1--1--,1-----
S4
八八7k°n+l7
1x32x43x5(n+l)(n+l)n(n+2)1n+2
二-x---x---xXx------丁二一x----,
223242n25+1)22n+1
71+2―1"十21
因為〃eN*,所以——1+—>1,則方----r>—;
n+1n+12n+12
1〃+211
因為r7義--x1A+
2〃+12\n+1
當(dāng)“增大,則工減少,所以“=1時,.取得最大值為?
n+1
所以4=gx(l+13
最大為“
〃+1
13
綜上,
2〃4
16.佛山順德雙皮奶是一種粵式甜品,上層奶皮甘香,下層奶皮香滑潤口,吃起來,香氣濃郁,入口嫩
滑,讓人唇齒留香.雙皮奶起源于清朝末期,是用水牛奶做原料,輔以雞蛋和白糖制成.水牛奶中含有豐
富的蛋白質(zhì),包括酪蛋白和少量的乳清蛋白,及大量人體生長發(fā)育所需的氨基酸和微量元素.不過新鮮的
水牛奶保質(zhì)期較短.某超市為了保證顧客能購買到新鮮的水牛奶又不用過多存貨,于是統(tǒng)計了50天銷售
水牛奶的情況,獲得如下數(shù)據(jù):
日銷售量/0123
件
天數(shù)5102510
假設(shè)水牛奶日銷售量的分布規(guī)律保持不變,將頻率視為概率.
(1)求接下來三天中至少有2天能賣出3件水牛奶的概率;
(2)已知超市存貨管理水平的高低會直接影響超市的經(jīng)營情況.該超市對水牛奶實行如下存貨管理制
度:當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若存貨少于2件,則通知配送中心立即補貨至3件,否則不補貨.假設(shè)某
天開始營業(yè)時貨架上有3件水牛奶,求第二天營業(yè)結(jié)束后貨架上有1件存貨的概率.
【答案】(1)—;
125
⑵—.
25
【解析】
【分析】(1)由題設(shè)三天中賣出3件水牛奶的天數(shù)X8(3,:),利用二項分布的概率概率公式求
尸(X22)即可;
(2)討論第一天營業(yè)結(jié)束是否需要補貨,利用全概率公式分別求出不需補貨、需要補貨情況下在第二天
營業(yè)結(jié)束貨架上有1件存貨的概率,即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
14
由題設(shè),能賣出3件水牛奶的概率為《,3件以下的概率為彳,
所以三天中賣出3件水牛奶的天數(shù)XB(3,1),
■7419q1O13
則P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=C|(-)(-)2+C;(?3=—.
JJJJ-4D
【小問2詳解】
由(1)及題意知:第一天營業(yè)結(jié)束后不補貨情況為A={銷售0件}或2={銷售1件},
所以P(A)=A,=
令。={第二天貨架上有1件存貨},則P(C|A)=g,P(C|B)=|,
9
所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=——.
第一天營業(yè)結(jié)束后補貨的情況為。={銷售3件}或斤{銷售2件},
所以尸(D)=;,P(E)=g,
令4{第二天貨架上有1件存貨},則尸(用。)=;,P(F|E)=1,
7
所以P(F)=P(D)P(F|D)+P(E)P(F|E)=—.
綜上,第二天營業(yè)結(jié)束后貨架上有1件存貨的概率P=P(C)+P(E)=||.
17.如圖,在四棱錐尸―ASCD中,底面ABCD為正方形,底面ABCD,M為線段PC的中點,
PD=AD=1,N為線段上的動點.
(1)證明:MDLPN;
(2)當(dāng)N為線段的中點時,求三棱錐A-的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2)—.
12
【解析】
【分析】(1)通過證明平面PBC,可證MDLPN;
(2)根據(jù)匕一MN°=%_ADN,利用棱錐的體積公式可求出結(jié)果.
【詳解】(1)證明:PD_L平面ABCD,3。匚平面43。。,,5。_1?。,
又BC人DC,PDcDC=D,PD、DCu平面PDC,
,平面PDC,又用Du平面PDC,,MD_L3C,
在Rt_P£>C中,PD=DC,M為PC的中點,尸C,
VPCr>BC=C,PC、5Cu平面PBC,
,MD_L平面PBC,
^.^尸Nu平面PBC,.^.MDJ_PN.
_le
(2)VA_MND二^M-ADN-3-ADN--PD=—x—xlxlx—xl=—.
232212
【點睛】關(guān)鍵點點睛:(1)中,通過證明平面P5C得到是解題關(guān)鍵;(2)中,轉(zhuǎn)化為求
^M-ADN是解題關(guān)鍵.
18.若函數(shù)/(X)=加+桁,當(dāng)%=-2時函數(shù)/(無)有極值。.
(1)求函數(shù)/(尤)的解析式;
(2)求曲線y=/(x)過點P(3,—3)的切線方程.
【答案】(1)=—X3—4x
(2)5x-y-18=0或7x+4y-9=0
【解析】
分析】(1)根據(jù)極值點和極值列出方程組,求出。力,得到解析式;
(2)在第一問的基礎(chǔ)上,設(shè)出切點,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
【小問1詳解】
/,(X)=3O¥2+b,由題意得:
/(-2)=12a+b=01
61——
?、16,解得:<3,
/(-2)=-8a-2/?=—
、3
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