高考數(shù)學(xué)專題 不等式講學(xué)案理數(shù)(原卷)

【2016考綱解讀】與區(qū)域有關(guān)的面積、距離、參數(shù)范圍問(wèn)題及線性規(guī)劃問(wèn)題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運(yùn)用不等式性質(zhì)求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點(diǎn)．備考時(shí)，應(yīng)切實(shí)理解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法．要特別加強(qiáng)綜合能力的培養(yǎng)，提升運(yùn)用不等式性質(zhì)分析、解決問(wèn)題的能力．【重點(diǎn)知識(shí)梳理】1.熟記比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)與基本方法．①作差(商)法；②利用函數(shù)的單調(diào)性．2．特別注意熟記活用以下不等式的基本性質(zhì)(1)乘法法則：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；(4)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)；3．熟練應(yīng)用基本不等式證明不等式與求函數(shù)的最值．4．牢記常見類型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三個(gè)二次之間的關(guān)系求解．(2)簡(jiǎn)單分式、高次不等式，關(guān)鍵是熟練進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．(3)簡(jiǎn)單指、對(duì)不等式利用指、對(duì)函數(shù)的單調(diào)性求解．5．簡(jiǎn)單線性規(guī)劃(1)應(yīng)用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)法判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域．(2)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題解線性規(guī)劃問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)條件寫出線性約束關(guān)系式及目標(biāo)函數(shù)，必要時(shí)可先做出表格，然后結(jié)合線性約束關(guān)系式作出可行域，在可行域中求出最優(yōu)解．【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一不等式的解法例1、(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|3x－4|x≤2，,\f(2,x－1)x>2，))則f(x)≥1的x的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，3))C．(－∞，1)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))D．(－∞，－1】∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，3))(2)關(guān)于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)a【規(guī)律方法】不等式的求解技巧(1)對(duì)于一元二次不等式，應(yīng)先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．(2)解簡(jiǎn)單的分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的基本思想是把它們等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解．【變式訓(xùn)練】1．已知一元二次不等式f(x)<0的解集為xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))，則f(10x)>0的解集為()A．{x|x<－1或x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}考點(diǎn)二簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題例2、1)(2015·陜西卷)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為()A．12萬(wàn)元B．16萬(wàn)元C．17萬(wàn)元D．18萬(wàn)元(2)(2015·山東卷)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤1，,x＋y≤3，,y≥1，))則z＝x＋3y的最大值為________．【規(guī)律方法】解決線性規(guī)劃問(wèn)題應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決．(2)畫可行域時(shí)應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界．(3)對(duì)目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中B的符號(hào)，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對(duì)應(yīng)，要結(jié)合圖形分析．【變式訓(xùn)練】設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則eq\f(a2,9)＋eq\f(b2,4)的最小值為()A.eq\f(13,25)B．2C.eq\f(1,2)D．1考點(diǎn)三基本不等式例3、(1)(2015·湖南卷)若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4(2)(2015·浙江卷)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．【規(guī)律方法】1．利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)(1)在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵．(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．2．求條件最值問(wèn)題的兩種方法一是借助條件轉(zhuǎn)化為所學(xué)過(guò)的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù))，借助于函數(shù)單調(diào)性求最值；二是可考慮通過(guò)變形直接利用基本不等式解決．【變式訓(xùn)練】1．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為()A．0B．1C.eq\f(9,4)D．3【經(jīng)典考題精析】1.【2015高考北京，理2】若，滿足則的最大值為（）A．0 B．1 C． D．22．【2015高考廣東，理6】若變量，滿足約束條件則的最小值為（）A．B.6C.D.43.【2015高考天津，理2】設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()（A）3（B）4（C）18（D）404.【2015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（）A．12萬(wàn)元B．16萬(wàn)元C．17萬(wàn)元D．18萬(wàn)元甲乙原料限額（噸）（噸）5.【2015高考福建，理5】若變量滿足約束條件則的最小值等于()A．B．C．D．26.【2015高考山東，理6】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則（）（A）3（B）2（C）-2（D）-37.【2015高考新課標(biāo)1，理15】若滿足約束條件，QUOTEx-1?0,x-y≤0,x+y-4≤0,則QUOTExy的最大值為.8.【2015高考浙江，理14】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是．9．【2015高考新課標(biāo)2，理14】若x，y滿足約束條件，則的最大值為____________．10.【2015高考湖南，理4】若變量，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-7B.-1C.1D.211.【2015高考四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（）（A）16（B）18（C）25（D）12.【2015高考陜西，理9】設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．1.【2014高考安徽卷理第5題】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為（）A,B.C.2或1D.2.【2014高考北京版理第6題】若、滿足，且的最小值為，則的值為（）A．2B．C．D．3.【2014高考福建卷第11題】若變量滿足約束條件則的最小值為________.4.【2014高考福建卷第13題】要制作一個(gè)容器為4，高為的無(wú)蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_______（單位：元）.5.【2014高考廣東卷理第3題】若變量、滿足約束條件，且的最大值和最小值分別為和，則（）A.B.C.D.6.【2014高考湖南卷第14題】若變量滿足約束條件，且的最小值為，則.7.【2014遼寧高考理第16題】對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，且使最大時(shí)，的最小值為.8.【2014全國(guó)1高考理第9題】不等式組的解集為D,有下面四個(gè)命題：，，，其中的真命題是（）A．B．C．D．10.【2014山東高考理第5題】已知實(shí)數(shù)滿足，則下面關(guān)系是恒成立的是（）B.C.D.，11.【2014山東高考理第9題】已知滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（）A.5B.4C.D.212.【2014四川高考理第4題】若，，則一定有（）A．B．C．D．4．若，，則一定有（）A．B．C．D．13.【2014四川高考理第5題】執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為（）A．B．C．D．14.【2014浙江高考理第13題】當(dāng)實(shí)數(shù)，滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15.【2014天津高考理第2題】設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）（A）2（B）3（C）4（D）516.【2014大綱高考理第14題】設(shè)滿足約束條件，則的最大值為.17.【2014高考上海理科】若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為______________.18.【2014高考安徽卷第21題】設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)，.（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；（2）數(shù)列滿足，，證明：.（2013·天津理）8.已知函數(shù).設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A,若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） (A) (B) (C) (D)（2013·上海理）15．設(shè)常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（）(A) (B) (C) (D)（2013·陜西理）9.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x(單位m)(A)[15,20] (B)[12,25](C)[10,30] (D)[20,30]（2013·山東理）12.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為A.B.C.D.（2013·湖南理）10.已知.，所以.（2013·廣東理）9．不等式的解集為___________．（2013·湖南理）20．（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)處?，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。