2025優(yōu)化設計一輪課時規(guī)范練86　離散型隨機變量及其分布列、數字特征

課時規(guī)范練86離散型隨機變量及其分布列、數字特征一、基礎鞏固練1.若隨機變量X的分布列如表,則X的方差D(X)是()X-101P111A.0 B.1 C.14 D.2.一臺機器生產某種產品,如果生產出一件甲等品可獲利50元,生產出一件乙等品可獲利30元,生產一件次品,要賠20元,已知這臺機器生產出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1,則這臺機器每生產一件產品,平均預期可獲利的錢數為()A.36 B.37 C.38 D.393.已知隨機變量ξ的分布列為ξ-101Pabc若a,b,c成等差數列,且E(ξ)=13,則b的值是,D(ξ)的值是.4.醫(yī)學上發(fā)現,某種病毒侵入人體后,人的體溫會升高.記病毒侵入后人體的平均體溫為X(單位:℃).醫(yī)學統(tǒng)計發(fā)現,X的分布列如下.X37383940P0.10.50.30.1(1)求出E(X),D(X);(2)已知人體體溫為X℃時,Y=1.8X+32,求E(Y),D(Y).5.(2024·湖南雅禮中學模擬)一會議舉辦方擬在某單位招募5名志愿者,該單位甲、乙、丙三個部門可分別向單位推選3名志愿者以供選拔,每個部門有3個小組,每個小組可向本部門推選2名志愿者供部門選拔,假設每名志愿者入選的機會相等.(1)求甲部門志愿者入選人數為1的概率;(2)求所招募的5名志愿者來自三個部門的概率;(3)求某小組志愿者入選人數X的分布列及期望.二、綜合提升練6.(2024·陜西西安模擬)某公司計劃在2024年年初將200萬元用于投資,現有兩個項目供選擇.項目一:新能源汽車.據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和29.項目二:通信設備.據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為7.有9個外觀相同的同規(guī)格砝碼,其中1個由于生產瑕疵導致質量略有增加,小明想通過托盤天平稱量出這個有瑕疵的砝碼,設計了如下兩種方案,方案一:每次從待稱量的砝碼中隨機選2個,分別放在天平的左、右托盤上,若天平平衡,則選出的2個砝碼是沒有瑕疵的;否則,有瑕疵的砝碼在下降一側.按此方法,直到找出有瑕疵的砝碼為止.方案二:從待稱量的砝碼中隨機選8個,按個數平分后分別放在天平的左、右托盤上,若天平平衡,則未被選出的那個砝碼是有瑕疵的;否則,有瑕疵的砝碼在下降一側,每次再將該側砝碼按個數平分,分別放在天平的左、右托盤上,…,直到找出有瑕疵的砝碼為止.(1)記方案一的稱量次數為隨機變量X,求X的分布列;(2)上述兩種方案中,小明應選擇何種方案可使稱量次數的期望較小?并說明理由.

課時規(guī)范練86離散型隨機變量及其分布列、數字特征1.D解析E(X)=-1×14+0×12+1×14=0,則D(X)=14×(-1-0)2+12×(0-2.B解析設這臺機器每生產一件產品可獲利X,則X可能取的數值為50,30,-20,所以X的分布列為P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1,所以這臺機器每生產一件產品平均預期可獲利的錢數為50×0.6+30×0.3-20×0.1=37.3.1359解析由a,b,c成等差數列,得由分布列得a+b+c=1,②E(ξ)=-a+c=13,③聯(lián)立①②③,解得a=16,b=13,c=則D(ξ)=(-1-13)2×16+(0-13)2×13+4.解(1)由題可得,E(X)=37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4,D(X)=(37-38.4)2×0.1+(38-38.4)2×0.5+(39-38.4)2×0.3+(40-38.4)2×0.1=0.64.(2)由Y=1.8X+32可知,E(Y)=1.8E(X)+32=1.8×38.4+32=101.12,D(Y)=1.82×D(X)=1.82×0.64=2.0736.5.解(1)設甲部門志愿者入選人數為1的概率為P1,由題得P1=C3所以甲部門志愿者入選人數為1的概率為5(2)設5名志愿者來自三個部門的概率為P2,由題得P2=1-C3所以所招募的5名志愿者來自三個部門的概率為6(3)由題意可知X的取值為0,1,2,P(X=1)=C2P(X=2)=C2P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=12所以X的分布列為X012P141所以E(X)=0×12+1×46.解若投資項目一,設獲利為ξ1萬元,則ξ1的分布列為ξ160-30P72所以E(ξ1)=60×79+(-30)×2若投資項目二,設獲利為ξ2萬元,則ξ2的分布列為ξ21000-60P311所以E(ξ2)=100×35+0×115+(-60)×13=40,所以E(ξ1)D(ξ1)=(60-40)2×79+(-30-40)2×29=1400,D(ξ2)=(100-40)2×35+(0-40)2×115+(-60-40)2×13=5600,所以D(ξ1綜上所述,建議該投資公司選擇項目一進行投資.7.解(1)由題知,X=1,2,3,4,P(X=1)=C1P(X=2)=C8P(X=3)=C8P(X=4)=C82CX1