2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025領(lǐng)航

備考路徑

新課標(biāo)核心考點(diǎn)2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

第7題第16題第15題第14題

3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第7題

第6題4.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

第15題

第10題

第11題5.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題第21題第22題第22題第22題第22題第22題第19題第22題優(yōu)化備考策略考情分析:1.高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,其中導(dǎo)數(shù)運(yùn)算滲透在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中考查,導(dǎo)數(shù)的幾何意義多以客觀題形式呈現(xiàn),難度中等及以下,主要與切線問題有關(guān),分值5分左右;導(dǎo)數(shù)應(yīng)用分為一般應(yīng)用和綜合應(yīng)用,一般應(yīng)用主要涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,以客觀題或解答題的形式出現(xiàn),難度中等,綜合應(yīng)用則以解答題呈現(xiàn),考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式證明、不等式恒成立、函數(shù)零點(diǎn)、雙變量等問題,難度較大,多為壓軸題,分值12分左右.2.高考中的導(dǎo)數(shù)考題,通常與參數(shù)相關(guān),涉及代數(shù)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)學(xué)建模等,滲透了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,對學(xué)生的能力要求較高.復(fù)習(xí)策略:1.明晰重要概念:導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值、最值等概念是解題的基礎(chǔ),應(yīng)明晰這些概念.2.注意數(shù)學(xué)思想方法的合理運(yùn)用:由于導(dǎo)數(shù)考題往往涉及參數(shù)問題,所以經(jīng)常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,應(yīng)在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化這些思想方法的理解與運(yùn)用.3.重視知識交匯與聯(lián)系:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等都有交匯與聯(lián)系,應(yīng)注意它們之間的聯(lián)系,注意對相關(guān)知識的理解與運(yùn)用.4.重視基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握與運(yùn)用.5.善于總結(jié)導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中解決問題的通性通法,做到舉一反三.第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義課標(biāo)解讀1.理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想,體會極限思想.2.能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分12強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)平均變化率:函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為__________,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為__________.

微思考函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率的幾何意義是什么?提示

函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率是指其圖象上兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線的斜率.導(dǎo)數(shù)是用極限來刻畫的

(3)導(dǎo)函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)x=x0時(shí),f'(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù),當(dāng)x變化時(shí),f'(x)就是x的函數(shù),我們稱它為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)),即f'(x)=y'=____________________.

f'(x0)

微點(diǎn)撥關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的理解(1)導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的瞬時(shí)變化率;(2)導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)是平均變化率的極值;(3)導(dǎo)數(shù)的物理意義:若物體運(yùn)動的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為s(t),則s'(t)就是速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;若物體運(yùn)動的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為v(t),則v'(t)就是加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),就是曲線y=f(x)在x=x0處的切線的斜率k0,即k0=__________.

即在點(diǎn)(x0,f(x0))處

微思考已知函數(shù)y=f(x),給定一個(gè)點(diǎn)P(x0,y0),那么f'(x0)就是經(jīng)過點(diǎn)P的切線的斜率嗎?f'(x0)提示

不一定,如果點(diǎn)P在函數(shù)y=f(x)的圖象上,那么f'(x0)就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率,如果點(diǎn)P不在函數(shù)y=f(x)的圖象上,那么f'(x0)就不是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.常用結(jié)論1.曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).2.函數(shù)在點(diǎn)P處的切線,則P就是切點(diǎn),此時(shí)切線有且僅有一條;函數(shù)過點(diǎn)P的切線,則P不一定是切點(diǎn),此時(shí)切線可能有多條.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在P(x0,y0)附近的平均變化率.(

)2.f'(x0)越大,則曲線y=f(x)在P(x0,y0)處切線的傾斜角越大.(

)3.曲線的切線與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn).(

)×××題組二

回源教材4.(人教B版選擇性必修第三冊6.1.3練習(xí)B第4題)已知函數(shù)f(x)=x2,若直線l經(jīng)過點(diǎn)(3,5)且與曲線f(x)=x2相切,則直線l的方程為____________________.

2x-y-1=0或10x-y-25=0

題組三

連線高考5.(2020·全國Ⅰ,理6)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為(

)A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1B解析

對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f'(x)=4x3-6x2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為k=f'(1)=-2.又因?yàn)閒(1)=-1,所以切線方程為y-(-1)=-2(x-1),化簡得y=-2x+1.6.(2019·全國Ⅲ,理6)已知曲線y=aex+xln

x在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則(

)A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1D解析

∵y'=aex+ln

x+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.將點(diǎn)(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念A(yù).-3

B.3

C.-4

D.4B(2)(2024·云南昆明模擬)已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體,且容器內(nèi)液體的高度h(單位:cm)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為

,當(dāng)t=t0時(shí),液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s,則當(dāng)t=t0+1時(shí),液體上升高度的瞬時(shí)變化率為(

)A.5cm/s

B.6cm/sC.8cm/s

D.10cm/sC考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義B(2)(多選題)(2024·福建廈門模擬)已知直線l與曲線f(x)=ln

x+x2相切,則下列直線中可能與l垂直的是(

)AC考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1求曲線的切線方程例3(1)(2024·山東濟(jì)南模擬)在曲線y=ex-3x的切線中與直線x-2y=0垂直的切線方程為(

)A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0 D.2x-y-1=0C(2)(2021·全國甲,理13)曲線

在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為__________.5x-y+2=0(3)(2022·新高考Ⅱ,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為__________,__________.[對點(diǎn)訓(xùn)練](2024·遼寧錦州模擬)已知函數(shù)f(x)=ln

x+x2,則曲線y=f(x)所有的切線中斜率最小的切線方程為__________.

4x-2y-3=0考向2求參數(shù)的值或范圍例4(1)(2024·廣東惠州模擬)已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切,則實(shí)數(shù)a=(

)A.-1

B.1

C.2

D.3C(2)(2024·湖南師大附中模擬)已知曲線f(x)=aex+sin

x在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線2x+y-4=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為__________.

-3解析

因?yàn)閒(x)=aex+sin

x,所以f'(x)=aex+cos

x,則f'(0)=a+1,則a+1=-2,解得a=-3.(3)(2022·新高考Ⅰ,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是______________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)變式探究在本例(3)中,若條件不變,再增加條件“切點(diǎn)分別為(x1,f(x1)),(x2,f(x2))”,則(x1-1)(x2-1)=__________.

1解析

由例4(3)的解答過程可知,x1,x2是方程

+ax0-a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以x1+x2=-a,x1x2=-a