2023-2024學(xué)年吉林省長春市高二年級(jí)下冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長春市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛?！埃墓顬?,且02,°3,。6成等比數(shù)列，則014等于（）

A.46B.48

2.下列式子求導(dǎo)正確的是（）

A仁一cosx）=2x-sinx

）=（1）ln2，=

C（x「「D<）1

3.數(shù)列｛斯｝滿足?！?4ai+3（〃22）且°i=0,則。2024等于（）

A.22023—IB.42023—1

C.22023+lD.42023+1

4.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…即尸⑴二“⑵二】，F(xiàn)（W）=F（?-1）+F（?-2）n>3

〃eN*,此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列的每一項(xiàng)被2除后的余數(shù)構(gòu)

成一個(gè)新數(shù)列則數(shù)列"J的前2020項(xiàng)的和為（）

A.1348B.1358C.1347D.1357

5.設(shè)函數(shù)“幻的導(dǎo)數(shù)為了'（X）,且〃x）=/+2獷'（1）,則/⑵=（）

A.-2B.0C.2D.4

6.從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災(zāi)害嚴(yán)重威脅了國際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫

度的異常、旱澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)造了機(jī)會(huì).已知蝗蟲的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型

了=°百/（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)z=lny,其變換后得到一組數(shù)據(jù)：

X2023252730

Z22.4334.6

由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0-2x+a,則當(dāng)x=35時(shí)，蝗蟲的產(chǎn)卵量y的估計(jì)值為()

A.eB.eC.8D.e

f(x)=_—2x-+ax+1mA~1

7.已知函數(shù)3在區(qū)間M41上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

8.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的

圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得f(b)

—f(a)=f(c)(b—a)成立，其中c叫做f(x)在［a,b］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)

f(x)=(x-2)lnx在［1,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中隨機(jī)抽測了10人的身高和

體重，數(shù)據(jù)如表所示：

編號(hào)12345678910

身高/cm165168170172173174175177179182

體重/kg55896165677075757880

由表中數(shù)據(jù)制作成如圖所示的散點(diǎn)圖,

由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線/1的方程為=1%+1，樣本相關(guān)系數(shù)為人決定系

數(shù)為R?；經(jīng)過殘差分析確定(168,89)為離群點(diǎn)(對應(yīng)殘差過大)，把它去掉后，再用剩下的9對數(shù)據(jù)

計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線辦的方程為=2X+2,樣本相關(guān)系數(shù)為犯，決定系數(shù)為尺2.則以

下結(jié)論中正確的有()

A.eqi>2B.eqB.eqB.eqB.i>2

C.ri<r2D.R?>R2

10.下列不等式恒成立的是（）

A.吃%+1B.]nx<x~1

C.sinx<xD.e^>2x+l

11.已知數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和為S",下列說法正確的是（）

A.若5"="2-3〃+1,則｛%｝是等差數(shù)列

B.若邑=5"+|-5,則｛%｝是等比數(shù)列

??+45?,S=0（n>2\a.=-

C.若V4,則數(shù)列J為遞增數(shù)列

D.若數(shù)列｛"/為等差數(shù)列，2%+3%=豆，則岳。最小

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知數(shù)列｛“'｝的前〃項(xiàng)和為S",%=6,S,=2%+|,則S“=.

13.｛4｝為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前力項(xiàng)和為工，若對任意正整數(shù)〃，均有則

b.

也｝的通項(xiàng)公式"

.；數(shù)列2"的前“項(xiàng)和北二

14.若函數(shù)在（一co,1］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知函數(shù)/（x）=x+x：

⑴求曲線k"x）與直線2x+yT=°垂直的切線方程；

⑵若過點(diǎn)/（°'一3）的直線/與曲線V="x）相切，求直線/的斜率.

16.（15分）

己知等差數(shù)列他｝前〃項(xiàng)和為S"（"eN+）,數(shù)列也｝是等比數(shù)列，q=3,4=1,a+邑=10,

a5-2b2=%

(1)求數(shù)列S”｝和血J的通項(xiàng)公式；

為奇數(shù)

C”='S“

⑵若也，"為偶數(shù),設(shè)數(shù)列的前"項(xiàng)和為北，求&.

17.(15分)

某企業(yè)2024年的純利潤為500萬元，因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不

進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從2024年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2025

年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2025年的利潤為750

萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.

(1)設(shè)從2025年起的第n年(以2025年為第一年)，該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為萬元;進(jìn)行

技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為4萬元,求“"和"；

(2)設(shè)從2025年起的第n年(以2025年為第一年)，該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為4萬元，進(jìn)

行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為左萬元，求4和B”；

(3)依上述預(yù)測，從2025年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改

造的累計(jì)純利潤？

18.(17分)

2024年1月4日，教育部在京召開全國“雙減”工作視頻調(diào)度會(huì)，會(huì)議要求進(jìn)一步提高雙減政治站位,

將“雙減”工作作為重中之重，堅(jiān)定不移推進(jìn)，成為受老師和家長關(guān)注的重要話題.某學(xué)校為了解家

長對雙減工作的滿意程度進(jìn)行問卷調(diào)查(評價(jià)結(jié)果僅有“滿意”、“不滿意”)，從所有參與評價(jià)的對

象中隨機(jī)抽取120人進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示(單位：人)：

滿意不滿意合計(jì)

男性1050

女性60

合計(jì)120

(1)請將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，試根據(jù)小概率值a=。-10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“對雙減工作滿意程

度的評價(jià)與性別有關(guān)”？

(2)若將頻率視為概率，從所有給出“滿意”的家長中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量X表示被抽到的男

性家長的人數(shù)，求X的分布列；

(3)在抽出的120人中，從給出“滿意”的家長中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“不滿意”的

對象中抽取"3")人.現(xiàn)從這00+機(jī))人中,隨機(jī)抽出2人，用隨機(jī)變量丫表示被抽到的給出

“滿意”的女性家長的人數(shù).若隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望不小于1,求加的最大值.

2n(ad-bey

參考公式：(”+6)(c+d)a+cX6+d),其中”=a+6+c+d

參考數(shù)據(jù)：

p(0.100.050.0250.0100.0050.001

%2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(17分)

已知函數(shù)，(x)=x3+ax2+6x-2(a,6eR).

(1)當(dāng)6=0時(shí)，討論/(“)的單調(diào)性;

（2）若/（X）在點(diǎn)QJ（2））處的切線方程為15一了-16=0,若對任意的

恒有/'（x）-2f"lnx,求才的取值范圍（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

答案

單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1.C2.C2.C3.B4.C5.B6.A7.D8.B

二.多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。）

9.AC10.AB11.BC

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

6.但『52"5

12.12)13.'〃一方+1(2分)；2〃(3分)14.(—co,—e]

1.已知等差數(shù)列｛冊｝的公差為4,且Q2,的，恁成等比數(shù)列，則。14等于（）

A.46B.48C.50D.52

答案C

解析由題意得。3=。2。6=（。3—4）（的+3*4）,

解得的=6,

所以。14=的+11x4=50.

2.下列式子求導(dǎo)正確的是（）

2

A(x-cosx)=2x-sinxc(xef)=(l-x)er口

B.

(ln"

【正確答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式分別求導(dǎo)數(shù)即可，注意A中的余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，B中的分式求導(dǎo)

可轉(zhuǎn)化為募函數(shù)求導(dǎo)，C中注意e-,求導(dǎo)要用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，D中的ln2是常數(shù)，求導(dǎo)為零,

不同于In尤在x=2時(shí)導(dǎo)數(shù)值.

【詳解】?；"）=-smx(x2-cosx)=2x-(-sinx)=2x+sinx

(xe-x)=xL+x(e-xy=e-x+x(-e-x)=(l-x)e

???In2是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,.?.（ln2）'=0,

故選：C

3.數(shù)列｛a”｝滿足a”=4a”—]+3（佗2）且=0,則（22024等于（）

A.22023—1B.42023—1

C.22023+1D.42023+1

答案B

解析“=4。"-1+3（論2）,

.■-a?+1=4（?！ā猍+1）（?>2）,

???｛a“+l｝是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

則a.+l=4"T.

“”=41—1,

???。2024=42°23—1.

4.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…即尸°）=尸0）=】，尸（〃）=尸（1）+尸（力百"3

〃eN*,此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列的每一項(xiàng)被2除后的余數(shù)構(gòu)

成一個(gè)新數(shù)列｛%｝,則數(shù)列｛“"｝的前2020項(xiàng)的和為（）

A.1348B.1358C.1347D.1357

【正確答案】C

由題意可知，得數(shù)列｛%｝是周期為3的周期數(shù)列，前3項(xiàng)和為1+1+°=2,又2020=673x3+1,由

此可得答案

【詳解】解：由數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得數(shù)列

｛%｝為1,1,0,1,1,0,1,1,0,…，

所以數(shù)列｛“"｝是周期為3的周期數(shù)列，前3項(xiàng)和為1+1+°=2,

因?yàn)?020=673x3+1,

所以數(shù)列｛“"｝的前2020項(xiàng)的和為673x2+1=1347

故選：C

5.設(shè)函數(shù)/（X）的導(dǎo)數(shù)為/（X）,且/（幻=》2+24’⑴，則八2）=（）

A.-2B.0C.2D.4

【正確答案】B

【分析】可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令'=2求出/"(2)即可.

【詳解】因?yàn)?(X)=X2+24'(1),所以/'(x)=2x+2/'⑴，

所以/3=2+2/'⑴，所以/'(1)=-2,

所以八X)=2X-4,所以八2)=4-4=0.

故選：B

6.從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災(zāi)害嚴(yán)重威脅了國際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫

度的異常、旱澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)造了機(jī)會(huì).已知蝗蟲的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型

了=。聲2、(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))擬合，設(shè)z=My,其變換后得到一組數(shù)據(jù)：

X2023252730

Z22.4334.6

由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0-2x+a,則當(dāng)》=35時(shí)，蝗蟲的產(chǎn)卵量y的估計(jì)值為()

A.e5B.e6C.8D.e10

【正確答案】A

【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求出。，由此可求歹=,聲:

-1-1

x=-x(20+23+25+27+30)=25z=—x(2+2.4+3+3+4.6)=3

【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：5',5、

因?yàn)閿?shù)對(尺見滿足z=O2x+a,得a=3-0.2x25=-2,

...2=0.2X-2,即lny=0.2x-2,...N=小-，仃=35時(shí)，^=盤

故當(dāng)x=35時(shí)，蝗蟲的產(chǎn)卵量y的估計(jì)值為e1

故選：A.

f(X)二一―212+(jx+1「八A~\

7.已知函數(shù)3在區(qū)間9，4」上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，可得/'(X)2°在可上恒成立，分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

f(X)=_%3—212+(2X+1S4］

【詳解】因?yàn)?在區(qū)間回力上單調(diào)遞增，

所以/'(x)=/-4x+"之°在［0,4］上恒成立，即心__+4》,

又當(dāng)xe［0,4］時(shí)，函數(shù)y=_x2+4x=_(x_2)2+4,在x=2時(shí)取得最大值4,

所以"Mr*+旬皿=4,所以q的最小值為4

故選：D.

8.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)作)在閉區(qū)間［a,可上的

圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(。，6)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為了(x),那么在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得人6)

—M=f(c)(b—a)成立,其中c叫做人x)在［a,6］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)

負(fù)x)=(x—2)lnx在［1,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案B

2

解析了(x)=l+lnx—%

設(shè)xo為函數(shù)｛x)=(x—2)lnx在［1,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，

2兀2口一兀1口

則］+lnx()_xO=2—1=0,

2

令g(x)=l+lnx—x,l<x<2,

12

則g'(x)=^+x2>0在［1,2］上恒成立，

2

故g(x)=l+lnx—x在［1,2］上單調(diào)遞增，

又g(l)=l—2=—1<0,g⑵=l+ln2—l=ln2>0,

由零點(diǎn)存在定理可得，存在唯一的劭［1,2］,使得g(x())=0.

9(多選)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中隨機(jī)抽測了10人的身高

和體重，數(shù)據(jù)如表所示：

編號(hào)12345678910

身高/cm165168170172173174175177179182

體重/kg55896165677075757880

由表中數(shù)據(jù)制作成如圖所示的散點(diǎn)圖,

體重/kg

100

90

8()

70

60

5()

40

3()

2()

1()

°464166168170172174176178180182184>^/cm

由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為=i%+1，樣本相關(guān)系數(shù)為門，決定系

數(shù)為氏2；經(jīng)過殘差分析確定(168,89)為離群點(diǎn)(對應(yīng)殘差過大)，把它去掉后，再用剩下的9對數(shù)據(jù)

計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線/2的方程為=2工+2,樣本相關(guān)系數(shù)為尸2,決定系數(shù)為火2.則以

下結(jié)論中正確的有()

A.i>B.i>

R

C.r1<r2D.R?>2

答案AC

解析身高的平均數(shù)為

165+168+170+172+173+174+175+177+179+182

=173.5,

因?yàn)殡x群點(diǎn)(168,89)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5,縱坐標(biāo)89相對過大,

所以去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，

所以1>2,1<2,所以A正確，B錯(cuò)誤；

去掉離群點(diǎn)后成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，

所以廠1q2,R2<R2,所以c正確，D錯(cuò)誤.

10(多選)下列不等式恒成立的是()

A.&*>%+1B.lnx<x—1

C.sinx<xD.6*>2%+1

答案AB

解析對于A,設(shè)於)=H—x—1,/(x)=e"-l,

當(dāng)x€(—oo,0)時(shí)，f(x)<0,7(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x€(0,+oo)時(shí)，f(x)>0,段)單調(diào)遞增，

所以7(X)min=/(0)=0，即為：+1,故A正確；

對于B,設(shè)g(x)=ln%—x+1,x>0,

11—x

g，(x)=x—1=X，

當(dāng)在。1)時(shí)，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xE(l,+oo)時(shí)，g'(%)vO,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g(D=O，即InxSr—1,故B正確；

兀71

對于C,當(dāng)、=一2時(shí)，sin=-1,此時(shí)sin>—2,故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)x=l時(shí)，e<2+l,故D錯(cuò)誤.

11.己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,下列說法正確的是()

A.若S“=/-3〃+l,則｛%｝是等差數(shù)列

B,若S“=5'用-5,則包｝是等比數(shù)列

a?+4S?,S?=0(n>2),a,=-

C.若4,則數(shù)列〔七J為遞增數(shù)列

D.若數(shù)列總｝為等差數(shù)列，2%+3%=凡，則%最小

【正確答案】BC

【分析】借助等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推關(guān)系逐項(xiàng)計(jì)算即可得.

【詳解】對于選項(xiàng)A,%=E=T,%=S2-d=-1-(-1)=0,%=S3-邑=1-(-1)=2,

2a2#%+%,不滿足｛%｝是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)"=1時(shí)，?i==20,

當(dāng)，22時(shí)，氏=5—九=5--5-(5--5)=4x5"；

^±k=5

因?yàn)椤?1時(shí)也滿足上式，所以4=4x5”,則％,

所以是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,因?yàn)?+4S",=0(心2),所以S“-九+4S"=0,

±-J_=4

因?yàn)镾"°,所以s”s”T,

!4-

因此數(shù)列［S"為以E為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)c正確;

對于選項(xiàng)D,設(shè)數(shù)列｛""｝的公差為d,因?yàn)?%+3%=$6,所以2%+3%+6d=6%+15d,

即％+94=°,當(dāng)d<°時(shí)，5,沒有最小值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

12.已知數(shù)列｛""｝的前"項(xiàng)和為S",a'=6,S"=2a"+|,貝|」S"=.

.pr,

【正確答案】6

=3

【分析】由$"=2。用=2S〃M-2S,求得S“2；求出H=6,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

%3

【詳解】由題意得￡=2ae=2s.s,又S］=%=6,則S,2

3S,=6門廣

故數(shù)列｛SJ是以6為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列，則”s

n-1

3

6-

故答案為.

13.｛2｝為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前“項(xiàng)和為若對任意正整數(shù)〃，均有$2向=6/用，則數(shù)列

閨

〔2"J的前〃項(xiàng)和北=_______.

52〃+5

【正確答案】—一F

bn_2〃+1

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)求出或，得到m=”「，再利用錯(cuò)位相減法求解即

可.

［詳解］?.?｛4｝為等差數(shù)列且邑用=她明

伽+帥+%)_(2〃+l)x2%

=(2"+1)6向=6也+i

22

bn_2〃+1

又4H。，.也=2〃+1,...52〃

T5,,2〃+l1352/7+1

"-2'222"①，../小級(jí)+3+…+2向②,

1.3222?+131112"+1

由①一②，得2021222"2"+1221222,,+1,

41-rr]

_32|_⑵」2〃+1_5__1__2〃+1_52〃+5

~2'12tt+1~2~2^一~2n+1~2--2/1

1—

2,

5.2

.?.〃2〃.

2〃+5

故a=2〃+1--F

14.若函數(shù)4）="+^在（-8,1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是

答案（-8,-e]

解析由題意知，

/（%）=〃+廿00在（一8,1]上恒成立，

得tz<（—e^）min,

又函數(shù)》=—^在（一oo,1]上單調(diào)遞減，

所以（一力?1出=-e,所以a<~e.

15.已知函數(shù)"x）=x+/.

⑴求曲線V=/G）與直線2x+"l=°垂直的切線方程；

⑵若過點(diǎn)"（°'一3）的直線/與曲線產(chǎn)/（x）相切，求直線I的斜率.

【正確答案】（1）8工-16y-3=°

(2尸或5

【分析】(1)求出切線的斜率，再寫出切線方程；

(2)根據(jù)切線的斜率與直線/的方程列方程組求解即可.

/'(%)=]+413_

【詳解】(1)因?yàn)?、+yT=°斜率為一2,所以―2,

所以又個(gè)H+3W

所以所求切線方程為TWJTTI即…61=0.

（2）/'（x）=l+4x;設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為直線/的斜率為左，直線/的方程：>=日-3

1+4加3=k,

<

則［m+m4=km-3,

則v,整理得加=1,所以加=±1,

所以左=1+4m3=_3或5.

16.已知等差數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為3（〃eN+）,數(shù)列也｝是等比數(shù)列，囚=3,4=1,

b2+S2=10a5-2b?=a3

（1）求數(shù)列｛%｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2

為奇數(shù)

g=jS.

⑵若也，〃為偶數(shù)，設(shè)數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和為1,求耳,

【正確答案】⑴""=2〃+1,bn=2"-'；

1+22"+1___1_

⑵T2n32〃+1

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列也“｝的公比為0（q*°）,根據(jù)等差等比數(shù)

列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算可得結(jié)果.

（2）求出S"="（"+2）,代入求出C",再分組求和，利用裂項(xiàng)求和方法和等比數(shù)列的求和公式可求

得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列S"｝的公差為“，等比數(shù)列｛6/的公比為夕（4*°）,

%=3b1-1Z?2+S?-10—2b2~

Jq+3+3+d=10

得13+4"-21=3+2d,解得d=2,q=2,

所以4=2〃+lJ=2"T

S”=〃（3+2.+1）=.（〃+2）

（2）由（1）知，2,

c~~......2.......——1—....1.....

因此當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，""("+2)〃〃+2,當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，c"=2”\

所以心〃=C1+。2+°3+。4+%+…+。2〃-1+C2n

=---------5—)+(21+23+25+…+221)

3352〃-12n+l

T___112(1-4")_l+22n+1___1_

~~2n+l1-4--3-2/7+1.

17.某企業(yè)2024年的純利潤為500萬元,因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.

若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測從2024年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,

2025年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2025年的利潤

為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.

(1)設(shè)從2025年起的第n年(以2025年為第一年)，該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為%萬元;進(jìn)行

技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為“萬元，求和”；

(2)設(shè)從2025年起的第n年(以2025年為第一年)，該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為4萬元，進(jìn)

行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為B"萬元，求4和B”；

(3)依上述預(yù)測，從2025年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改

造的累計(jì)純利潤？

“=5001+/口?500

［正確答案］(1)=50。-20〃，L(2川⑵4=490"-10"(3)至少經(jīng)

過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤.

【分析】(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求巴和2

⑵凡是數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，紇是數(shù)列3"｝的前”項(xiàng)和減去600,利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前

九項(xiàng)和公式求出即可

(3)作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論

【詳解】(1)由題意得"J是等差數(shù)列，%=480,"=-2°

所以=500-20"

小*?」=750,%=氣+250

由題意得2

所以"「500=*，…。)

所以也+「500｝是首項(xiàng)為250,公比為g的等比數(shù)列

n-\

，-500=250

所以I

n-\

=500+250||

b,I=5001+

所以I

(2)4是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

斤以4=500/2+〃(丁)X(-20)=490〃-10?2

B，，是數(shù)列我｝的前〃項(xiàng)和減去600,所以

屬=500(1+；+1+?+……+l+f-600

=500500n---100

2”

以=500〃-券一100-(490〃一10〃2)

(3)

=107?2+10n---100

T

易得此函數(shù)當(dāng)"?N*時(shí)單調(diào)遞增

且〃=1,2,3時(shí)紇

〃=4,5,6.......時(shí)紇-4“>0

所以至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤

將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤.

本題考查的是數(shù)列的綜合知識(shí)，包含通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和的求法及數(shù)列的單調(diào)性.

18.2024年1月4日，教育部在京召開全國“雙減”工作視頻調(diào)度會(huì)，會(huì)議要求進(jìn)一步提高雙減政治

站位，將“雙減”工作作為重中之重，堅(jiān)定不移推進(jìn)，成為受老師和家長關(guān)注的重要話題.某學(xué)校為

了解家長對雙減工作的滿意程度進(jìn)行問卷調(diào)查(評價(jià)結(jié)果僅有“滿意”、“不滿意”)，從所有參與評

價(jià)的對象中隨機(jī)抽取120人進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示(單位：人)：

滿意不滿意合計(jì)

男性1050

女性60

合計(jì)120

(1)請將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，試根據(jù)小概率值a=。-10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“對雙減工作滿意程

度的評價(jià)與性別有關(guān)”？

(2)若將頻率視為概率，從所有給出“滿意”的家長中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量X表示被抽到的男

性家長的人數(shù)，求X的分布列；

(3)在抽出的120人中，從給出“滿意”的家長中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“不滿意”的

對象中抽取"3")人.現(xiàn)從這0°+加)人中，隨機(jī)抽出2人，用隨機(jī)變量丫表示被抽到的給出

“滿意”的女性家長的人數(shù).若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不小于1,求加的最大值.

2n{ad-bc^

彳=-----------------------

參考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(6+d),其中〃=a+6+c+d.

(2)分布列見解析；

(3)2

【分析】(1)先完善列聯(lián)表，計(jì)算出力,結(jié)合臨界值表即可求解;

（2）先求出抽到男性家長的概率，判斷出隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，再由二項(xiàng)分布的概率公式列

出分布列即可；

（3）先由分層抽樣求出滿意的家長中男性家長和女性家長的人數(shù)，得出y的取值為0,1,2,分別

求出對應(yīng)概率，求出期望，解不等式即可求解.

【詳解】（1）列聯(lián)表如下：

滿意不滿意合計(jì)

男性401050

女性601070

合計(jì)10020120

,120x（40x10-10x60）2

r2=----------------------------Lx0.686<2.706

零假設(shè)：“對雙減工作滿意程度的評價(jià)與性別無關(guān)”50x70x100x20,所

以沒有充分證據(jù)證明零假設(shè)不成立，所以沒有90%的把握認(rèn)為“對雙減工作滿意程度的評價(jià)與性別

有關(guān)“（或直接說無關(guān)）；

402

（2）從所有給出“滿意”的家長中隨機(jī)抽取1人為男性的概率為1。。5,且各次抽取之間相互獨(dú)立,

3,|

所以

p(x=o)=

所以

8

p(X=2)=C；

125

故X的分布列為:

X0I23

2754368

P

125125125125

（3）（此題直接用超幾何分布的期望公式做更好）從給出“滿意”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽

.?40.1八60一

lOx----=4lOx----=6

取10人，其中男性有100人，女性有100人，則y的取值為0,I,2,

「201「1「2

尸a=0)=廿，尸(y=i)=^"^，p(y=2)=h

^Tn+lO加+ioL加+10,則隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望

「201pl021)

m+6

E(Y}=0x-^-+lxf+2x--^-=--------

?CLoct10Ct10〃?+10,

_^>1^

則機(jī)+10,解得加W2,又〃?eN,故加的最大值為2.

19.已知函數(shù)"x)=x3+)+6x-2(a,6eR).

（1）當(dāng)6=0時(shí)，討論了（X）的單調(diào)性；

reJ

（2）若/（X）在點(diǎn)2/（2））處的切線方程為1卜一了-16=0,若對任意的X*「

恒有/'6）-2dInx,求‘的取值范圍（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

z_2a

【正確答案】（1）當(dāng)。=°時(shí)，/（X）在&上單調(diào)遞增；當(dāng)。>0時(shí)，/^）在「8廠行從‘叼上單調(diào)

遞增，在3上單調(diào)遞減；當(dāng)"0時(shí)，/（X）在3上單調(diào)遞增，在3上單

3e2-e

t>--------

調(diào)遞減；（2）2

【詳解】試題分析：

（1）求導(dǎo)數(shù)，分°=°，。>°和°<°三種情況分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)情

況.（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得“一一5/一1,從而/'（x）=3x"x+l.故由題意得

-11「1-

XE.—,€/211XE.—,C

293-7+1-地對任意