2024屆安慶高三三模數(shù)學(xué)試題含答案

安慶示范高中2024屆高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題2024.4

命題單位：安慶一中審稿單位：太湖中學(xué)、野寨中學(xué)、石化一中

考生注意：

1.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知線段是圓。的一條長為4的弦，則?萬?麗=（）

A.4B.6C.8D.16

2.復(fù)數(shù)z滿足（4+3i+z）i=2—i,則目=（）

A.V10B.V26C.V34D.5A/2

3.已知圓錐尸。的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）

A.4:1B.3:1C.2:1D.8:1

4.已知一組數(shù)據(jù)七,％2,…,X"]的平均數(shù)為X，另一組數(shù)據(jù)%,丁2/一，%的平均數(shù)為丁（刀/?。?若數(shù)據(jù)

--1

X1,X2,---,%,“，％,當/一，%的平均數(shù)為2=。工+（1-。）丁，其中則機，〃的大小關(guān)系為（）

A.m<nB.m>nC.m=nD.加,”的大小關(guān)系不確

定

5.已知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點F到其準線的距離為2,點M（和%）是拋物線C上

兩個不同點，且（X[+，^々）（七一=8，則典=（）

A.—B.———C.^3D.3

33

6.已知函數(shù)〃%）=閡司的圖象經(jīng)過點（2,8）,則關(guān)于x的不等式9〃x）+f（4—/）<。的解集為（）

A.（-co,-4）U（l,+°o）B.（-4,1）

C.(-co,-l)U(4,+oo)D.(-1,4)

7.在正方體ABCD-4B1G2中，點E,尸分別為棱AB,AD的中點，過點E,F,Q三點作該正方體的截面,

則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱3片的交點是棱3片的一個三等分點

C.平面GEP

D.平面A"D]〃平面G"

8.若項數(shù)均為Mn22,〃eN*）的兩個數(shù)列{q,},{〃}滿足%-4=左（左=1,2,…，且集合

{%,的,…，4也也，…也}={1,2,3,…,2"},則稱數(shù)列{q,},也}是一對“〃項緊密數(shù)列”.設(shè)數(shù)列

{4},也,}是一對“4項緊密數(shù)列”，則這樣的“4項緊密數(shù)列”有（）對.

A.5B.6C.7D.8

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知集合4={%€2，—2x—8＜0卜集合5={x[9，＞3"',MeR,xeR},若AA3有且僅有3個不

同元素，則實數(shù)根的值可以為（）

A.0B.1C.2D.3

10.已知函數(shù)/（x）=kin%|+cos|2x],則（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為萬

B.函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增

o

C.函數(shù)“X）的最大值為一

g

D.若方程〃x）=a（aeR）在『肛句上有且僅有8個不同的實根，則1＜。（一

8

2

11.直線/與雙曲線石：爐—匕=1的左、右兩支分別交于43兩點，與E的兩條漸近線分別交于C、D

9

兩點，A、C、D、6從左到右依次排列，則（

A.線段A3與線段CD的中點必重合B.|AC|=|BD|

C.線段AC,CD,的長度不可能成等差數(shù)列D.線段AC,CD,的長度可能成等比數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.

12.在（3孫2十工]的展開式中，不含字母y的項為_______.

[y）

13.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1,2,3,4,4.現(xiàn)甲從中隨機摸出一

個球記下所標數(shù)字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字，若摸出的球上所標數(shù)字大即獲勝（若所

標數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

14.由函數(shù)〃x）=lnx圖象上一點P向圓C:/+（y—2）2=4引兩條切線，切點分別為點45,連接AB,

當直線A3的橫截距最大時，直線A3的方程為,此時cosNAPB=.（第1空2分，

第2空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本題滿分13分）

隨著生活水平的不斷提高，老百姓對身體健康越來越重視，特別認識到“肥胖是禍不是?！?某校生物學(xué)社

團在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關(guān)關(guān)系研究中，利用簡單隨機抽樣的方法得到40組樣本數(shù)據(jù)

（x,.,y,.）（z=1,2,3,-??,40,20<%,.<60）,其中七表示年齡，%表示脂肪含量，并計算得到7=48,亍=27,

作出散點圖，發(fā)現(xiàn)脂肪含量與年齡具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到其線性回歸方程為$=0.591X+B.

（1）請求出b的值，并估計35歲的小趙的脂肪含量約為多少？

（2）小趙將自己實際的脂肪含量與（1）中脂肪含量的估計值進行比較，發(fā)現(xiàn)自己的脂肪含量嚴重超標，于

是他打算進行科學(xué)健身來降低自己的脂肪含量，來到健身器材銷售商場，看中了甲、乙兩款健身器材，并通

過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：

甲款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數(shù)10403020100

乙款使用年限統(tǒng)計表

使用年限5年6年7年8年合計

臺數(shù)30402010100

如果小趙以使用年限的頻率估計概率，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計，小趙應(yīng)選擇購買哪一款健身器材，才能使用更

長久？

16.（本題滿分15分）

如圖,在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB1AD,AP1DP,CD=3AB=3,AD=2AP=4,PB=45,

AD=4AE,連接BE,CE,PE.

D

B

（1）求證：平面P8E，平面PCE；

（2）求直線CE與平面PCD所成角正弦值的大小.

17.（本題滿分15分）

已知函數(shù)/（x）=xlnx-ax｛aeR）在點（e,/（e））處的切線平行于直線x-y=0.

（1）若/（%）2Mx-e?對任意的X￡（0,+GO）恒成立，求實數(shù)機的取值范圍;

（2）若天是函數(shù)〃（x）=/（%）+X?的極值點，求證：/（x0）+3x0>0.

18.（本題滿分17分）

已知數(shù)列｛%｝的首項等于3,從第二項起是一個公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列?

（1）求數(shù)列｛4｝的前幾項的和S“；

，且勿J。3],若數(shù)列｛d｝的前〃項的和為7；,求tan1.

(2)設(shè)數(shù)列［bn］滿足tanbn=

S"nV2J

19.（本題滿分17分）

2

已知橢圓/=圓。2：/+丁=1.

Q）點3是橢圓C]的下頂點，點P在橢圓C|上，點。在圓C2上（點P，Q異于點3），連直線

與直線的斜率分別記作尢，&，若左2=4尢，試判斷直線尸。是否過定點？若過定點，請求出定點

坐標；若不過定點，請說明理由.

（2）橢圓G的左、右頂點分別為點A，4,點石（異于頂點）在橢圓G上且位于％軸上方，連4E&E

分別交y軸于點M,N,點歹在圓。2上，求證：引0?川=0的充要條件為石尸〃大軸.

安慶示范高中2024屆高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題參考答案

題號1234567891011

選項CDABACBBABACDABD

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.C【解析】由條件知質(zhì)?通=!薪2=』x42=8,故選C.

22

2.D【解析】由條件知z=——4—3i=—『―4—3i=—5—5i,所以目=50,故選D.

3.A【解析】根據(jù)條件可知其外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2:1,所以其表面積之比為4:1,故選A.

4.B【解析】由題意可知玉+々+…+/=加%，%+%+…+%=〃丁，再+%2+…+/+%+

y2H----機+〃）z,于是mx+ny=（m+n）z,又z=〃x+（l-a）y,所以

陰%+盯=（機+〃”=（機++,所以加=（加+幾）〃,〃=（加+〃）（1一〃），兩式相減得

m-n=（m+n）（2a-l）＞0,所以加＞〃，故選B.

5.A【解析】由已知得—=4y,所以x；=4%,*=4為，根據(jù)伍+6%2乂%一百%）=8得％；-3月=8

即4%—12%=8,于是必+1=3（刈+1），即|MF|=3|NF|,所以第故選A.

6.C【解析】由題意知"2）=4。=8,解得a=2,所以〃x）=2x|x|,其在R上單調(diào)遞增，且函數(shù)

/（%）為奇函數(shù)，9/（x）=/（3x）,所以不等式9/（x）+/（4-x2）＜0可化為

/（3x）＜—/（4——）=/（/一4）,于是3%＜一一4,即x2一3x-4〉0,解得x〉4或x＜—l,故選C.

7.B【解析】將線段所向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱CD的延長線交于C,H,連GCG”

分別與棱BB],DD]交于P,Q,則可得到截面多邊形QPEFQ是五邊形,A錯誤；因BG=1BC=

所以"=蛆=」，于是截面與棱3月的交點P是棱33]的一個三等分點，B正確，因4c與GP不垂

PBlBgi2

直，GPu平面GER，所以4c與平面GEF不垂直，選項C錯誤；因平面A3Q],所以平面

GEE與平面A3J2不平行，選項D錯誤，故選B.

8.B【解析】由條件知%-4=1,。2=2,%-==3,4-==4,

于是(弓+a。+%+%)—(偽+b,+63+%)=10，

又(q+%+%+%)+3+4+/+4)=-----=36,

所以q+%+%+%=23,b]+b,+/+%=13,

于是“4項緊密數(shù)列”有{a,}：8,5,4,6,也}：7,3,1,2;{4}：8,4,6,5,也}:7,2,3,1；

{an}:7,3,5,8,[bn}:6,1,2,4;{??}:3,8,7,5,:2,6,4,1;{a?}:2,7,6,8,{Z7?}:1,5,3,4;{an}:2,6,

8,7,{〃}:1,4,5,3共有6對，故選B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.AB【解析】由條件知4={%=2—2%-8<0}={—1,0,1,2,3},B={x|9A>3m,meR,xeR}=

rrinj

4工%〉一卜，要使AnB有且僅有3個不同元素，則0(一<1,解得。<加<2,結(jié)合備選答案，AB符

、2J2

合，故選AB.

10.ACD【解析】由條件可知/(x)=|sinx|+cos|2x|=|sinx|+cos2x,因

/(%+?)=|sin(x+^)|+cos2(x+^-)=|sinx|+cos2x=/(x),又函數(shù)y=|sinx|與y=cos2x的最小正

周期均為萬，所以函數(shù)/(x)的最小正周期為萬，A正確；又/(—%)=卜布(—％)]+cos(—2%)=/(%),所

rr

以函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，考慮當xe0,萬時，

9

/(%)=sinx+cos2x=-2sin2x+sin%+1=-2sin%——+—,所以B錯誤，C正確，又

8

0,作出函數(shù)/（x）的大致圖象，即可判斷D正確，故選ACD.

y=kx+m

11.ABD【解析】設(shè)直線/:y=依+加,4（%1，%）,5（%2，%），。（％3，%），。（冗4，、4），聯(lián)立＜

x----=

y=kx+m

21m2

x-2kmx-m-9=0,于是％+%2-,xx2=-，聯(lián)立<。v得

129-k2129-k2%2_2_=o

I9

（9——）*_2kmx-m22km

=0,于是x+x，所以國+9=%3+%4，因此線段AB

349-k2

與線段CD的中點必重合，A正確；設(shè)中點為P,則1PAi=|尸坨|尸。=戶必，所以H。|二忸。|,B正確;

假設(shè)線段ACCROB的長度成等差數(shù)列，貝！JMC+|DB|=2|CD|,所以|AH=3|CO|,于是

I%1-X|,+%2）2-23+%4-

-X2\=3|x34兩邊同時平方并整理得（X4玉%=91（入『4%3%4,于是

當4]-4x~m~~9=9（屈，]，展開整理得8加2+左2=9,該方程有解，所以存在

-4X^7

9-k2J9-k2[y9-k2J9-k2

直線/，使得線段AC,CD,的長度成等差數(shù)列，C錯誤；同上推理，當線段AC,CD,的長度相等時，

線段AC,CD,的長度成等比數(shù)列，D正確，故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.135/

Z、4

【解析】由條件可知不含字母y的項為C；（3盯2）2=135/.

3

1+2+C”；_9

【解析】設(shè)事件“甲獲勝”為事件A,事件“乙摸到2號球”為事件3,則P（A）==25

3

295=-,故填

33

25

2-7

14.ex-y-2=0,e^---

-e2+l

【解析】設(shè)點P（f,lnf）,則以線段PC為直徑的圓的方程為x（x-）+（y—2）（y—1皿）=0,整理得

x2+y2-/%-（2+In?）y+21n?=0,與圓C:x?+（y-2）?=4相交，得直線

AB:tx+（\nt-2）y-21nt=0,令y=0,貝1]%=號止，構(gòu)造函數(shù)g（z）=f,對其求導(dǎo)得

g（）=2（1Jn/）,令g,（（）=o,貝|j/=e,于是函數(shù)g?）在（o,e）上單調(diào)遞增，在（e,+co）上單調(diào)遞減,

其最大值為g（e）=*,此時直線AB的方程為

e

+l,smZAPC=于是cosZAPB=cos2ZAPC=

e2+l

2e-7

l-2sin2ZAPC=——

e2+l

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.解：(1)因線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心(x,y),

所以將x=48,y=27代人y=0.591%+^,

得至I]A=27-0.591x48=-1.368.

于是$=0.591x-1.368,

當x=35時，$=0.591x35—1.368=19.317.

所以方的值為-1.368，估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317.

(2)以頻率估計概率，設(shè)甲款健身器材使用年限為X(單位：年)，則X的分布列為

X5678

p0.10.40.30.2

于是E(X)=5x0.1+6x0.4+7x03+8x0.2=6.6.

設(shè)乙款健身器材使用年限為y(單位：年)，則y的分布列為

Y5678

P0.30.40.20.1

于是E(y)=5x0.3+6x0.4+7x0.2+8x0.1=6.1.

因E(x)〉E(y),所以小趙應(yīng)購買甲款健身器材才能使用更長久.

71

16.解：(1)因AP，DP,AD=2AP=4,所以=

又標=4/，所以AE=1,

根據(jù)余弦定理知

PE2=AE2+AP2-2xAExAPxcosZPAD=l+4-2xlx2x-=3,

2

又CD=3AB=3,AD=4,AB1AD,所以BE=&,CE=3四,BC=275,

于是BE2+PE?=PB=所以尸

BE2+CE2=BC2,于是BE_LCE,

因PEnCE=E，所以BE,平面PCE,

又BEu平面PBE,所以平面PBEL平面PCE.

（2）如圖，以點E為原點，分別以ED,EP所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系.

則網(wǎng)0,0,百）,C（3,3,0）,。（0,3,0）,3（1,—1,0）

于是比=（3,3,0）,

設(shè)平面PCD的法向量為m=（x,y,z）,

又反=（3,3,-V3）,DC=（3,0,0）,

m-PC=3x+3y-V3z=0一/i-\

于是______.）,所以不妨取機=0』,G,

m?DC=3%=0

設(shè)直線CE與平面PCD所成角為。,

EC-m341

則sin0-cos（EC,m

|EC|.|m|-3A/2X2-4

所以直線CE與平面PCD所成角的正弦值為—.

4

17.解：對函數(shù)求導(dǎo)得/'（%）=lnx+1-〃，

所以/'（e）=1+1—〃=2—1=1,

解得a=1.

（1）由題意可知力皿—X+1,m對任意的xe（0,+00）恒成立，

X

2/2>

即Inx-ld2加對任意的x￡（0,+8）恒成立，只需Inx-ld--->m,

e

令g(x)=lnx-ld---,x>0,

12_2

對其求導(dǎo)得g\x)=--^=三｝,

所以當xe(0,e2)時,gr(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當xe(e2,+oo)時，g'(x)〉O,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以且⑶而廣且肉卜？—1+1=2,

于是根<2,因此實數(shù)機的取值范圍是(-00,2].

(2)由條件知/z(x)=%lnx-%+%2,對其求導(dǎo)得"(%)=lax+2%,

2

函數(shù)"(%)在(0,+00)上單調(diào)遞增，且勿I-1+-<0"(1)=2>0

所以存在毛￡廣,1),使/(/)=0,即In%。+2%=0,

當x￡(O,%o)時，/zz(x)<0,函數(shù)/z(x)單調(diào)遞減；

當天￡(%+8)時,"(x)>0,函數(shù)人(%)單調(diào)遞增，

于是不是函數(shù)/z(x)的極值點，

所以/(%0)+3玉)=xolnxo+2%=-2XQ+2X0=2x0(l-x0)>0,即得證.

18.解：(1)因%,為，。8成等比數(shù)列，所以=。2。8，即(g+4)2=〃2(。2+12)，

解得“2=4,

所以當〃>2,〃eN時，an=2n,

又％=3不符合上式，

,、f3,n=1

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為。〃二

[2n.n>2

因止匕S]=a[=3,

當〃22,〃wN*時，S〃=3+4+6H----F2〃=3+——D(4+2")=n2+n+l,

又S]=3符合上式，

所以當V幾￡N*時，5〃=+〃+].

1(n+l)-n

（2）由（1）矢口tan2

n2+n+ll+(〃+l)〃

令tanc〃=凡

(?+l)-n_tan%]-tang

所以tanb.=tan(%+I一%)

l+(n+l)n1+tancn+1tancn

又心喝＞所以以=G+i—T

—e吟

因此，=4+a+&+…+2=（。2一。1）+（。3-。2）+（。4一。3）+一,+（。"+1一％）=%+l一。，

tan%]—tanqn+1-1_n

所以tan7；,=tan(c4+i-G)=

1+tanc〃+]tanq1+n+l〃+2

Yl

于是tan4,=1

〃+2

2

19.解：（i）設(shè)尸（石，%）,。（％2，》2），則才+代=+￡=1,

丁曰4（%+l）_%%+1_x?

」7E------------=--------------------=----------7'

玉%T%2y2T

因點6（0,—1）,&=4占，所以&1^=4（%+1）,于是一一三二一一三，

整理得x^2-x2yt=xl-x2,

又直線PQ的方程為y—%=上%（x-xj,

x2-xx

即y=_ASA芭+y=ASAx+,

x2一玉x2-再x2一再占一x2x2-xx

所以直線PQ過定點，定點坐標為（O,l）.

丫2

（2）設(shè)石（％，％），尸（z，%），則才+y；=1，/+立=1，設(shè)M（O,機）,N（O,〃）,

因A(—2,0),所以直線A]E:y