2025屆河北省正定縣第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆河北省正定縣第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．2 C． D．142．正方體中，異面直線與BC所成角的大小為（）A． B． C． D．3．如圖，直角的斜邊長為2，，且點分別在軸，軸正半軸上滑動，點在線段的右上方．設(shè)，（），記，，分別考察的所有運算結(jié)果，則（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值4．已知正方體中，、分別為，的中點，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知.為等比數(shù)列的前項和，若，，則()A．31 B．32 C．63 D．646．已知變量與正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A． B．C． D．7．已知，是兩個單位向量，且夾角為，則與數(shù)量積的最小值為（）A． B． C． D．8．已知三棱錐O-ABC，側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直，且OA=OB=OC=2，則以O(shè)為球心且1為半徑的球與三棱錐O-ABC重疊部分的體積是（）A．π8 B．π6 C．π9．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．10．若兩個正實數(shù)，滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若6是-2和k的等比中項，則______.12．已知過兩點，的直線的傾斜角是，則______．13．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.14．已知向量，則的單位向量的坐標(biāo)為_______.15．如圖記錄了甲乙兩名籃球運動員練習(xí)投籃時，進行的5組100次投籃的命中數(shù)，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則______，_________.16．已知，，若，則實數(shù)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大??；（2）若，求的最大值及相應(yīng)的角的余弦值.19．化簡.20．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．21．已知向量.(1)當(dāng)時，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

首先求出、，再根據(jù)計算可得；【詳解】解：，，又，且與的夾角為，所以.故選：A【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積以及運算律，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用異面直線與BC所成角的的定義，平移直線，即可得答案．【詳解】在正方體中，易得．異面直線與垂直，即所成的角為.故選：D．【點睛】本題考查異面直線所成角的定義，考查對基本概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

設(shè)，用表示出，根據(jù)的取值范圍，利用三角函數(shù)恒等變換化簡，進而求得最值的情況.【詳解】依題意，所以.設(shè)，則，所以，，所以，當(dāng)時，取得最大值為.，所以，所以，當(dāng)時，有最小值為.故選B.【點睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查三角函數(shù)化簡求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.4、A【解析】

連接,則，所以為所求的角．【詳解】連結(jié)，，因為、分別為，的中點，所以，則為所求的角，設(shè)正方體棱長為1，則，，，三角形AD1B為直角三角形，,選擇A【點睛】本題主要考查了異面直線所成的夾角;求異面直線的夾角，通常把其中一條直線平移到和另外一條直線相交即得異面直線所成的角．屬于中等題．5、C【解析】

首先根據(jù)題意求出和的值，再計算即可.【詳解】有題知：，解得，.故選：C【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及前項和的求法，屬于簡單題.6、A【解析】試題分析：因為與正相關(guān)，排除選項C、D，又因為線性回歸方程恒過樣本點的中心，故排除選項B；故選A．考點：線性回歸直線.7、B【解析】

根據(jù)條件可得，，，然后進行數(shù)量積的運算即可.【詳解】根據(jù)條件，，，，當(dāng)時，取最小值.故選：B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的運算，同時考查了二次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)三棱錐三條側(cè)棱的關(guān)系，得到球與三棱錐的重疊部分為球的18【詳解】∵三棱錐O-ABC，側(cè)棱OA,OB,OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC=2，以O(shè)為球心且1為半徑的球與三棱錐O-ABC重疊部分的為球的18即對應(yīng)的體積為18【點睛】本題主要考查球體體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用三棱錐與球的關(guān)系，考查空間想象能力，屬于中等題。9、C【解析】

連接、，可證四邊形為平行四邊形，得，得（或補角）就是異面直線與所成角，由正方體的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】連接、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；（或補角）就是異面直線與所成角；又在正方體中，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角的大小為；故答案選C【點睛】本題考查正方體中異面直線所成角的大小，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

利用基本不等式求得的最小值，根據(jù)不等式存在性問題，解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性問題的求解，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-18【解析】

根據(jù)等比中項的性質(zhì)，列出等式可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項的性質(zhì)可得，，得.故答案為：-18【點睛】本題主要考查等比中項的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

由兩點求斜率公式及斜率等于傾斜角的正切值列式求解．【詳解】解：由已知可得：，即，則．故答案為．【點睛】本題考查直線的斜率，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．13、16【解析】

根據(jù)已知條件可計算出扇形的半徑，然后根據(jù)面積公式即可計算出扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角弧度數(shù)為，所以即，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化以及扇形的弧長和面積公式，難度較易.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：.14、.【解析】

由結(jié)論“與方向相同的單位向量為”可求出的坐標(biāo).【詳解】，所以，，故答案為.【點睛】本題考查單位向量坐標(biāo)的計算，考查共線向量的坐標(biāo)運算，充分利用共線單位向量的結(jié)論可簡化計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、3.5.【解析】

根據(jù)莖葉圖,將兩組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列,由中位數(shù)和平均數(shù)相等,即可解得的值.【詳解】甲乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,平均數(shù)也相等對于甲組將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列后可知,中位數(shù)為65.所以乙組中位數(shù)也為65.根據(jù)乙組數(shù)據(jù)可得則由兩組的平均數(shù)相等,可知兩組的總數(shù)也相等,即解得故答案為:;【點睛】本題考查了莖葉圖的簡單應(yīng)用,由莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得：，解方程即可.【詳解】因為，所以，整理得：，解得：【點睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因為，所以分別代入得解得（Ⅱ）由得，因為所以所以【考點定位】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了方程思想和運算能力.由求的過程中體現(xiàn)了整體代換的運算技巧，而求的過程則體現(xiàn)了“通性通法”的常規(guī)考查.18、（1）（2）的最大值為，此時【解析】

（1）由正弦定理邊角互化思想結(jié)合內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的大??；（2）由正弦定理得出，，然后利用三角恒等變換思想將轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，可得出的值，并求出的值.【詳解】（1）由正弦定理得，即，從而有，即，由得，因為，所以；（2）由正弦定理可知，，則有，，，其中，因為，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，此時，所以，的最大值為，此時．【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，以及三角形中最值的求解，求解時常利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)來求解，解題時要充分利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡，考查運算求解能力，屬于中等題.19、【解析】

利用誘導(dǎo)公式進行化簡，即可得到答案.【詳解】原式.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，求解時注意奇變偶不變，符號看象限這一口訣的應(yīng)用.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計算的值；（2）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出cosθ的值和對應(yīng)角θ的值．【詳解】（1）因為，所以（2）因為與垂