馬鞍山市重點中學(xué)高三下學(xué)期月考(四)新高考數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

馬鞍山市重點中學(xué)高三下學(xué)期月考(四)新高考數(shù)學(xué)試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.2.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.53.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點,則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.124.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個、黑球2個,現(xiàn)隨機等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為;當(dāng)無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,5.函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位6.已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為()A. B. C.3 D.57.如圖,在四邊形中,,,,,,則的長度為()A. B.C. D.8.關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),某同學(xué)通過下面的隨機模擬方法來估計的值:先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對,其中,都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù),再統(tǒng)計,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若,則的估計值為()A. B. C. D.9.在中,,,,點滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.710.公比為2的等比數(shù)列中存在兩項,,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.11.中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.12.設(shè)集合A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z},則A∩B=()A.(﹣1,3] B.[﹣1,3] C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F,兩曲線的一個交點為P,若|FP|=5,則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.14.已知向量,,則______.15.用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同的有_____個.16.命題“對任意,”的否定是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱柱中,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,,,點為的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使直線與平面所成的角正弦值為,若存在求出的長,若不存在說明理由.18.(12分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長;(2)已知,為銳角,求.19.(12分)在如圖所示的多面體中,四邊形是矩形,梯形為直角梯形,平面平面,且,,.(1)求證:平面.(2)求二面角的大小.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)2018年9月,臺風(fēng)“山竹”在我國多個省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);(2)臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機抽取2戶進(jìn)行重點幫扶,設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點A,B,點M坐標(biāo)為(2,1),設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,排除錯誤選項,從而得出正確選項.【詳解】因為,所以是偶函數(shù),排除C和D.當(dāng)時,,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.2、D【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算.【詳解】由題意.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3、C【解析】

分析:先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點,即求出邊界線的交點坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時,由圖可得當(dāng)過點時,取得最大值9,故選C.點睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個點是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求值,要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.4、B【解析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點睛】離散型隨機變量的分布列的計算,應(yīng)先確定隨機變量所有可能的取值,再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.5、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.6、C【解析】

由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運用,屬于中檔題.7、D【解析】

設(shè),在中,由余弦定理得,從而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【詳解】設(shè),在中,由余弦定理得,則,從而,由正弦定理得,即,從而,在中,由余弦定理得:,則.故選:D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.8、B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,然后再利用隨機模擬方法得到,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,二者概率相等即可估計出.【詳解】因為,都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù),所以有,,若,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長,則,由幾何概型的概率計算公式知,所以.故選:B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率,考查學(xué)生的基本計算能力,是一個中檔題.9、D【解析】

利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點滿足,可得則==【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.10、D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式,求出關(guān)系,即可求解.【詳解】,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式,注意為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.12、C【解析】

先求集合A,再用列舉法表示出集合B,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解:∵集合A={y|y=2x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2,3},故選:C.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)點為,由拋物線定義知,,求出點P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因為點P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設(shè)點為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因為a2+b2=4,解得a=1,b=,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點到直線的距離公式可得,點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);考查運算求解能力和知識遷移能力;靈活運用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.14、【解析】

求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運算計算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.【點睛】本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算.15、【解析】

對首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時,符號條件的位自然數(shù)個數(shù)為個;②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個數(shù)位上,第二、四、六個數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時,符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計數(shù)和分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.16、存在,使得【解析】試題分析:根據(jù)命題否定的概念,可知命題“對任意,”的否定是“存在,使得”.考點:命題的否定.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)線段上是存在一點,,使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】

(Ⅰ)取中點,連結(jié)、,推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形,從而,由此能證明平面;(Ⅱ)取中點,連結(jié),,推導(dǎo)出平面,,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值;(Ⅲ)假設(shè)在線段上是存在一點,使直線與平面所成的角正弦值為,設(shè).利用向量法能求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)證明:取中點,連結(jié)、,是邊長為2的等邊三角形,,,,點為的中點,,四邊形是平行四邊形,,平面,平面,平面.(Ⅱ)解:取中點,連結(jié),,在四棱柱中,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,,,點為的中點,平面,,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,,1,,,0,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,設(shè)平面的法向量,,,則,取,得,,,設(shè)平面的法向量,,,則,取,得,設(shè)二面角的平面角為,則.二面角的余弦值為.(Ⅲ)解:假設(shè)在線段上是存在一點,使直線與平面所成的角正弦值為,設(shè).則,,,,,,平面的法向量,,解得,線段上是存在一點,,使直線與平面所成的角正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.18、(1);(2)4.【解析】

(1)利用三角形的面積公式求得,利用余弦定理求得.(2)利用余弦定理求得,由此求得,進(jìn)而求得,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】(1)在中,由面積公式:在中,由余弦定理可得:(2)在中,由余弦定理可得:在中,由正弦定理可得:,為銳角.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)【解析】

(1)根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì),可證明;由所給線段關(guān)系,結(jié)合勾股定理逆定理,可證明,進(jìn)而由線面垂直的判定定理證明平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,由空間向量法求得兩個平面夾角的余弦值,結(jié)合圖形即可求得二面角的大小.【詳解】(1)證明:∵平面平面ABEG,且,∴平面,∴,由題意可得,∴,∵,且,∴平面.(2)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的法向量是,則,令,,由(1)可知平面的法向量是,∴,由圖可知,二面角為鈍二面角,所以二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定,面面垂直及線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,空間向量法求二面角的大小,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】

(1)分類討論去絕對值號,即可求解;(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立,分別求函數(shù)與的最小值,根據(jù)能同時成立,可得的最小值,即可求解.【詳解】(1)①當(dāng)時,不等式可化為,得,無解;②當(dāng)-2≤x≤1時,不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時,不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上,不等式的解集為(2)由題意知在R上恒成立,所以令,則當(dāng)時,又當(dāng)時,取得最小值,且又所以當(dāng)時,與同時取得最小值.所以所以,即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考

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