2025屆云南省石林縣民中高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2025屆云南省石林縣民中高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知，若，則等于()A． B．1 C．2 D．3．已知向量，且，則的值是（）A． B． C．3 D．4．已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) B．在上恰有一個(gè)零點(diǎn)C．是周期函數(shù) D．在上是增函數(shù)5．某學(xué)校禮堂有30排座位，每排有20個(gè)座位，一次心理講座時(shí)禮堂中坐滿了學(xué)生，會(huì)后為了了解有關(guān)情況，留下座位號(hào)是15的30名學(xué)生，這里運(yùn)用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣6．在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．趙爽是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取-點(diǎn)，這一點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為，則勾與股的比為（）A． B． C． D．8．若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．10．已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該正四棱錐的體積為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在△ABC中，，則________．12．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．13．如圖所示，分別以為圓心，在內(nèi)作半徑為2的三個(gè)扇形，在內(nèi)任取一點(diǎn)，如果點(diǎn)落在這三個(gè)扇形內(nèi)的概率為，那么圖中陰影部分的面積是____________.14．已知，則的最小值為__________．15．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則____（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，（，，）的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）已知且，求.18．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，三點(diǎn)滿足.(1)求證：三點(diǎn)共線；(2)已知的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.19．已知點(diǎn)是重心，.（1）用和表示；（2）用和表示.20．如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）設(shè)，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．21．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓的面積為，且.（1）求邊長c；（2）若的面積為，求的周長.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

在同一直角坐標(biāo)系下，分別作出與的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】解：由題意知：函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于與的圖象在同一直角坐標(biāo)系下交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作圖如下：由圖可知：函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.2、A【解析】

首先根據(jù)?（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化簡得出，再化為Asin()形式即可得結(jié)果.【詳解】由得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，化簡得，即sin()=,則sin()=故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

由已知求得，然后展開兩角差的正切求解．【詳解】解：由，且，得，即．，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩角差的正切，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

將函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化成，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證，即可得答案.【詳解】∵，對(duì)A，∵，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A命題正確；對(duì)B，令，解關(guān)于的一元二次方程得：，∵，∴方程存在兩個(gè)根，∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，顯然是函數(shù)的一個(gè)周期，故C正確；對(duì)D，令，則，∵在單調(diào)遞減，且，又∵在單調(diào)遞減，∴在上是增函數(shù)，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、零點(diǎn)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意復(fù)合函數(shù)周增異減原則.5、C【解析】抽名學(xué)生分了組（每排為一組），每組抽一個(gè)，符合系統(tǒng)抽樣的定義故選6、A【解析】

根據(jù)題意，將直三棱柱擴(kuò)充為長方體，其體對(duì)角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴(kuò)充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對(duì)角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進(jìn)行割補(bǔ)成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對(duì)角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.7、B【解析】

分別求解出小正方形和大正方形的面積，可知面積比為，從而構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】由圖形可知，小正方形邊長為小正方形面積為：，又大正方形面積為：，即：解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的面積型的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用概率構(gòu)造出關(guān)于所求量的方程.8、B【解析】

根據(jù)題意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，因?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取得最小值.故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理化簡，熟練應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解．【詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過點(diǎn)，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．10、D【解析】

求出正四棱錐的高后可求其體積.【詳解】正四棱錐底面的對(duì)角線的長度為，故正四棱錐的高為，所以體積為，故選D.【點(diǎn)睛】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側(cè)棱和底面外接圓的半徑可構(gòu)成四個(gè)直角三角形，它們溝通了棱錐各個(gè)幾何量之間的關(guān)系，解題中注意利用它們實(shí)現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

因?yàn)樗宰⒁獾剑汗剩蚀鸢笧椋?2、【解析】

設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)和公差,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,代入條件化簡得和的關(guān)系,再代入所求的式子進(jìn)行化簡求值.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由,得,得,.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ).13、【解析】

先求出三塊扇形的面積,再由概率計(jì)算公式求出的面積,進(jìn)而求出陰影部分的面積.【詳解】∵,∴三塊扇形的面積為:,設(shè)的面積為,∵在內(nèi)任取一點(diǎn),點(diǎn)落在這三個(gè)扇形內(nèi)的概率為,,∴圖中陰影部分的面積為:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的應(yīng)用,屬于幾何概型中的面積問題,難度不大.14、【解析】

根據(jù)均值不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)樗?，根?jù)均值不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式，屬于中檔題.15、<【解析】

直接利用作差比較法解答.【詳解】由題得，因?yàn)閍>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案為＜【點(diǎn)睛】本題主要考查作差比較法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

由，可得出，再令，可計(jì)算出，然后檢驗(yàn)是否滿足在時(shí)的表達(dá)式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又不滿足.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，一般利用來計(jì)算，但要對(duì)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由最值和兩個(gè)零點(diǎn)計(jì)算出和的值，再由最值點(diǎn)以及的的范圍計(jì)算的值；（Ⅱ）先根據(jù)（Ⅰ）中解析式將表示出來，然后再利用兩角和的正弦公式計(jì)算的值.【詳解】解：（Ⅰ）由函數(shù)最大值為2，得由∴又，，∴，，又，∴∴（Ⅱ）∵，且，∴∴【點(diǎn)睛】根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式的步驟：（1）由最值確定的值；（2）由周期確定的值；（3）由最值點(diǎn)或者圖像上的點(diǎn)確定的取值.這里需要注意確定的值時(shí)，盡量不要選取平衡位置上的點(diǎn)，這樣容易造成多解的情況.18、（1）證明過程見解析；（2）【解析】試題分析：（1）只需證得即可。（2）由題意可求得的解析式，利用換元法轉(zhuǎn)換成，討論的單調(diào)性，可知其在上為單調(diào)減函數(shù)，得可解得的值。（1）證明：三點(diǎn)共線.（2），，令，其對(duì)稱軸方程為在上是減函數(shù)，。點(diǎn)睛：證明三點(diǎn)共線的方法有兩種：一、求出其中兩點(diǎn)所在直線方程，驗(yàn)證第三點(diǎn)滿足直線方程即可；二、任取兩點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)向量，證明兩向量共線即可。在考試中經(jīng)常采用第二種方法，便于計(jì)算。證明四點(diǎn)共線一般采用第一種方法。19、（1）（2）.【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，可得出，利用重心性質(zhì)得出，由此可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）由，得出，再由，可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，為的重心，因此，；（2），，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利基底表示向量，應(yīng)充分利用平面幾何中一些性質(zhì)，將問題中所涉及的向量利用基底表示，并結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、（1）證明見解析（2）到平面的距離為【解析】

試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交