蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題05認(rèn)識(shí)三角形壓軸題七種模型全攻略(原卷版+解析)

專(zhuān)題05認(rèn)識(shí)三角形壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】 1【考點(diǎn)二三角形的分類(lèi)及個(gè)數(shù)】 2【考點(diǎn)三構(gòu)成三角形的條件】 4【考點(diǎn)四確定第三邊的取值范圍】 5【考點(diǎn)五三角形的中線(xiàn)】 6【考點(diǎn)六三角形的角平分線(xiàn)】 8【考點(diǎn)七三角形的高線(xiàn)】 10【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 12【典型例題】【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】例題：（2022春·廣西欽州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，木工師傅做窗框時(shí)，常常如圖中那樣釘上兩條斜拉的木條起到穩(wěn)固作用，這樣做的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn) B．垂線(xiàn)段最短C．兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 D．三角形的穩(wěn)定性【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一扇窗戶(hù)打開(kāi)后，用窗鉤可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn) D．垂線(xiàn)段最短2．（2022春·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)校門(mén)口設(shè)置的移動(dòng)拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是________．【考點(diǎn)二三角形的分類(lèi)及個(gè)數(shù)】例題：（2022春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考期中）如圖表示三角形的分類(lèi)，則表示的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三邊都不相等的三角形【變式訓(xùn)練】1．（2022春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，若，則是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定2．（2022春·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)、在的邊上，則圖中共有三角形_____個(gè)．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有________個(gè)三角形，圖②中共有________個(gè)三角形，圖③中共有________個(gè)三角形．（2）由以上規(guī)律進(jìn)行猜想，第n個(gè)圖形共有________個(gè)三角形．【考點(diǎn)三構(gòu)成三角形的條件】例題：（遼寧省大連市高新園區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）下列各長(zhǎng)度的木棒首尾相接可以組成三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，5【變式訓(xùn)練】1．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)校考期末）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，能組成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，7 C．5，6，11 D．5，5，102．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，能組成三角形的是（

）A．3，4，5 B．2，5，8 C．5，5，10 D．1，6，7【考點(diǎn)四確定第三邊的取值范圍】例題：（2022春·浙江·八年級(jí)期末）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，x，則x的取值范圍是______．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京懷柔·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，其中兩邊長(zhǎng)分別為1，2，則這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)為_(kāi)____．2．（2022春·北京東城·八年級(jí)東直門(mén)中學(xué)?？计谥校┮阎龡l線(xiàn)段的長(zhǎng)分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是_____．【考點(diǎn)五三角形的中線(xiàn)】例題：（2022春·廣東云浮·八年級(jí)新興實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，，是邊上的中線(xiàn)，若的周長(zhǎng)為36，則的周長(zhǎng)是______________．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·山西大同·八年級(jí)大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多4，，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．2．（2022春·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，如果厘米，厘米，則和的周長(zhǎng)之差為_(kāi)___，面積之差為_(kāi)___．【考點(diǎn)六三角形的角平分線(xiàn)】例題：（2022春·安徽亳州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，分別是，的平分線(xiàn)，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，平分，，垂足為D，E為上一點(diǎn)，．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的角平分線(xiàn)，，交AC于點(diǎn)F，已知，求的度數(shù)．【考點(diǎn)七三角形的高線(xiàn)】例題：（2022春·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，中邊上的高線(xiàn)畫(huà)法正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校校考期中）如圖，用三角板畫(huà)，邊上的高線(xiàn)，下列三角板的擺放位置正確的是（

）.A． B． C． D．2．（2022春·天津西青·八年級(jí)?？计谥校┰谌鐖D所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫(huà)出中邊上的高；(2)直接寫(xiě)出的面積為_(kāi)__．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（北京市通州區(qū)2022一2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，首尾順次相連能組成三角形的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和6，第三邊長(zhǎng)可能為（

）A．2 B．4 C．10 D．123．（2022春·廣西柳州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）畫(huà)的邊上的高，正確的是（）A． B． C． D．4．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線(xiàn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．45．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，是角平分線(xiàn)，是高，與相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2022春·北京懷柔·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外角的平分線(xiàn)，且交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，若，則的角度是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2022春·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把手機(jī)放在一個(gè)支架上面，就可以非常方便地使用它觀看視頻，這樣做的數(shù)學(xué)道理是_________．8．（2022春·廣東江門(mén)·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和4，若第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是______．9．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是中邊上的中點(diǎn)，連接，若的面積為12，則陰影部分的面積為_(kāi)_____________．10．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，的度數(shù)為_(kāi)_______．11．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）小朦同學(xué)從四根長(zhǎng)為，，，的木條中挑選三根組成三角形，她已經(jīng)取了和兩根木棍，那么第三根木棍不可能取___________．12．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知中，，是邊上的高，，則_____________°．三、解答題13．（2022春·浙江湖州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，平分，求與的度數(shù)．14．（2022春·天津?qū)幒印ぐ四昙?jí)天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，已知，求的度數(shù)．15．（2022春·安徽淮南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知是角平分線(xiàn)，．(1)求的度數(shù)；(2)若于點(diǎn)，求的度數(shù)．16．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)東莞市厚街海月學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，當(dāng)________度時(shí)，．17．（2022春·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，與外角的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O．(1)若時(shí)，求的度數(shù)；(2)請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．（2022春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，平分交于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)E．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．專(zhuān)題05認(rèn)識(shí)三角形壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】 1【考點(diǎn)二三角形的分類(lèi)及個(gè)數(shù)】 2【考點(diǎn)三構(gòu)成三角形的條件】 4【考點(diǎn)四確定第三邊的取值范圍】 5【考點(diǎn)五三角形的中線(xiàn)】 6【考點(diǎn)六三角形的角平分線(xiàn)】 8【考點(diǎn)七三角形的高線(xiàn)】 10【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 12【典型例題】【考點(diǎn)一三角形的穩(wěn)定性】例題：（2022春·廣西欽州·八年級(jí)校考期中）如圖，木工師傅做窗框時(shí)，常常如圖中那樣釘上兩條斜拉的木條起到穩(wěn)固作用，這樣做的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn) B．垂線(xiàn)段最短C．兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 D．三角形的穩(wěn)定性【答案】D【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會(huì)改變．【詳解】解：這樣做的數(shù)學(xué)原理是：三角形的穩(wěn)定性．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過(guò)連接輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一扇窗戶(hù)打開(kāi)后，用窗鉤可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn) D．垂線(xiàn)段最短【答案】A【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：一扇窗戶(hù)打開(kāi)后，用窗鉤可將其固定，這樣就形成了一個(gè)三角形，所以所運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握三角形穩(wěn)定性的幾何原理．2．（2022春·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)校門(mén)口設(shè)置的移動(dòng)拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是________．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】學(xué)校門(mén)口設(shè)置的移動(dòng)拒馬做成三角形的形狀，利用三角形不變形即三角形的穩(wěn)定性，從而可得答案．【詳解】解：學(xué)校門(mén)口設(shè)置的移動(dòng)拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是利用了三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性是實(shí)際應(yīng)用，掌握“三角形具有穩(wěn)定性”是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二三角形的分類(lèi)及個(gè)數(shù)】例題：（2022春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D表示三角形的分類(lèi)，則表示的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三邊都不相等的三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形按邊分類(lèi)，即可求解．【詳解】解：三角形按邊分為三邊都不等的三角形，等腰三角形（兩邊相等的等腰三角形，三邊相等的等邊三角形），故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的分類(lèi)，掌握三角形按邊分類(lèi)的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，若，則是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合得出即可判斷．【詳解】∵，∴，又∵，∴，∴，∴是直角三角形，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類(lèi)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理及直角三角形角內(nèi)角特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022春·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)、在的邊上，則圖中共有三角形_____個(gè)．【答案】【分析】根據(jù)三角形定義直接數(shù)出圖中三角形即可得到答案．【詳解】解：圖中三角形有：共6個(gè)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形定義，數(shù)出圖中三角形個(gè)數(shù)時(shí)不重不漏是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有________個(gè)三角形，圖②中共有________個(gè)三角形，圖③中共有________個(gè)三角形．（2）由以上規(guī)律進(jìn)行猜想，第n個(gè)圖形共有________個(gè)三角形．【答案】

3

6

10

【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出三角形個(gè)數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：（1）如圖所示：圖①中一共有3個(gè)三角形，圖②中共有6個(gè)三角形，圖③中共有10個(gè)三角形．故答案為：3，6，10；（2），，，第n個(gè)圖形共有：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律和三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)已知得出數(shù)字是連續(xù)整數(shù)的和是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三構(gòu)成三角形的條件】例題：（遼寧省大連市高新園區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）下列各長(zhǎng)度的木棒首尾相接可以組成三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，5【答案】B【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；C．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一般用兩條較短的線(xiàn)段相加，如果大于最長(zhǎng)那條線(xiàn)段就能夠組成三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)?？计谀┫铝虚L(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，能組成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，7 C．5，6，11 D．5，5，10【答案】B【分析】由較短的兩邊相加，若大于較長(zhǎng)的邊，則可構(gòu)成三角形，據(jù)此判斷．【詳解】解：A、∵，∴此三條線(xiàn)段不能構(gòu)成三角形；B、∵，∴此三條線(xiàn)段能構(gòu)成三角形；C、∵，∴此三條線(xiàn)段不能構(gòu)成三角形；D、∵，∴此三條線(xiàn)段不能構(gòu)成三角形；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的構(gòu)成條件：較短的兩邊的和大于第三邊，熟練掌握三角形的構(gòu)成條件是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，能組成三角形的是（

）A．3，4，5 B．2，5，8 C．5，5，10 D．1，6，7【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊滿(mǎn)足兩邊之和大于第三邊來(lái)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、，能構(gòu)成三角形，故符合題意；B、，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；C、，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；D、，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的三邊關(guān)系，在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形時(shí)，并不一定需要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和大于第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可判定這三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形．【考點(diǎn)四確定第三邊的取值范圍】例題：（2022春·浙江·八年級(jí)期末）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，x，則x的取值范圍是______．【答案】3＜x＜7【分析】根據(jù)已知三角形兩邊，則第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和解答．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：5﹣2＜x＜2+5，即：3＜x＜7．故答案為：3＜x＜7．【點(diǎn)睛】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件，用兩條較短的線(xiàn)段相加，如果大于最長(zhǎng)的那條就能夠組成三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京懷柔·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，其中兩邊長(zhǎng)分別為1，2，則這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】2【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊，解答此題即可．【詳解】解：∵第三邊，∴第三邊，∵三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，∴這個(gè)三角形第三邊長(zhǎng)是2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是求出三角形第三邊的取值范圍，熟練掌握三角形三邊關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022春·北京東城·八年級(jí)東直門(mén)中學(xué)?？计谥校┮阎龡l線(xiàn)段的長(zhǎng)分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是_____．【答案】【分析】利用三角形三邊關(guān)系求出m的取值范圍，從中找出最大的整數(shù)即可．【詳解】解：三條線(xiàn)段的長(zhǎng)分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則，即，因此整數(shù)m的最大值是7．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【考點(diǎn)五三角形的中線(xiàn)】例題：（2022春·廣東云浮·八年級(jí)新興實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，，是邊上的中線(xiàn)，若的周長(zhǎng)為36，則的周長(zhǎng)是______________．【答案】30【分析】根據(jù)三角形中線(xiàn)的定義可得，由的周長(zhǎng)為36，，求出，進(jìn)而得出的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵是邊上的中線(xiàn)，∴，∵的周長(zhǎng)為36，，∴，∴，∵，∴的周長(zhǎng)．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線(xiàn)：三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做三角形的中線(xiàn)．根據(jù)中線(xiàn)的定義得出以及利用周長(zhǎng)的定義求出是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·山西大同·八年級(jí)大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多4，，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】由的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多4可得，，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵是邊上的中線(xiàn)，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中線(xiàn)，熟練掌握三角形的中線(xiàn)得到相等的線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，如果厘米，厘米，則和的周長(zhǎng)之差為_(kāi)___，面積之差為_(kāi)___．【答案】

2厘米##

0【分析】根據(jù)三角形中線(xiàn)的性質(zhì)可知，則，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示：∵點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，厘米，厘米，∴，∴和的周長(zhǎng)之差為：厘米，，即面積之差為：0．故答案為：2厘米，0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，熟知三角形中線(xiàn)平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六三角形的角平分線(xiàn)】例題：（2022春·安徽亳州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，分別是，的平分線(xiàn)，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出，，求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，分別是，的平分線(xiàn)，，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，平分，，垂足為D，E為上一點(diǎn)，．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平分，求得，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得的度數(shù)，再根據(jù)垂直的意義得的度數(shù)，然后由求解即可．【詳解】解：平分，，，，，，，，；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的意義、平行線(xiàn)的性質(zhì)、垂直的意義以及周角的概念等知識(shí)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)與角平分線(xiàn)的意義是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的角平分線(xiàn)，，交AC于點(diǎn)F，已知，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∵是的角平分線(xiàn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形角平分線(xiàn)的定義，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七三角形的高線(xiàn)】例題：（2022春·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，中邊上的高線(xiàn)畫(huà)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】中邊上的高線(xiàn)是過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：中邊上的高線(xiàn)是過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，只有D選項(xiàng)正確，符合題意，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線(xiàn)的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵，經(jīng)過(guò)三角形的頂點(diǎn)（與底相對(duì)的點(diǎn)）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段就是三角形的一條高．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校校考期中）如圖，用三角板畫(huà)，邊上的高線(xiàn)，下列三角板的擺放位置正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形作高的方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A作的是邊上的高，符合題意；選項(xiàng)B作的是邊上的高，不符合題意；選項(xiàng)C中三角板未過(guò)點(diǎn)C，故作的不是高，不符合題意；選項(xiàng)D作的是邊上的高，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高的作法，作邊邊的高，應(yīng)從頂點(diǎn)A向作垂線(xiàn)段，垂足落在直線(xiàn)上，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·天津西青·八年級(jí)?？计谥校┰谌鐖D所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫(huà)出中邊上的高；(2)直接寫(xiě)出的面積為_(kāi)__．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）結(jié)合網(wǎng)格圖，直接利用三角形高線(xiàn)作法得出答案；（2）結(jié)合網(wǎng)格圖，直接利用三角形的面積求法得出答案．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；（2）解：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及三角形面積求法，正確得出三角形高線(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（北京市通州區(qū)2022一2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，首尾順次相連能組成三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：，A選項(xiàng)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；，B選項(xiàng)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；，C選項(xiàng)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；，D選項(xiàng)能構(gòu)成三角形，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵熟練掌握三角形三邊關(guān)系．2．（2022春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和6，第三邊長(zhǎng)可能為（

）A．2 B．4 C．10 D．12【答案】B【分析】設(shè)第三邊為，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，選出合適的的值即可．【詳解】解：設(shè)第三邊為，∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和6，∴，即∴4符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022春·廣西柳州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）畫(huà)的邊上的高，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)三角形的頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)與垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高，據(jù)此解答．【詳解】解：A．此圖形知是邊上的高，不符合題意；B．此圖形中不是的高，不符合題意；C．此圖形中是邊上的高，符合題意；D．此圖形中是邊上的高，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線(xiàn)，熟記概念是解題的關(guān)鍵，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線(xiàn)相交于三角形外一點(diǎn)．4．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線(xiàn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】直接利用三角形面積公式求得，再根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，即，∴∵是中線(xiàn)，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積和中線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式求得．5．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，是角平分線(xiàn)，是高，與相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中由三角形內(nèi)角和可求得，由角平分線(xiàn)的定義可求得，在中再利用三角形內(nèi)角和可求得的度數(shù)．【詳解】解：是高，，，是角平分線(xiàn)，，，在中，由三角形內(nèi)角和定理可得，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，掌握三角形內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·北京懷柔·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外角的平分線(xiàn)，且交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，若，則的角度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出的度數(shù)，進(jìn)而可求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)定理．二、填空題7．（2022春·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把手機(jī)放在一個(gè)支架上面，就可以非常方便地使用它觀看視頻，這樣做的數(shù)學(xué)道理是_________．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】三角形手機(jī)支架利用了三角形的穩(wěn)定性，形狀穩(wěn)定，不晃動(dòng)，方便觀看手機(jī)視頻．【詳解】∵三角形具有穩(wěn)定性，∴三角形手機(jī)支架形狀不變形，手機(jī)放上穩(wěn)定不晃動(dòng)，可以非常方便地觀看視頻．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的穩(wěn)定性．8．（2022春·廣東江門(mén)·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和4，若第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是______．【答案】9【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊為偶數(shù)求出第三邊即可得到答案．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和4，∴第三邊，即第三邊，又∵第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù)，∴第三邊的長(zhǎng)為4，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，三角形周長(zhǎng)，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是中邊上的中點(diǎn)，連接，若的面積為12，則陰影部分的面積為_(kāi)_____________．【答案】6【分析】根據(jù)三角形的中線(xiàn)平分三角形的面積進(jìn)行解答即可．【詳解】解：點(diǎn)是中邊上的中點(diǎn)，的面積為12，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中線(xiàn)，三角形的面積，解題關(guān)鍵是熟記三角形中線(xiàn)平分三角形的面積．10．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】##度【分析】根據(jù)，可得，再由三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┬‰瑢W(xué)從四根長(zhǎng)為，，，的木條中挑選三根組成三角形，她已經(jīng)取了和兩根木棍，那么第三根木棍不可能取___________．【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，確定出第三根木棍的取值范圍，即可求解．【詳解】解：已經(jīng)取了和兩根木棍，則第三根木棍的范圍為，而不在范圍內(nèi)，故不可能取，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系，確定出第三邊的取值范圍．12．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知中，，是邊上的高，，則_____________°．【答案】80或40##40或80【分析】分為兩種情況，畫(huà)出圖形，求出的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：分為兩種情況：①如圖1，為邊上的高，，，，，；②如圖2，為邊上的高，，，，，．故答案為：80或40．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于．三、解答題13．（2022春·浙江湖州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，平分，求與的度數(shù)．【答案】，【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，即可求得及的度數(shù)，最后由角的和差即可求得的度數(shù)．【詳解】解：在中，，，，，平分，，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，三角形外角的性質(zhì)，準(zhǔn)確找到相關(guān)角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．14．（2022春·天津?qū)幒印ぐ四昙?jí)天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，已知，求的度數(shù)．【答案】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)