浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊專題11乘法公式(平方差、完全平方公式)壓軸題八種模型全攻略(原卷版+解析)

專題11乘法公式(平方差、完全平方公式)壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算】 1【考點(diǎn)二平方差公式與幾何圖形】 2【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】 5【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】 6【考點(diǎn)五整式的混合運(yùn)算——化簡求值】 6【考點(diǎn)六通過對完全平方公式變形求值】 8【考點(diǎn)七完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】 9【考點(diǎn)八運(yùn)用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】 12【過關(guān)檢測】 16【典型例題】【考點(diǎn)一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算】例題：（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)橡樹灣校區(qū)七年級(jí)期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計(jì)算的有（

）（1）（2）（3）（4）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等式中，括號(hào)里應(yīng)填的多項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．2．（2022·四川樂山·八年級(jí)期末）化簡：3．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x＝1，y＝2；【考點(diǎn)二平方差公式與幾何圖形】例題：（2022·江西·撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）乘法公式的探究及應(yīng)用．(1)如圖1，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，如圖2，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式：；(2)運(yùn)用你所得到的乘法公式，計(jì)算或化簡下列各題：①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林吉林·八年級(jí)期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個(gè)矩形，則它長為；寬為；面積為．（2）由（1）可以得到一個(gè)公式：．（3）利用你得到的公式計(jì)算：．2．（2022·陜西渭南·七年級(jí)期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．(1)【探究】通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）(2)【應(yīng)用】請應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知，2m＋n＝4，則2m－n的值為______；②計(jì)算：；(3)【拓展】計(jì)算：．【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】例題：（2022·湖南邵陽·七年級(jí)期末）計(jì)算：【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·天津東麗·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式是完全平方式的是（

）A． B． C． D．1．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)泰山分校七年級(jí)階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x=-1，y=2．【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】例題：（2022·廣西·桂林市雁山中學(xué)七年級(jí)期中）若是完全平方式，則k的值為____________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江·義烏市賓王中學(xué)七年級(jí)期中）若多項(xiàng)式x2﹣4x+m是一個(gè)完全平方式，則m的值為_____．2．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是完全平方式，則n的值為（

）A．6 B．或6 C．1 D．【考點(diǎn)五整式的混合運(yùn)算——化簡求值】例題：（2023秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·七年級(jí)單元測試）先化簡后求值：(1)，其中

(2)，其中，．2．（2023秋·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）已知，求代數(shù)式的值；（2）已知，求的值．【考點(diǎn)六通過對完全平方公式變形求值】例題：（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則的值為（

）A．10 B．17 C．26 D．33【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則_________．2．（2022·山東·萬杰朝陽學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）已知a+b=5，ab=4，(1)求a2+b2的值(2)求（a-b）2的值【考點(diǎn)七完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】例題：（2021·寧夏·永寧縣回民高級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖a是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪力均分成園塊小長方形，然后接圖b的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？(2)求出圖b中陰影部分的面積_______．(3)觀察圖b你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，．(4)根據(jù)（3）圖中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，則_______．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個(gè)等量關(guān)系是_____．(2)知識(shí)運(yùn)用：若x﹣y=5，xy=6，則=_____．(3)知識(shí)遷移：設(shè)A=，B=x+2y﹣3，化簡的結(jié)果．(4)知識(shí)延伸：若，代數(shù)式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．【考點(diǎn)八運(yùn)用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】例題：（2022·河北承德·八年級(jí)期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因?yàn)?，因?yàn)椋?，即的最小值?．問題：(1)小麗的求解過程正確嗎？(2)你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；(3)求的最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西省西咸新區(qū)秦漢中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項(xiàng)式的最小值．例如，求的最小值問題．解：，又，，的最小值為．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：____________；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。?．（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題(1)知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)x＝____時(shí)，代數(shù)式的最小值是_____；(2)知識(shí)運(yùn)用：若，當(dāng)x＝____時(shí)，y有最____值（填“大”或“小”），這個(gè)值是____；(3)知識(shí)拓展：若，求y+2x的最小值．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列多項(xiàng)式乘法中，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（）A．B．C．D．2．（2023春·七年級(jí)單元測試）若，則的結(jié)果是（

）A．23 B．25 C．27 D．293．（2023秋·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的二次三項(xiàng)式可化為一個(gè)二項(xiàng)式的平方，m的值是（

）A．8 B．16 C．8或 D．16或4．（2023春·七年級(jí)單元測試）如圖，由圖形的面積關(guān)系能夠直觀說明的代數(shù)恒等式是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三種不同類型的地磚如圖所示，其中A類4塊，B類12塊，C類若干塊，小明想用這些地磚剛好拼成一個(gè)大正方形（無縫隙且不重疊），那么小明所用C類地磚（

）A．4塊 B．6塊 C．9塊 D．12塊二、填空題6．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：=___________．7．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，，那么的值為_____．8．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┮阎瑒t代數(shù)式______．9．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的多項(xiàng)式是完全平方式，則m的值為_____________．10．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以，為邊分別作正方形和正方形，若，，則圖中陰影部分的面積為__________．三、解答題11．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）先化簡再求值：，其中，；12．（2023秋·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中，．13．（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．14．（2023春·七年級(jí)單元測試）用簡便方法計(jì)算：(1)(2)15．（2023秋·海南?？凇ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：(1)；(2)；(3)先化簡，再求值：，其中．16．（2023秋·湖南長沙·八年級(jí)校考期末）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，．(1)求的值；(2)求的值．17．（2023春·七年級(jí)單元測試）已知，．(1)分別求與的值；(2)求代數(shù)式的值．18．（2023春·江西吉安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列各式：……(1)按以上等式的規(guī)律填空：（_____________）；(2)根據(jù)規(guī)律可得____________（其中為正整數(shù)）；(3)利用上面的結(jié)論，完成下面兩題的計(jì)算：①②19．（2023春·七年級(jí)單元測試）利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，例如根據(jù)圖①我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：，根據(jù)以上結(jié)論解決下列問題．(1)如圖②，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以、為邊向外作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，則圖中陰影部分面積為__________．(2)若x滿足，求的值．20．（2023春·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛應(yīng)用．例如：①我們可以將代數(shù)式進(jìn)行變形，其過程如下．，．因此，該式有最小值1．②已知：將其變形，，，可得．(1)按照上述方法，將代數(shù)式變形為的形式；(2)已知，，是的三邊，且滿足，試判斷此三角形的形狀并說明理由；(3)已知．①若，，則代數(shù)式________；②若，求代數(shù)式的最小值．專題11乘法公式(平方差、完全平方公式)壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算】 1【考點(diǎn)二平方差公式與幾何圖形】 2【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】 5【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】 6【考點(diǎn)五整式的混合運(yùn)算——化簡求值】 6【考點(diǎn)六通過對完全平方公式變形求值】 8【考點(diǎn)七完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】 9【考點(diǎn)八運(yùn)用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】 12【過關(guān)檢測】 16【典型例題】【考點(diǎn)一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算】例題：（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)橡樹灣校區(qū)七年級(jí)期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計(jì)算的有（

）（1）（2）（3）（4）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式為兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：能用平方差公式計(jì)算的有；，則能用平方差公式簡便計(jì)算的有個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等式中，括號(hào)里應(yīng)填的多項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式的逆運(yùn)用分析求解即可．【詳解】解：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的知識(shí)，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．2．（2022·四川樂山·八年級(jí)期末）化簡：【答案】【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式的運(yùn)用．3．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x＝1，y＝2；【答案】，-15【分析】根據(jù)平方差公式即可進(jìn)行化簡，再代入x，y求值即可．【詳解】解：原式===，當(dāng)時(shí)，原式==．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟知平方差公式的運(yùn)用．【考點(diǎn)二平方差公式與幾何圖形】例題：（2022·江西·撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）乘法公式的探究及應(yīng)用．(1)如圖1，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，如圖2，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式：；(2)運(yùn)用你所得到的乘法公式，計(jì)算或化簡下列各題：①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝(2)①9996②【分析】（1）根據(jù)圖1與圖2面積相等，則可列出等式即可得出答案；（2）應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：大的正方形邊長為a，面積為，小正方形邊長為b，面積為，∵圖1陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，∴圖1陰影部分面積＝，圖2陰影部分面積＝（a+b）（a﹣b），∵圖1的陰影部分與圖2面積相等，∴（a+b）（a﹣b）＝，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝；（2）①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝＝10000﹣4＝9996；②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]＝＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差的幾何背景的應(yīng)用，根據(jù)題意運(yùn)用平方差公式計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林吉林·八年級(jí)期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個(gè)矩形，則它長為；寬為；面積為．（2）由（1）可以得到一個(gè)公式：．（3）利用你得到的公式計(jì)算：．【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1【分析】（1）由圖形所示，由正方形、長方形的面積公式可得此題結(jié)果；（2）由（1）結(jié)果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；（3）由（2）結(jié)論＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．【詳解】解：（1）由題意得，圖形中陰影部分的面積是；圖2的長為a+b，寬為a﹣b，其面積（a+b）（a﹣b）；故答案為：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）結(jié)果可得等式＝（a+b）（a﹣b），故答案為：＝（a+b）（a﹣b）；；（3）由（2）題結(jié)果＝（a+b）（a﹣b），可得【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式幾何背景的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能用不同整式表示出圖形面積，并能運(yùn)用所得結(jié)論進(jìn)行計(jì)算．2．（2022·陜西渭南·七年級(jí)期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．(1)【探究】通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）(2)【應(yīng)用】請應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知，2m＋n＝4，則2m－n的值為______；②計(jì)算：；(3)【拓展】計(jì)算：．【答案】(1)(2)①3；②(3)5050【分析】（1）將兩個(gè)圖中陰影部分面積分別表示出來，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；（3）利用平方差公式將寫成（100+99）×（100-99），以此類推，然后化簡求值．（1）圖1中陰影部分面積，圖2中陰影部分面積，所以，得到乘法公式故答案為（2）解：①∵，2m＋n＝4，∴故答案為：3②=（3）=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）=199+195+…+7+3=5050．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用．熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】例題：（2022·湖南邵陽·七年級(jí)期末）計(jì)算：【答案】【分析】首先根據(jù)完全平方公式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則運(yùn)算，再去括號(hào)，最后合并同類項(xiàng)，即可求得．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，解本題的關(guān)鍵在注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．完全平方公式：．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·天津東麗·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式是完全平方式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)逐個(gè)判斷即可．【詳解】A．不是完全平方式；B．不是完全平方式；C．不是完全平方式；D．是完全平方式；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式的特點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，完全平方式有和兩個(gè)．1．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)泰山分校七年級(jí)階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x=-1，y=2．【答案】，3．【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式可以化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：，當(dāng)x=-1，y=2時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算-化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式的化簡求值的方法．【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】例題：（2022·廣西·桂林市雁山中學(xué)七年級(jí)期中）若是完全平方式，則k的值為____________．【答案】±6【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算即可．【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，∴k＝±23＝±6，故答案為：±6．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江·義烏市賓王中學(xué)七年級(jí)期中）若多項(xiàng)式x2﹣4x+m是一個(gè)完全平方式，則m的值為_____．【答案】4【分析】先根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是x和-2，再根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】解：∵-4x=2×(-2)x，∴這兩個(gè)數(shù)是x和-2，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是利用乘積項(xiàng)來確定這兩個(gè)數(shù)．2．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是完全平方式，則n的值為（

）A．6 B．或6 C．1 D．【答案】B【分析】由完全平方式的特點(diǎn)可得或再解方程即可．【詳解】解：是完全平方式，∴或解得：或，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方式的特點(diǎn)，掌握“利用完全平方式的特點(diǎn)建立方程求解”是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五整式的混合運(yùn)算——化簡求值】例題：（2023秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】利用平方差公式和完全平方公式，進(jìn)行化簡，再代入求值，即可求解．【詳解】解∶原式．當(dāng)時(shí)原式．．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握完全平方公式和平方差公式，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·七年級(jí)單元測試）先化簡后求值：(1)，其中

(2)，其中，．【答案】(1)；(2)，12【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，再合并同類項(xiàng)得到最簡代數(shù)式，再代入取值求出代數(shù)式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行化簡，再按照多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求值即可．【詳解】（1）將代入得：（2）將，代入得：【點(diǎn)睛】本題主要考查整式化簡求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）已知，求代數(shù)式的值；（2）已知，求的值．【答案】（1），2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式將原式進(jìn)行化簡，再將代入進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)完全平方公式的變形進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1），

當(dāng)時(shí)，原式；（2），．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，運(yùn)用平方差公式、完全平方公式的變形進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六通過對完全平方公式變形求值】例題：（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則的值為（

）A．10 B．17 C．26 D．33【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式變形計(jì)算即可．【詳解】∵，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式變形計(jì)算，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則_________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式結(jié)合已知條件得出，將代數(shù)式因式分解進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式變形求值，因式分解的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東·萬杰朝陽學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）已知a+b=5，ab=4，(1)求a2+b2的值(2)求（a-b）2的值【答案】(1)17(2)9【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）∵，，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了完全平方公式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)七完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】例題：（2021·寧夏·永寧縣回民高級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖a是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪力均分成園塊小長方形，然后接圖b的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？(2)求出圖b中陰影部分的面積_______．(3)觀察圖b你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，．(4)根據(jù)（3）圖中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，則_______．【答案】(1)m-n(2)或(3)(4)29【分析】（1）根據(jù)題意可得圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即可求解；（2）根據(jù)圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個(gè)長方形的面積或圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n，即可求解；（3）由（2）寫出等量關(guān)系，即可求解；（4）根據(jù)（3）中的結(jié)論可得，再把，代入，即可求解．（1）解：（1）圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即m-n；（2）解：圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個(gè)長方形的面積，即；圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n，所有其面積為；故答案為：或（3）解：由（2）得：；（4）解：由（3）得：當(dāng)a+b=7，ab=5時(shí)，，故答案為：29【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式與圖形之間的關(guān)系，從幾何的圖形來解釋完全平方公式的意義，解此類題目的關(guān)鍵是正確的分析圖形，找到組成圖形的各個(gè)部分，并用面積的兩種求法作為相等關(guān)系列式子．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個(gè)等量關(guān)系是_____．(2)知識(shí)運(yùn)用：若x﹣y=5，xy=6，則=_____．(3)知識(shí)遷移：設(shè)A=，B=x+2y﹣3，化簡的結(jié)果．(4)知識(shí)延伸：若，代數(shù)式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．【答案】(1)(2)49(3)(4)－4【分析】（1）陰影部分是邊長為的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得面積為，陰影部分也可以看作邊長為的大正方形面積減去4個(gè)長為，寬為的長方形的面積，即為，于是可得等式；（2）由（1）得，代入計(jì)算即可；（3）化簡結(jié)果為，再代入計(jì)算即可；（4）設(shè)，，則，，由可求出的值，即可得出答案．（1）解：圖2中的陰影部分是邊長為的正方形，因此面積為，圖2的陰影部分也可以看作邊長為的大正方形面積減去4個(gè)長為，寬為的長方形的面積，即為，所以有：，故答案為：；（2）由（1）得，當(dāng)，，則，故答案為：49；（3），，原式；（4）設(shè)，，則，，，，，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式變形是解決問題的前提．【考點(diǎn)八運(yùn)用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】例題：（2022·河北承德·八年級(jí)期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，即的最小值?．問題：(1)小麗的求解過程正確嗎？(2)你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；(3)求的最大值．【答案】(1)小麗的求解過程正確；(2)的最小值為，過程見解析(3)的最大值為【分析】（1）將式子的一部分利用完全平方公式，寫成平方加上一個(gè)數(shù)的形式，根據(jù)平方的非負(fù)性即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）根據(jù)（1）的方法即可求解．（1）小麗的求解過程正確；（2）我能出的最小值為，，，的最小值為；（3）解：∵，∴的最大值為7．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，平方的非負(fù)性，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西省西咸新區(qū)秦漢中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項(xiàng)式的最小值．例如，求的最小值問題．解：，又，，的最小值為．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：____________；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。敬鸢浮?1)-2；1(2)-2(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方式的特征求解．（2）利用完全平方公式變形，再求最值．（3）作差后利用完全平方公式變形，再比較大?。?）解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．故答案為：﹣2，1．（2）2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，∵≥0，∴≥﹣2，∴當(dāng)x+1＝0即x＝﹣1時(shí)，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．即的最小值是﹣2．（3）－＝﹣2x+1+1＝，∵≥0，∴+1＞0，∴＞2x﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，正確變形，充分利用平方的非負(fù)性是求解本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題(1)知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)x＝____時(shí)，代數(shù)式的最小值是_____；(2)知識(shí)運(yùn)用：若，當(dāng)x＝____時(shí)，y有最____值（填“大”或“小”），這個(gè)值是____；(3)知識(shí)拓展：若，求y+2x的最小值．【答案】(1)－3，－21；(2)3，大，6；(3)【分析】（1）利用完全平方公式對代數(shù)式變形，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得答案；（2）利用完全平方公式對變形，然后根據(jù)可得答案；（3）移項(xiàng)可得，利用完全平方公式對變形，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得答案．（1）解：，∵，∴時(shí)，代數(shù)式的值最小，最小值為－21，即當(dāng)x＝－3時(shí)，代數(shù)式可取最小值－21，故答案為：－3，－21；（2），∵，∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值最大，最大值為6，即當(dāng)x＝3時(shí)，y有最大值6．故答案為：3，大，6；（3）∵，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為，即當(dāng)x＝時(shí)，y+2x的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了偶次方的非負(fù)性，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形是解答本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列多項(xiàng)式乘法中，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】平方差公式的定義：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，即，據(jù)此逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)平方差公式可知，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，解題關(guān)鍵是掌握平方差公式的定義：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，注意這兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)相同，另一個(gè)必互為相反數(shù)．2．（2023春·七年級(jí)單元測試）若，則的結(jié)果是（

）A．23 B．25 C．27 D．29【答案】C【分析】將左右兩邊進(jìn)行平方運(yùn)算，然后化簡求值即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，能熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的二次三項(xiàng)式可化為一個(gè)二項(xiàng)式的平方，m的值是（

）A．8 B．16 C．8或 D．16或【答案】C【分析】根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)列式求解即可．【詳解】解：∵是一個(gè)二項(xiàng)式的平方，∴，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是完全平方公式的考查，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．4．（2023春·七年級(jí)單元測試）如圖，由圖形的面積關(guān)系能夠直觀說明的代數(shù)恒等式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用面積公式及割補(bǔ)法分別求出圖中正方形①的面積，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，圖中正方形①，其邊長為，故其面積可表示為：，利用割補(bǔ)法，正方形①的面積也可計(jì)算如下：，即有．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式與幾何圖形，理解并掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三種不同類型的地磚如圖所示，其中A類4塊，B類12塊，C類若干塊，小明想用這些地磚剛好拼成一個(gè)大正方形（無縫隙且不重疊），那么小明所用C類地磚（

）A．4塊 B．6塊 C．9塊 D．12塊【答案】C【分析】直接計(jì)算面積求出正方形的邊長即可．【詳解】設(shè)C類地磚x塊，則因?yàn)樾∶飨胗眠@些地磚剛好拼成一個(gè)大正方形，當(dāng)時(shí)，可得所以C類地磚9塊．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用完全平方化簡．二、填空題6．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：=___________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，熟知完全平方公式是解題關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，，那么的值為_____．【答案】0【分析】首先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，把原式化為含有，的形式，再把，代入計(jì)算，即可求得其值．【詳解】解：，，；故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值問題，把原式化為含有已知式子的形式是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┮阎?，則代數(shù)式______．【答案】【分析】將所給式子變形為，再將所求式子利用完全平方公式變形，整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握整體思想的運(yùn)用，不要盲目代入．9．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的多項(xiàng)式是完全平方式，則m的值為_____________．【答案】或##或【分析】根據(jù)完全平方公式：，觀察其構(gòu)造得到，即可得出的值；【詳解】解：∵關(guān)于x的多項(xiàng)式是完全平方式，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，m的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是完全平方式，觀察公式的構(gòu)成是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以，為邊分別作正方形和正方形，若，，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，，利用完全平方公式和正方形的面積公式求解即可．【詳解】解：由題意，，，，∴，，∴圖中陰影部分的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、正方形的面積公式、三角形的面積公式，理解題意，掌握完全平方公式的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）先化簡再求值：，其中，；【答案】；【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，平方差公式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)，最后將字母的值代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：；當(dāng)，時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法以及化簡求值，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，．【分析】利用完全平方公式和平方差公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，把字母的值代入化簡結(jié)果即可．【詳解】解：原式．當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的化簡求值，熟練掌握乘法公式和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可求解；（2）利用平方差公式計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·七年級(jí)單元測試）用簡便方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)4037(2)【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．15．（2023秋·海南?？凇ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：(1)；(2)；(3)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）先計(jì)算多項(xiàng)式相乘，然后合并同類項(xiàng)即可；（2）先計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和完全平方公式，然后合并同類項(xiàng)即可；（3）首先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則化簡，然后代