高等數(shù)學(xué)不定積分

關(guān)于高等數(shù)學(xué)不定積分二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)第2頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:

一個(gè)質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn),下沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)牛頓第二定律,加速度因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知求第3頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿(mǎn)足則稱(chēng)F(x)為f(x)問(wèn)題:

1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?第4頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月

定理.

存在原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月定理.

原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;定義2.

在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱(chēng)為上的不定積分,其中記作常數(shù)C不能丟掉若則(C為任意常數(shù))第6頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為的圖形的所有積分曲線(xiàn)組成的平行曲線(xiàn)族.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的積分曲線(xiàn)

.第7頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例1.設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線(xiàn)的方程.解:所求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線(xiàn)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月第二節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)第9頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月二、基本積分表p170-171從不定積分定義可知:或或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例2.求例3.

求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例4.求解:

原式

=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例7.

求解:

原式

=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月思考與練習(xí)1.

若提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月2.

若是的原函數(shù),則提示:已知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月3.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個(gè)原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月4.

求下列積分:提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月5.

求不定積分解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月6.

已知求A,B.解:

等式兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月二、第二類(lèi)換元法第三節(jié)一、第一類(lèi)換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束換元積分法

第四章

第23頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法基本思路

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)可導(dǎo),則有第24頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月一、第一類(lèi)換元法定理1.則有換元公式(也稱(chēng)配元法即,湊微分法)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例1.

求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例2.求解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例3.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第28頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例4.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類(lèi)似第29頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例5.求解:∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第30頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月第31頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例6.求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第32頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例7.求解:

原式=例8.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第33頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例9.求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第34頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例10.

求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第35頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例11.

求解:

原式

=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第36頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例12.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第37頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例13.

求解:∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第38頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例14.求解:原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分析:

第39頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月1.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)第40頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月二、第二類(lèi)換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類(lèi)換元積分法.難求，第41頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月定理2.

設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有換元公式第42頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例16.求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第43頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例17.求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第44頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例18.求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第45頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月令于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第46頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月原式例19.求解:

令則原式當(dāng)

x<0時(shí),類(lèi)似可得同樣結(jié)果.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第47頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月解:

原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例20.

求第48頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例21.求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第49頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例22.求解:

令得原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第50頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月思考與練習(xí)下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第51頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分部積分法

第四章

第52頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例1.求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第53頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例2.

求解:

令則原式

=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第54頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例3.求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第55頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例4.求解:

令,則∴原式再令,則故原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第56頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反:反三角函數(shù)對(duì):對(duì)數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)第57頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例6.求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令第58頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例7.已知的一個(gè)原函數(shù)是求解:說(shuō)明:

此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第59頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月第60頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月思考與練習(xí)下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里?應(yīng)如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用換元法.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第61頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月第四節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有理函數(shù)的積分

第四章

第62頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第63頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例1.將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第64頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月(2)用賦值法故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第65頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月(3)混合法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原式=第66頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月四種典型部分分式的積分:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束變分子為再分項(xiàng)積分第67頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例2.求解:

已知例1(3)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第68頁(yè),共76頁(yè)，星期六，2024年，5月例3.求解:

原式機(jī)動(dòng)目錄