備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題22平面向量

專題22平面向量【考點預(yù)測】一、向量的基本概念1、向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如（其中A為起點，B為終點）.注：談到向量必須說明其方向與大小.向量的大小，有就是向量的長度（或稱模），記作或.2、零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量零向量：長度為零的向量，記為，其方向是不確定的.單位向量：模為1個單位長度的向量.當(dāng)時，向量是與向量共線（平行）的單位向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因為任何平行向量經(jīng)過平移后，總可以移到同一條直線上.規(guī)定零向量與任何向量平行（共線），即.注：①數(shù)學(xué)中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何中平行不可以重合；③，，不一定有，因為可能為.二、向量的線性運算1、向量的加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法，已知向量，，在平面內(nèi)任取一點A，作，，則向量叫做向量與的和（或和向量），即.向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則.如圖所示，向量=.2、向量的減法（1）相反向量.與長度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作.（2）向量的減法.向量與的相反向量的和叫做向量與的差或差向量，即=.向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖所示，，則向量.3、向量的數(shù)乘（1）實數(shù)λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ>0時，的方向與的方向相同；當(dāng)λ<0時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向不確定；時，方向不確定.（2）向量數(shù)乘運算的運算律.設(shè)、為任意向量，、為任意實數(shù)，則；；.三、平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使.2、平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為.叫做向量關(guān)于基底的分解式.3、三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，O為平面內(nèi)一點.四、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算（1）平面向量的坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對（）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（）.(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有向量（）向量點（）.（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.若=（），為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).（4）設(shè)A，B，則=， 即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).五、向量的平行設(shè)，.的充要條件是.除了坐標(biāo)表示外，下面兩種表達(dá)也經(jīng)常使用：當(dāng)時，可表示為；當(dāng)時，可表示為，即對應(yīng)坐標(biāo)成比例.六、平面向量的數(shù)量積(1)已知兩個非零向量和，作＝，＝，叫作向量與的夾角．記作，并規(guī)定.如果與的夾角是，就稱與垂直，記為.(2)叫作與的數(shù)量積，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個非零向量與垂直的充要條件是=0.兩個非零向量與平行的充要條件是.七、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長度||與在方向上的射影||cosθ的乘積．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面向量數(shù)量積滿足的運算律（1）（交換律）；（2）為實數(shù)）；（3）（分配律）。數(shù)量積運算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，不可約分.九、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量由此得到（1）若；（2）設(shè)兩點間距離（3）設(shè)的夾角，則【典例例題】例1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則【答案】C【解析】依題意，對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；對于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對于任意向量，必有，故正確；對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.故選：C.例2．（2023·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，是上靠近的四等分點，是上靠近的四等分點，是的中點，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是上靠近的四等分點，是上靠近的四等分點，是的中點，所以.故選：C.例3．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學(xué)期末）已知向量，若與共線，則（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】因為與共線，所以．故選:A．例4．（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】連接，由題可知，又因為為的中點，所以，所以，所以，所以.故選：A.例5．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在矩形中,,點滿足,則（

）A． B．14 C． D．【答案】A【解析】解:由題不妨以為坐標(biāo)原點,方向分別為軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系,則所以,,因為設(shè),所以,解得,所以,所以.故選:A例6．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題知，，所以，設(shè)與夾角為，所以在上的投影向量是，故選：.例7．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為向量，所以，解得，所以，故選：C例8．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考期末）已知，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以所以向量與的夾角為故選：C例9．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開學(xué)考試）已知向量的夾角的余弦值為，，，則（

）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】C【解析】由題意不妨設(shè)，，則，，由，可得，即，又由，解得，所以.故選：C.例10．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且，.則（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因為點M是BC的中點，所以，故，則，故，因為三點共線，所以存在使得，即，則，所以，解得：.故選：A例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接，與交于點，若，則的值為______.【答案】【解析】在中，不共線，因為，則有，又三點共線，于是得，解得，所以的值為.故答案為：例12．（2023秋·河北保定·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，，則___________．【答案】【解析】因為向量，，，所以，因為，所以有，故答案為：例13．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，向量滿足則__________【答案】0【解析】因為，所以，所以，所以.故答案為：【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，設(shè)，，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，，設(shè)，由對應(yīng)系數(shù)相等得.故選：D.2．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）在中，，，若點M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：.故選：A.3．（2023秋·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）已知向量，且與互相平行，則的值（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】∵向量，，∴，，∵與互相平行，∴，解得．故選：C．4．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）在四邊形中,,,點在線段上,且,設(shè),,則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由題知,,，畫出示意圖如下:因為,,,所以.故選:C5．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄浚?，則實數(shù)m的值是（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】由，得，解得.故選：A.6．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，不共線，若，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線【答案】B【解析】對于A，因為，，若A，B，C三點共線，則存在實數(shù)使得，則，無解，所以A，B，C三點不共線，故A錯誤；對于B，∵，∴，又∵A是公共點，∴A，B，D三點共線，故B正確；對于C，因為，，所以，若A，C，D三點共線，則存在實數(shù)使得，又，所以，無解，所以A，C，D三點不共線，故C錯誤；對于D，若B，C，D三點共線，則存在實數(shù)使得，又，，所以，無解，所以B，C，D三點不共線，故D錯誤；故選：B.7．（2023春·河南洛陽·高三欒川縣第一高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，且，．故選：A．8．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知平行四邊形中，，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，則，即，解得，即.故選：C.9．（2023春·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知向量．若，則實數(shù)（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】A【解析】解析：根據(jù)題意，向量，則，則．若，則有，兩邊平方得到，再平方得到，解得．故選：．10．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知向量，若與平行，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，，由與平行，有，解得.故選：B11．（2023秋·廣西南寧·高三南寧二中校考期末）已知平面向量，且，則（）A． B．（0，0）C． D．（1，2）【答案】B【解析】由于，所以，所以.故選：B12．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】依題意，，由，則，所以.故選：D.13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】向量在向量方向上的投影為，，，則向量在向量方向上的投影為，故選：D.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，則向量在向量方向上的投影是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】向量在向量方向上的投影是.故選：B15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，下列正確的是（

）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【解析】由已知，，所以，，因為，所以不平行，A錯，因為，所以不垂直，B錯，因為方向上的投影為，C對，因為，所以不垂直，D錯，故選：C.16．（2023春·山東濟南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，則，，.故選：C.17．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，兩邊平方得，所以.故選：A18．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】．故答案為：A.19．（2023春·浙江·高三開學(xué)考試）若向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，得，又，所以.故選：A．20．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知兩個單位向量滿足，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，即，所以，故選：.21．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖,在平行四邊形中,,是邊的中點,是上靠近的三等分點,若,則（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【解析】解:由題知,所以,記,因為且為平行四邊形,所以,解得:(舍)或.故選:A22．（2023秋·山東煙臺·高三山東省煙臺第一中學(xué)?？计谀┤羝矫嫦蛄颗c的夾角為，，，則等于（

）．A． B． C．4 D．12【答案】B【解析】因為平面向量與的夾角為，，，所以，，所以.故選：B.23．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）設(shè)向量，滿足，，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】因為，，以上兩式相減可得，，所以，即，故選：D.24．（2023春·河南洛陽·高三洛陽市第八中學(xué)校考開學(xué)考試）已知向量，，，若，則（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【解析】因為向量，，所以，因為，所以，可得，故選：D．25．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C．8 D．16【答案】A【解析】由已知，又，，或（舍去，）故選：A.二、多選題26．（2023秋·遼寧營口·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，是兩個非零向量，則下列描述錯誤的有（

）A．若，則存在實數(shù)，使得.B．若，則.C．若，則，反向.D．若，則，一定同向【答案】ACD【解析】對于選項A：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相反且，則存在實數(shù)，使得，故選項A錯誤；對于選項B：當(dāng)，則以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個矩形的兩條對角線長，則，故選項B正確；對于選項C：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相同，故選項C錯誤；對于選項D：當(dāng)時，則，同向或反向，故選項D錯誤；綜上所述：選項ACD錯誤，故選：ACD.27．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】由，得，即，解得或，則A錯誤，B正確；由，得，解得，則C，D正確．故選：BCD.三、填空題28．（2023秋·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)?？计谀┤?，則與向量反方向的單位向量的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】，則與向量反方向的單位向量的坐標(biāo)為.故答案為：.29．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則________．【答案】【解析】因為為在方向上的投影向量，，所以，又，且，所以.故答案為；.30．（2023·高三課時練習(xí)）已知點，，則的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】點，，則，所以的坐標(biāo)是.故答案為：31．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量，，若，則實數(shù)___________．【答案】【解析】向量，，則，而，則有，解得，所以實數(shù).故答案為：32．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，若，則__________.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，解得故答案為：33．（2023秋·海南·高三統(tǒng)考期末）已知正方形的邊長為，邊，的中點分別為，，則________．【答案】【解析】以為原點，，方向分別為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，∴，∴.故答案為：.34．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，，若，，三點共線，則______．【答案】【解析】因為向量，，則，而，又，，三點共線，則有，因此，解得，所以.故答案為：35．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則t的值為______．【答案】【解析】因為向量，，所以，，又因為，所以，即，解得.故答案為：.36．（2023·高三課時練習(xí)）已知向量，，且，則x的值為______．【答案】6【解析】因為，，且，所以，即.故答案為：6.37．（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）已知向量,,則向量在向量方向上的投影是______．【答案】【解析】解:由題知,,在向量方向上的投影為:.故答案為:-138．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）已知，且，則在上的投影向量為__________．【答案】【解析】因為，且，則在上的投影向量為，故答案為：.39．（2023·高三課時練習(xí)）已知向量、、滿足，，，且，則______．【答案】【解析】因為向量、、滿足，，，且，則有，所以.故答案為：40．（2023·高三課時練習(xí)）在中，已知，，，則的值為______．【答案】【解析】，又，，.故答案為：．41．（2023秋·山東東營·高三東營市第一中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄繚M足，，，則的夾角為_____________．【答案】【解析】設(shè)向量的夾角為θ.由已知可得，，所以，所以.又，所以，所以，.則，又，所以.又，所以，所以的夾角為.故答案為：.42．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）在中，分別為的中點，則__________.【答案】－4【解析】由已知，，．故答案為：．43．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中?？寄M預(yù)測）已知向量與的夾角是，，，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】由已知，，，又，故答案為：44．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量滿足，請寫出一個符合題意的向量的坐標(biāo)______.【答案】（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意，向量，且，則有，即，當(dāng)時，，則.故答案為：（答案不唯一）45．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試