重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，且，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.-3 C.-2 D.-1〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)?，所以，即，解?故選：B.2.在，，0，，，0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為零，虛部不為零，故，是純虛數(shù)，共個(gè).故選：C.3.已知向量、的夾角為60°，，若，則=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得：，所以=．故選：D.4.已知向量，，，則等于（）A.3 B.4 C.15 D.21〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，解得，則，所以.故選：D.5.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，點(diǎn)O到平面ABD的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知當(dāng)平面平面時(shí)四面體的體積最大時(shí)，因?yàn)闉檎切?，，，所以，則，當(dāng)平面平面時(shí)，取線段中點(diǎn)，則點(diǎn)為直角三角形的外心，連接，則易知平面，所以四面體外接球球心在上，因?yàn)闉檎切?，所以四面體外接球球心即為的中心，則，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到面的距離為，由得，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2，所以，，中，，所以，則，所以點(diǎn)到面的距離為.故選：C.6.已知為平面外一點(diǎn)，到兩邊的距離都為，則到面的距離（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離均為，過(guò)點(diǎn)作，交于，作，交于，過(guò)作平面，交平面于，連接，，則，故，所以，又，，到平面的距離為．故選：B．7.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長(zhǎng)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.勒洛四面體最大的截面是正三角形B.若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為C.勒洛四面體的體積是D.勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是〖答案〗D〖解析〗由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過(guò)四面體表面的截面，如圖1所示，故A不正確；根據(jù)勒洛四面體的性質(zhì)，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即為內(nèi)接正四面體的邊長(zhǎng)，所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為，故B錯(cuò)誤；如圖2，由對(duì)稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，連接并延長(zhǎng)交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑，如圖3，在正四面體中，為的中心，是正四面體外接球的球心，連接、、，由正四面體的性質(zhì)可知在上，因?yàn)?，所以，則.因?yàn)椋?，解得，則正四面體外接球的體積是，而勒洛四面體的體積小于其外接球的體積，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕?，勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是，則D正確.故選：D.8.在中，為上一點(diǎn)，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：相似轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系，如圖所示，在和中，有，故，設(shè)，則，，所以，設(shè)則根據(jù)相似比：得，又，由余弦定理可得：，則，，故.法二：正弦定理邊化角，設(shè)，則，在和中，有，由正弦定理有：，兩式相除得：，由三角恒等變換公式得：，由弦化切，構(gòu)造齊次式得：，即，解之得：或，在中，則，故.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.9.下列命題中，真命題（）A.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為C.復(fù)數(shù)虛部為D.復(fù)數(shù)，則〖答案〗BCD〖解析〗復(fù)數(shù)為純虛數(shù)充要條件是，故A錯(cuò)；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的虛部為，故B，C對(duì)；復(fù)數(shù)，則，，故D對(duì).故選：BCD.10.已知，，是平面上三個(gè)非零向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.一定存在實(shí)數(shù)，使得成立B.若，那么一定有C.若，那么D.若，那么，，一定相互平行〖答案〗BC〖解析〗只有當(dāng)，不是共線向量時(shí)，一定存在實(shí)數(shù)，使得成立，因此選項(xiàng)A不正確；由，因此選項(xiàng)B正確；由，，所以選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，顯然成立，但是，，不一定互相平行，因此選項(xiàng)D不正確.故選：BC.11.在菱形中，，，將菱形沿對(duì)角線折成大小為的二面角，若折成的四面體內(nèi)接于球，則下列說(shuō)法正確的是（）A.四面體的體積的最大值是B.的取值范圍是C.四面體的表面積的最大值是D.當(dāng)時(shí)，球的體積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，，則為等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，同理可知，為等邊三角形，所以，，且，，所以，二面角的平面角為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即四面體的體積的最大值是，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由余弦定理可得，所以，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，，，所以，，因此，四面體的表面積的最大值是，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)、分別為、的外心，則，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，，，，平面，平面，，，，平面，同理可得平面，則為四面體的外接球球心，連接，，，，，所以，，，平面，平面，，，即球的半徑為，因此，球的體積為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)的模是_____________.〖答案〗3〖解析〗復(fù)數(shù)是三角形式，故的模是3.故〖答案〗為：3.13.在60°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到二面角的棱的距離是10，則該點(diǎn)到另一個(gè)面的距離是______.〖答案〗〖解析〗如圖所示，為二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，是它到另一個(gè)面的距離，是它到棱的距離為10，又∴面得出所以為二面角的平面角，，在中，.故〖答案〗為：.14.已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)，如圖作平行四邊形，則，令，由于恒成立，即恒成立，在中，，，，由于恒成立，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為已知.（1）求角的大?。唬?）若，求的面積；（3）若為BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng).解：（1），，即，由正弦定理得，由余弦定理得，.（2），由余弦定理得，.（3）在中，由余弦定理得，即，又，得，為BC的中點(diǎn)，，兩邊平方得，，即中線AD的長(zhǎng)度為.16.設(shè)復(fù)數(shù)．（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，求；（2）若是純虛數(shù)，求.解：（1）由，得，而由已知是實(shí)數(shù)，于是，解得，所以.（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以，.17.已知正方體中，，點(diǎn)M，N分別是線段，的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)M到平面的距離；（2）判斷，M，B，N四點(diǎn)是否共面，若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）記點(diǎn)M到平面的距離為h，易知為正三角形，且，所以，又，所以，因?yàn)椋?，即，解得，即點(diǎn)M到平面的距離為.（2），M，B，N四點(diǎn)共面，證明如下：連接，因?yàn)镸，N分別是線段，的中點(diǎn)，所以，由正方體性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，M，B，N四點(diǎn)共面.18.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．（1）設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：平面；（2）若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．解：（1）連接交于，連接，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，又為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以．所以，又平面，平面，所以平面．?）在平面中，過(guò)點(diǎn)作射線，因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，所以為二面角的平面角，且，又，平面，所以平面，在平面中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，平面，所以平面，則即為直線和平面所成的角，于是為點(diǎn)到平面的距離，且，設(shè)直線和平面所成角為，又，則，所以直線和平面所成角的正弦值為．19.個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個(gè)維向量，其中，2，，稱為該向量的第個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，，，稱為維信號(hào)向量．設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且．（1）直接寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量．（2）證明：不存在6個(gè)兩兩垂直的6維信號(hào)向量．（3）已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量，，，滿足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：．解：（1）依題意，可寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量為：，，，．（2）假設(shè)存在6個(gè)兩兩