導(dǎo)數(shù)在研究不等式的創(chuàng)新應(yīng)用講義-2024高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)壓軸題（解析版）

專題11導(dǎo)數(shù)在研究不等式的創(chuàng)新應(yīng)用

?夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

知識點(diǎn)一不等式的恒成立問題：

1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后

構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法

和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：

(1)V%eD,m<f(x)<^m<f(x)^a-

(2)V%eD,根1mx；

(3)玉€。，“區(qū)〃了)0機(jī)4/(%)網(wǎng)；

(4)BxeD,加2

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=f(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d].

⑴若片《。，可,e[c,d],有〃孑)<g(x?)成立，則/⑺厘<g(x)1n；

⑵若％e[a,可,3x,e[c,d],有〃孑)<g(/)成立，則/⑺1mx<g⑴皿；

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(3)若當(dāng)e[a,b],3x2&[c,d],有/(%)<g(%)成立，則f⑴二<g(x)1M

(4)若我e[a,6],*G[c,d],有〃%)=g(蒼)成立,則〃尤)的值域是g(x)的值域的子集.

知識點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下:

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/■)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=F(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

.提升?必考題型歸納

、.171

例L(23-24IWJ二上,云南保山,期末)已知。=二，=In—,c=tan—,則()

666

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由sinx<x<tanx,可判斷c>〃，再由切線不等式皿%+1)?%,可判斷&>>，得解.

【詳解】由當(dāng)1寸，由三角函數(shù)線知識可得sinx<x<tanx,

所以c=tan』>L=〃,

66

又令/(x)=ln(x+l)-x，X>-1,

「?尸(%)=-^-1=――：，

x+1x+1

令r(x)>o,m-i<x<o,令ra)<o,解得x>o,

所以函數(shù)〃x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+g上單調(diào)遞減，

.-./(X)</(O)=O,即ln(x+l)?x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，

故而6=ln[=lnjl+J=a,所以c>a>6.

O107O

故選：A.

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例2.(23-24高三下?江西?開學(xué)考試)142857被稱為世界上最神秘的數(shù)字，

142857x1=142857,142857x2=285714,142857x3=428571,142857x4=571428,

142857x5=714285,142857x6=857142,所得結(jié)果是這些數(shù)字反復(fù)出現(xiàn)，若

a=e°,42857,°=1市285714+],°=&.285714,貝|()

2

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】

設(shè)『(x)=e*—x—l(x>0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得e*>x+l(x>0),結(jié)合x+1>+2x(x>0)可

得e*>Jl+2x(x>0),則。>。；由e*>x+l(x>0)得x>lnx+l(x>1),進(jìn)而c>b,即可求解.

【詳解】

1n

由題意知，a=e42857,c=71.285714=11+2x0.142857,

設(shè)/(x)=ex-l(x>。)，/(x)=e*-l,

當(dāng)x?0,+8)時,單調(diào)遞增，

所以/(x)產(chǎn)ex-x—1>/(0)=0,所以e'>x+l(尤>0).

因?yàn)閂+2x+l>l+2x(尤>0),所以x+1>Jl+2x(x>0),

得ex>Jl+2x(x>0),所以e0142857>J1+2x0.142857,即。>c；

由e">X+1(尤>0),得%>ln(x+l)(%>°),所以x—l>lnx(x>l),gpx>lnx+l(x>l),

所以J1.285714AlnAtoS7人]」11^%],即

2

綜上a>c>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟：

⑴作差或變形；

(2)構(gòu)造新的函數(shù)〃(力；

⑶利用導(dǎo)數(shù)研究％(x)的單調(diào)性或最值；

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⑷根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

常用的不等式：sinx<x<tanx^O<x<~^,ln(x+l)<x(x>0),

lnx<x-l<x2-x(x>0),ex>x+l,e">ex>x(x>0).

例3.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力=2|%+時+log3(x+加/若〃x+1)為偶函數(shù)，a=f

b=f(9),0=/卜《］,則()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【分析】

根據(jù)函數(shù)對稱軸可得機(jī)=T,進(jìn)而可知/(尤)在。,E)上為增函數(shù)，令g(x)=e-x-l,利用導(dǎo)數(shù)可得

ex>x+l(x>0),以及l(fā)n(x+l)<x(x>0),進(jìn)而分析得解.

【詳解】因?yàn)?(X+1)為偶函數(shù)，則/(x+l)="T+l),

可知“X)的對稱軸為X=1,

又因?yàn)閥=2|x+/n|,y=(x+均只有一條對稱軸x=-m,

可知“無)只有一條對稱軸了=-冽，則一加=1,可得〃?=-1,

所以〃x)=2B-l|+log3(x-l)2,

當(dāng)x>l時，〃x)=2x-2+21og3(x-l),

因?yàn)槎?2%-2,〉=21083(%-1)在(1,+00)上為增函數(shù)，則“X)在(1,包)上為增函數(shù),

令g(x)=e"一無一1,則g'(x)=eX—l,

當(dāng)x>0時，g'(x)>0,則g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

可得g(x)>g(O)=O，即e、>x+l(x>0),則后=￡>|；

由e">x+l(x>0),可得ln(x+l)vx(x>0),則Ivln^；

即可得所以b>a>c.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

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關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，過程中用到了函數(shù)g(x)=e=x-1,對應(yīng)的不等式為e，>x+l(x>0),以及變

形的ln(x+l))x(x>0).此類不等式常用的有e—x+1,ln(x+l)vx,lnx<x-l,e^>ex,加強(qiáng)記憶，方

便碰到此類問題后直接使用.

例4..(2023?陜西商洛?二模)已知函數(shù)/(x)=e"-2x+l,g(x)=2x-21nx,若存在加％e(1,,使得

/(%)=8(%),則()

A./(x1)<g(x1)B.<lnx2

C.ln(2^)<lnx2D.<lnx2<2xt

【答案】D

【分析】構(gòu)造。(x)="x)-g(x)(x>l),對e(x)求導(dǎo),得出。(X)的單調(diào)性即可判斷A；由/(%)=g伍)可

得e"-2%-1=2(*2-1啖-1)，構(gòu)造火力=爐—%—l(x>0),對〃(x)求導(dǎo)，得出〃(力在(0,+巧上單調(diào)遞

增,可得/2(2%)>九(11%)即可判斷B；由題意可得力(菁)，結(jié)合〃(X)的單調(diào)性可得再<1%,可判

斷C,D.

【詳解】令。(x)=/(x)-g(x)=e4x+l+21nx(x>l),

則e'(x)=2卜2工-2+>0,所以尤)在(1,+⑹上單調(diào)遞增，

姒力>°(1)=，一3>0,故/(百)〉g(±),故A錯誤；

1

由題意得e"'-2xt+1=2X2—21nx2,

所以e?再一2&T=2(X2-lnx2-1)=2(e皿-lnx2-l),

因?yàn)橛?9,所以玉>0,lnx2>0,

令/z(x)=e，一x-l(x>0),則/z(2x1)=2/?(lnx2),且〃(x)=e*-l>0在(0,+oo)上恒成立，

所以Mx)在(0,+動上單調(diào)遞增，故無⑺>力⑼=0,

所以〃(2%)=2/7(lnxj>々(liUj),即,

故2占>In%2,故B錯誤.

Xe2xi--1-2(er,--1)=(eX|-1)2>0,

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所以—2占-1>2(e*|—玉-1),所以沙仙與)=〃(2%)>2萬(匕)，BPh[\ox2)>h^x^,

所以再<11?：2，C錯誤，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(%)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明〃x)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)/l(x)=〃x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造"形似"函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

例5.(2023?廣西?模擬預(yù)測)已知aeR,設(shè)函數(shù)〃元)=(一；’一，若關(guān)于無的不等式>0在

x—amx,x>\

xeR上恒成立，則。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(l,e)D.(0,e)

【答案】C

【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)及不等式恒成立易得a>L當(dāng)x>l時對/(x)求導(dǎo)研究單調(diào)性求最小值，結(jié)合恒成

立求參數(shù)范圍即可.

【詳解】當(dāng)X41時，外力的開口向上且對稱軸尤=:>1,

此時〃尤),=/(1)=2(。一1),要使〃力>0恒成立，則“>1,

當(dāng)X>1時r(x)=十,(l,a)±r(x)<0,即“X)遞減,(。,包)上用勾>0,即〃尤)遞增；

所以=/(a)=a-alna,要使/'(x)>0,則a—alna>0,即lna<l,故a<e；

綜上，。的取值范圍為(Le).

故選：C

.x2+(a+l)x+a,x<l/、「、

例6.(2023?全國,模擬預(yù)測)已知函數(shù)g(zxx)=(\,若不等式g(x)W0的解集為卜1,內(nèi))，

ciix—11+21rLV,%>1

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-a>,-2]B.(-oo,-l]

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C.[—2,—1]D.(-2,-1]

【答案】A

【分析】利用二次函數(shù)的知識求當(dāng)x<l時。的范圍，當(dāng)x>l時可得21nxW-a(x-l)(x>l)恒成立，貝I]

丁=一。(》-1)(》>0)恒在丁=2111彳(》>0)的上方(或恰相切)，求出y=-a(x-l)恰為函數(shù)；y=21nx在(1,0)處

的切線的臨界時參數(shù)。的值，即可得解.

【詳解】當(dāng)xWl時，g(x)=x2+(a+l)x+i7=(x+l)(x+fl),

令g(x)=0,得》=-1或x=-a,因?yàn)椴坏仁絞(x)W0的解集為[-1,心)，所以-窈1，解得aW-L

當(dāng)x>l時，g(x)=a(x-l)+21nr,結(jié)合不等式g(x)W0的解集為[T,”)，

得a(x-l)+21nxW0(x>l)恒成立，即21nx4-a(x-l)(x>l)恒成立，

貝ijy=—a(x—l)(x>0)恒在y=21nx(x>0)的上方(或恰相切)，

又丁=-a(x-1)的表示過定點(diǎn)(1,0)的直線，點(diǎn)(1,0)恰在曲線y=21nx上，

所以臨界條件為y=-a(x-l)恰為函數(shù)>=21nx在(1,0)處的切線，

2

由y=21nx可得y=—,則VL=i=2,所以—心2,解得〃0一2.

x

綜上可得實(shí)數(shù)。的取值范圍為(f,-2].

故選：A.

2e

例7.(23-24高二上?湖南衡陽?期末)已知函數(shù)/(幻滿足/'(lnx)+2/(l_lnx)=x+—-lnx+2.若

尤

70-111。)>彳+111%對于犬6(0,+8)恒成立，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(0,e)

【分析】由/(111》)+2/(1-111月=尤+至一lnx+2o/(lnx)+2/fln±]=x+至一In無+2,式中的尤換成士，

X\X)XX

聯(lián)立求得f(lnx)=x+lnx,從而"x)=e*+x,然后將/(無一Ina)>尤+lnx,轉(zhuǎn)化為/(x-lna)>/(Inx),利

用/(x)在R上單調(diào)遞增求解.

2e(AAOp

【詳解】/(lnx)+2/(l-lnx)=x+一—ln.x+2^/(lnx)+2/In-=x+—-lnx+2?,將①式中的x換

XyXyX

成士，得/j山—)+2/(Inx)=—F2x—(1—Inx)+2②,

xIxjx

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得了(lnx)=x+lnx,故/(%)=e"+x.

所以由/(x-lna)>x+lnx,得/(x-lna)>/(Inx).

因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，

所以九一1114>111101114<%—111尤對于光￡(0,+00)恒成立.

1X—1

令g(x)=x-lnx,貝iJg，Q)=l」=±」，

XX

令g'(x)<0,得0<x<l,令g'(x)>0,得x>l,

故g(無)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L")上單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g6=l，故In”<g(尤)min=1，

解得0<a<e.

故答案為：(O，e)

例8.(23-24高三上?河北保定?階段練習(xí))已知函數(shù)y(x)=eK「alnx,若/(x)2a(lna-l)對彳>0恒成立,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(0,e[

【分析】對不等式進(jìn)行合理變形同構(gòu)得e*+「ma+x+l-lnoNx+lnx,構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性計算即可.

X+1

【詳解】易知a>0,由e*+i-alnxNa(lna-l)可得+1-Ina>Inx,

a

A+1|naA+1lna

即e-+l-lna>lnx,貝U有e-+x+l-lna>x+ln%,

設(shè)/z(x)=e'+無，易知/z(x)在R上單調(diào)遞增，

h(x+1-Ina)>/?(lnx),所以x+l-lnaNlnx,IPx-ln%>lna-l,

設(shè)g(元)=x-lnx=>g'(x)=,令g'(x)>0=尤>1,g'(x)<0=>0<x<l,

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在。,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以g(x"g(l)=l,則有121na-l,解之得ae(0,e2].

故答案為：(0，e2]

例9.(2023?四川眉山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=F，若|/(x),如一加恒成立，則機(jī)的取值范圍為.

【答案】[一1,0]

【分析】在同一坐標(biāo)系下畫出y=m(x-i),y=|/(x)|的圖像,數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析.

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【詳解】/(%)=—,貝1」1(力=二^，故%￡(0,e),/r(x)>0,，⑺遞增；%￡(e,+8),/r(x)<0,/(%)

遞減，

Inx八,

-----,0<%<1

由f(x)=O,解得x=l是唯一零點(diǎn)，又，(無)|=山：，在坐標(biāo)系中畫出尸尸(刈圖像，

---,x>1

、X

又y=機(jī)(X-1)是經(jīng)過定點(diǎn)(1,0)的直線，

如圖，顯然相>0時不成立，機(jī)=0時，|/(x)|N0顯然成立，

相<0時，如圖y=，〃(x-l)和y=g(x)=m±相切于(1,0)時，由于gG)=生變，

XX

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，〃?=g'⑴=-1,結(jié)合圖像可知，根e[T，。]時，，(刈上爾-"2.

故答案為：[-1,0]

例10.(2021?上海長寧二模)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=/(尤)在(-8,0]上單調(diào)遞減.設(shè)g(x)=4(x),若對于

任意xe[L2],都有g(shù)(2+x)4g(ax),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】[-2,2]

【解析】證明函數(shù)g(x)=4(x)為偶函數(shù)，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)g(|x|)=g(x),將問題轉(zhuǎn)化為|2+x|z網(wǎng)在

xe[1,2]上恒成立；

【詳解】解:由題意得=

所以8(-工)=一#(一%)=獷(%)=8(%),即g(x)為偶函數(shù),

因?yàn)槠婧瘮?shù)y="X)在(-8,0]上單調(diào)遞減且“X)>0,

根據(jù)奇函數(shù)對稱性可知，尸(司2。恒成立，

當(dāng)x<0時，g'(x)=/(x)+#'(x)>0

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故g(無)在(-8,5上單調(diào)遞增,

根據(jù)偶函數(shù)對稱性可知，g(X)在(-8,0］上單調(diào)遞減，

因?yàn)閷τ谌我鈞e［1,2］,都有g(shù)(2+x)Wg(ox),

所以|2+才2網(wǎng)在xe［l,2］上恒成立，

所以—(％+2)<ax<2+x

22

所以-1--WQ41+—在九注1,2］上恒成立，

XX

所以-2立42.

故答案為：［-2,2］.

4

例11.(2024?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃4)=lnx+'(xZl).

①求函數(shù)〃x)的最小值；

⑵當(dāng)時，求證：e"ln尤+12*2.

【答案】(1)2

⑵證明見解析

【分析】

(1)直接求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)一步即可得解；

(2)由⑴有l(wèi)nxN2-一二=空凸，當(dāng)x=l時，結(jié)論是平凡的，所以只需證明當(dāng)x>l時，2ex-(x+l)2>0,

構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可進(jìn)一步得證.

414(x—

【詳解】(1)/(x)=lnx+—(x>l),/(x)=---=^>0,

X+1X(x+1)+

所以/(力在［1，+8)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)/(%)的最小值為了⑴二2.

(2)證明：由(1)當(dāng)時，lnx>2————,

x+1X+1

所以要證當(dāng)九21時,有e”?ln%+l12,即eFnx"2—i,

只需證e，?血二尤2-1,當(dāng)*=1時，結(jié)論是顯然的，

X+1

所以只需證當(dāng)%>1時，2ex-(x+1)2>0,

不妨設(shè)令g(x)=2e*-(x+1)2,(尤>1),貝ug'(x)=2e*—2x—2,

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令〃(x)=g，(x),貝！J/(x)=2e，-2>M(l)=2(e-l)>0,

從而g'（x）在（1,+s）上單調(diào)遞增，所以g'（無）=2e，-2x—2>g"）=2（e-2）>。,

從而g（%）在（1,+8）上單調(diào)遞增，所以g⑺=2e，-（x+>g⑴=2（e-2）>0,

綜上所述，命題得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)換為只需證當(dāng)x>l時，2e*-（龍+以20,由此即可順利

得解.

例12.（2024,廣東?一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學(xué)的一個重要分支，其主要研究對象包括

向量和矩陣.對于平面向量”=（尤,V）,其模定義為|“|=Jd+蟲.類似地,對于〃行"列的矩陣

4=%%%,其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂?I寸寸/丫（其中均為矩陣中第i行第，列的數(shù),

a

〃31“32〃333n公々"

24

Z為求和符號）,記作N,我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù),例如對于矩陣42=

35

（nn\2,--------------------

其矩陣模、==也2+42+32+5?=3".弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)

Ii=lj=l>

用.

<1000、

0夜00

(1)VneN*?n>3,矩陣紇〃二00V30,求使人>3小的〃的最小值.

00亞

(2)VneN*,n>3,,矩陣=

cos8cos。cosOcos。cos8、

0一sin。-sin。cos。-sin8cos。一sin8cos。一sin。cos6

00sin26>sin20cos0sin20cos0sin2OcosO

求。

0000(—I)""sin"2。(—I)""sin〃—2gcose

0000(-I)"-1sin71-1e,

第11頁共27頁

n+2

00--0

n

證明：Vz?eN*,n>3,DF>

3〃+9

【答案】(1)10

(2)11

⑶證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列求和公式和一元二次不等式的求解即可；

(2)總結(jié)得第〃對角線上的平方和為cos?。，再代入化簡即可；

(3)等價轉(zhuǎn)化結(jié)合放縮法得證明Ing二,V”21,〃eN*成立，再利用換元法和導(dǎo)數(shù)證明即可.

H+1〃+2

I..|2?1</、n(n+\\

【詳解】⑴由題意得忸］=ZZ岑=8=1+2+3++(n-l)+n=------.

i=lj=lz=i'

2

若1網(wǎng)>3氐則四詈>45,BPn+n-90>0.

因式分解得(〃-9)5+10)>0.因?yàn)椤╡N*,所以”>9.

所以使“引尸>3小的，2的最小值是10.

(2)由題得第1對角線上的平方和為1+$狂。+5"6++國心-?。=匕電翼

l-sin26>

第2對角線上的平方和為

l-sin2"-2^

cos26?(l+sin2(9++sin2n-4=cos20-=l-sin2,,-2(9,

1一sir?。

L

第％對角線上的平方和為

l-sinZT%

cos26>(l+sin26?++sin2K^e)=cos20-=l-sin2"N+2，,

1-sin20

L

第12頁共27頁

第n對角線上的平方和為cos23，

所以||ClR=；—：；：：+(lTin274++(i_sin2T+2g)++(i_sine)+

cos2e=1+sir?e+sin40+.+sin2"-26+(〃-2)—sir?”"-sin2"-2^26--

sin40+cos26=1+(〃-2)+sin20+cos20=l+(n—2)+l=n.

所以“CllF=>fn.

n

(3)由題意知，證明

3n+9

等價于證明1/2+11?。++ln2^|>-^-,

23n+13n+9

?k34_i_o

222n

注意到左側(cè)求和式1In—=ln-+ln-+

將右側(cè)含有〃的表達(dá)式表示為求和式有

11n

3n+33〃+9

故只需證而鬻＞品僅111*

>----------------R-Q'V讓l'〃eN成立，

(〃+2)(〃+3)

即證In7+2>---,VN*成立，令％=1+^—,

n+1n+2n+1

1(3]、、

則需證Inx21—,xe1,—成立,

x12」

記〃x)=lnx+，-l,無e，?],則r(幻=工-3=二>0在卜,各上恒成立，所以/⑴在(1,占上單調(diào)遞增,

xI2」Xxx12」<2_

所以/(%)＞f(l)=lnl+l—1=0,

所以在［l,：上恒成立，即In爐2＞」一,V九21,〃￡N*成立,

%I2」n+1n+2

所以原不等式成立.

44?7_1_o力

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三小問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明In2=+ln2；++1不勺＞丁二，再結(jié)合放縮法

23n+13n+9

轉(zhuǎn)化為證明lng＞'；,V〃Nl,〃eN*,最后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.

n+1n+2

例13.(2024?云南昆明?一模)已知函數(shù)〃x)=ahu:+l-X.

⑴若〃x)V0,求實(shí)數(shù)。的值;

一r7.T*\?(In2In3In4ln〃),

(2)證明：當(dāng)t〃N2(〃eN)時，J?—x—x—x---x—<1；

\/\234n)

第13頁共27頁

⑶證明：—+—H---F—<lnn(nGN*,n>2).

23〃')

【答案】⑴J=1

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)求出“X)的導(dǎo)數(shù)/("=十，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用〃x)40成立，求出。；

(2)由InxW尤—1知I也nn〈氏ri—一\，將各式累乘得證；

nn

1n

(3)由lnx<x—1知一<In---,將各式累加得證.

nn—1

【詳解】(i)由題意知，x?o,+e),r(x)=--i=—,

XX

①當(dāng)aWO時，/。)<0,在(0,+e)上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)xe(O,l)時，/(x)>f(l)=O,不合題意；

②當(dāng)0<0<1時，由/'(x)>0得xe(O,a),則在(0,。)上單調(diào)遞增，

由/'⑺<0得xe(a,+8),則/(x)在(a,+e)上單調(diào)遞減，

所以，/(?)>/(1)=0,不合題意；

③當(dāng)a=l時，由/'(x)>0得，XG(0,1),則在(0,1)上單調(diào)遞增，

由/'(x)<0得，xe(l,+s),則在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以，對于任意的x?0,+8),/(x)</(l)=0,符合題意；

④當(dāng)。>1時，由/''⑺〉。得,xe(O,a),則〃x)在(0,a)上單調(diào)遞增,

由/'(x)<0得，xe(a,+e),則〃x)在(a,+s)上單調(diào)遞減，

所以，f(a)>/(l)=O,不合題意.

綜上所述，4=1.

(2)證明：由(1)知，q=l時，lnx+l-x<OBPlnx<x-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立.

mzln尤八1

所以——<1―一，

xx

第14頁共27頁

當(dāng)〃Z2(〃eN*)時，令X="得皿<」=金

v7nnn

ln2ln3ln4Inn123n-11

mW—X—X--X...X—<—X—X—X…X----------=-

234幾234nn

In2In3In4Inn

所以當(dāng)〃N2(〃eN*)時n-------X--------X---------X■??X--------<1成立.

234n

(3)證明：由(1)知,a=l時，lnx+1—x<0即，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立.

、[,、c/TkT*\rt_LAn_1.1Yl~\1LLt、|l1〃

當(dāng)〃之2(〃cN)時，令x=---得/|=In------<---------1=——,所以一vln------,

')nnnnnn—1

s、i111.2,3.n[

所以一H1-----F—<ln—+ln—H------1-In------=Inn,

23n12n~l

所以工+』4------F—<eN*,n>2)成立.

23nv7

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列不等式可以借助于函數(shù)不等式證明，先用導(dǎo)數(shù)證明得到一個不等式，再將犬進(jìn)

行合適的賦值，將不等式累加或累乘得到所證不等式.

例14.(2024?甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/a)=Hnx.

(1)判斷/(X)的單調(diào)性;

⑵設(shè)方程〃x)-2x+l=0的兩個根分別為%,三,求證：Xt+x2>2e.

【答案】(1"(無)在［。，：］上單調(diào)遞減，［,+，)上單調(diào)遞增

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)_f(x)=lnx+l,xe(O,y),由廣(x)<0和制勾>0求解;

(2)令g(x)=〃x)-2x+l,利用導(dǎo)數(shù)法得到g(無)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，將證

xl+x2>2e,轉(zhuǎn)化為證g(%2)>g(2e-再)，再由8仁)=8&),轉(zhuǎn)化為證g(%)>g(2ef),令

網(wǎng)x)=g(與)—g(2e—%),xe(O,e),利用導(dǎo)數(shù)法證明即可.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=xlnx,所以r(x)=lnx+l,xe(O,"Hx>),

令/'(x)=0,得x=:，

當(dāng)o<x<』時，f(x)<o,當(dāng)尤時，>o,

所以八方在I0,1-|上單調(diào)遞減，在［L+s］上單調(diào)遞增.

ee

第15頁共27頁

(2)令g(x)=/(x)-2x+l,貝！]g，(x)=lnx-l,xe(0,yo),

令g'(x)=O,^x=e,

當(dāng)0<x<e時，g'(x)<0,當(dāng)%>e時，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+s)上單調(diào)遞增，

又g(e)=l—e<0,所以不妨設(shè)。<玉vev9.

要證%+%>2e,即證%>2e-%>e,即證g^)>g(2e-%[).

因?yàn)間(X)=ga)，所以即證g&)>g(2e—菁).

令/?(%)=晨%)一g(2e-x),xe(0,e),

貝!]=lnx—2+ln(2e—x)=ln(2ex—x?)—2=ln[—(x—e)。+e2^]—2<0,

所以可無)在(0,e)上單調(diào)遞減，

所以/z(x)>/i(e)=g(e)—g(e)=O,從而必有g(shù)(^)>g(2e-^).

即石+,>2e.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：令g(x)=/(x)-2x+l,利用導(dǎo)數(shù)法得到g(無)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞

增，再由g(e)=l—e<0,可設(shè)0<%<e<%，從而%>2e-玉>e,結(jié)合g?)=g(匕)，轉(zhuǎn)化為證

g(N)>g(2e-±).

例15.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃尤)=

⑴若/(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)證明：sin———i-sin--——F...+sin—<ln2(nGN,).

n+1n+22n、7

【答案】(1)。=—1

⑵證明見解析

【分析】(1)當(dāng)時，求出導(dǎo)函數(shù)即可判斷單調(diào)性直接說明；當(dāng)。<0時，求出導(dǎo)函數(shù)通過確定單調(diào)性,

求出最值進(jìn)而可得答案；

第16頁共27頁

(2)通過不等式InxWl-L以及sinx<x進(jìn)行放縮，然后利用裂項(xiàng)相消法求和證明即可.

X

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=lnx-a[j-"(x>0),所以f(x)=[一：)=>0),

當(dāng)a20時，因?yàn)閤>0,所以/'(x)>0恒成立，則y=〃x)在(0,+功上單調(diào)遞增，

且/■⑴=0,所以〃x)恒大于等于零不成立；

當(dāng)a<0時，由/''(x)=0得，x=-a,

易知當(dāng)x>-a時，fr(x)>0,當(dāng)0<x<-a時，/(%)<0

所以y="尤)在(0,-。)上單調(diào)遞減，在(一名+8)上單調(diào)遞增.

貝U/(x)1nin=/(-a)=ln(-a)+l+a,若"x"。恒成立，則ln(-a)+l+“2。

1V-U1

令h(x)=ln(-x)+l+x(x<0),貝ljhr(x)=—+1=--(x<0),

力⑴在區(qū)間(-8,-1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(TO)上單調(diào)遞減，所以依初3=/(-1)=。

所以當(dāng)ln(—a)+1+々2。時，a=—l.

綜上，若/(力20恒成立，則。=—1；

(2)由(1)得，當(dāng)。=-1時，〃x)=lnx+』-120恒成立，即In讓1」，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，

X%

人H+k17cle)*

令％=——--則In——--->——左w{l,2,,〃},neN,

H+K—1幾+左一1n+k

所以^~y〈ln=ln(九+左)-ln(/+左一1),女「{1,2,,n},〃1N*,

n+kn+k-1

4^g(x)=x-sinx(x>0),則g'(%)=1—8$%20恒成立，

所以函數(shù)g(x)在[0,+功上單調(diào)遞增，

故當(dāng)%>0時，g(x)>g(O)=。，即sin%<x.

所以sin---<---<ln(〃+女)一ln(〃+左一1),左仁{1,2,,幾},〃6N*,

n~\~kri+k

所以sin———bsin---++sin—

n+1n+22n

<[ln(n+l)-lnn]+[ln(n+2)-ln(n+l)]++[ln(2n)-ln(2n-l)]

2%

=In(2H)-Inn=In——=ln2.

n

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函

第17頁共27頁

數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和(常常用到裂項(xiàng)相消法求和)達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問,

已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.

例16.(2024?廣東湛江?一模)已知函數(shù)〃x)=(l+lnx)e啥.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若方程/(x)=l有兩個根毛，巧，求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明：玉

【答案】⑴〃尤)在(0,1)上單調(diào)遞增，。,內(nèi))上單調(diào)遞減，

⑵見解析

【分析】(1)求出尸(力，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函